江西省三新协作体2024届高三年级下册5月联考数学模拟考试试题（含答案解析）

江西省三新协作体2024届高三下学期5月联考数学模拟考试试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.抛物线y=2/的焦点坐标为

A.(1,0)B.(―,0)C.(0,—)D.(0,—)

2.“生活里没有书籍，就好像没有阳光；智慧里没有书籍，就好像鸟儿没有翅膀.”某学校开

展书香校园活动，甲、乙两学生统计某一周内的读书时长数据.若学生甲一周内每天的读书

时长(单位：小时)分别为3，3,…，%,其均值和方差分别为或和$2,学生乙该周内

每天的读书时长均比学生甲多半个小时，则学生乙该周内每天读书时长的均值和方差分别为

()

A.x>s2B.0.5+x-0.25+52

C.0.5+10.25+52D.0.5+x-s2

3.设随机变量4〜N(2,l),若尸6>3)="则P(l<€<3)等于()

1

A.--2mB.1-mC.l-2mD.——m

22

4.设2018a=3,2018b=6,2018c=12,则数列“，b,

A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列，但不是等差数列

C.既是等差数列又是等比数列D.既非等差数列又非等比数列

5.已知函数/(%)=2fr(l)x-x3+Inx-2,/(%)是/(%)的导函数,则〃1)=(

11

A.1B.2C.-D.——

22

fv21

6.已知实数X,》满足：L+匕=1,则X-的最大值为()

342

A.V3B.2C.V5D.5

7.已知函数/(可和g(x)的导函数/'(x)、g<x)图象分别如图所示，则关于函数

蚱g(x)-的判断正确的是()

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B.有3个极小值点

C.有1个极大值点和2个极小值点D.有2个极大值点和1个极小值点

8.已知函数/（X）=2COS（3+9）-6（®>0,0<夕<§）在x=0处的切线斜率为-0,若

/（x）在（0,兀）上只有一个零点％,则。的最大值为（）

二、多选题

9.公差为"的等差数列{%},其前〃项和为S",S”>0,512<0,下列说法正确的有（）

A.d<0B.a7>0C.{$,}中最大D.同<同

10.已知函数/■（x）=ln|x|-x+J,给出下列四个结论，其中正确的是（）

A.曲线y=在x=l处的切线方程为x+y+l=0

B./（尤）恰有2个零点

C./⑺既有最大值，又有最小值

D.xtx2>0JL/（X1）+/（x2）=0,则工好2=1

11.设圆C:（x-针+（y-l）2=3,直线/：3x+4y+3=0,尸为/上的动点，过点尸作圆C

的两条切线尸4尸8,切点为4用MJV为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（）

A.|尸/|的取值范围为［1,+s）

B.四边形上4c5面积的最大值为百

C.满足//尸5=60°的点尸有两个

试卷第2页，共4页

D./XC/B的面积最大值为壬

4

三、填空题

12.已知成对样本数据(%,%),(％力)，…,(％,%)(〃23)中演,々,…,/互不相等,且所有样本

点(x,…)都在直线丁=_；x+1上，则这组成对样本数据的样本相关系数

r=.

13.已知函数〃x)=hu,g(x)=ex+左J(x)4g(x),则左的取值范围为

14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方

获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为:和且每次活动中甲、

乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响.随机变量X表示在3次活动中甲获胜的次数,

则尸(X22)=_；D(X)=_.

四、解答题

15.已知函数/(X)=/+ox-21nx(aeR)

⑴当。=0时，求函数/⑺的极值；

(2)若函数/卜)在区间［1,2］上是减函数，求实数。的取值范围；

16.已知正项数列｛%｝的前〃项和为S",且满足：q=1,a^+l=S„+1+S„.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

()设,求数列他,｝的前"项和人

2(2~%~-1J)(2%,+加1)

17.为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱.其中，甲箱

有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题(所有题目均不

相同).现有48两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道

题作答.每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答(不在题目上

作答).两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱.

(1)如果/同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；

(2)如果/同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中.3同学接着抽取

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题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率.

18.某公园有一个矩形地块/5CD（如图所示），边长近千米，ND长4千米.地块的

一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线/C是以A为顶点，以所在直线为对称轴的抛物

线的一部分，现要经过曲线/C上某一点P（异于A,C两点）铺设一条直线隔离带

点分别在边N8,8C上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘.设点尸到边/。的

距离为1（单位：千米），ABAW的面积为S（单位：平方千米）.

（1）请以A为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出S关于t的函数解析式;

（2）是否存在点P,使隔离出来的ABAW的面积S超过2平方千米？并说明理由.

19.公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得〃值为

3.14,我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪

念刘徽的贡献，将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正3x2"边形（"=1,2,3--），记

外切正3x2"边形周长的一半为%,内接正3x2〃边形周长的一半为4.通过计算容易得

至U：a“=3x2"tanQ（其中是正3x2"边形的一条边所对圆心角的一半）

⑴求｛"｝的通项公式；

（2）求证:对于任意正整数小，、上、5依次成等差数列

a”an+ibn

⑶试问对任意正整数〃也、2记区用是否能构成等比数歹（］?说明你的理由.

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参考答案:

题号12345678910

答案DDCAABDCADBD

题号11

答案AC

1.D

【分析】根据抛物线标准方程，可求得p,进而求得焦点坐标.

【详解】将抛物线方程化为标准方程为,可知P=J

所以焦点坐标为(0,£|

所以选D

【点睛】本题考查了抛物线的基本性质，属于基础题.

2.D

【分析】根据均值、方差的性质求新数据集的均值和方差.

【详解】由题意，若学生甲每天的读书时长毛，则学生乙该周内每天的读书时长乂=再+0.5,

所以E(Y)=E(X)+0.5=2+0.5,D(Y)=D(X)=s2.

故选：D

3.C

【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.

【详解】依题意〃=2,。=1,

根据正态分布的对称性可知：

尸(1<4<3)=1-2尸(《>3)=1-2牝

故选：C

4.A

【分析】将指数式化为对数式，再根据对数的运算得到6=。-人即可判断。、6、。是

等差数列，而2-9,所以。、b、。不是等比数列.

ab

【详解】解：因为2018“=3,2018"=6,2018c=12,所以a=log2-3,b=log20186,

C=1°§201812,

-^b-a=log20186-log20183=log20182,c-b^log201812-log20186=log20182,

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所以b-a=c-6,数列〃、b、c为等差数列；

而2甘2,所以数列。、b、c不为等比数列.

故选：A

5.A

【分析】对给定函数求导，赋值求出，'⑴的值，再求出函数值即可.

【详解】函数/(x)=2/⑴x-/+inx-2,求导得/(x)=2/⑴

取x=l,得/⑴=2,/(x)=4x-x3+Inx-2,

所以〃1)=1.

故选：A

6.B

122

【分析】令加=X-：V,问题化为2x-y-2加=0与土+匕=1有交点情况下，直线在X轴上

2,34

截距最大，联立方程求相切情况下〃?值，即可得最大值.

1f2

【详解】令机=X-彳了，则直线2xr-2w=o与二+乙=1有交点情况下，直线在X轴上截

234

距最大，

假设直线与椭圆相切，则/+3(X-/M)2=3,BP4x2-6mx+3m2-3=0,

所以A=36加之—48(加之—1)=o,可得加2=*即加=±2,

要使2x-y-2加=0在1轴上截距最大，即冽=2.

故选：B.

7.D

【解析】根据题中图像可知，/'(x)、g'(无)的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到

大的顺序，依次记为为、工2，尤3，其中z=o；结合题中函数图像，判定函数v=g(x)-/(x)

的单调性，进而可得极值点.

【详解】由题中图像可知，/'(x)、g'(x)的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大

的顺序，依次记为X］、％,W,其中工2=0,

由图像可得，当X<花时，g'(x)>r(x),即了=8'。)-/'(》)>0,则函数N=g(x)-7'(X)单

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调递增;

当石<x<0时,g'[x)<f'[x),BPy=g，(x)-/V)<0,则函数y=g(x)-/(x)单调递减;

当0<x<w时,g'[x｝>f'(x),即。=g，(x)-八x)>0,则函数y=g(x)-〃x)单调递增；

当时，g,(x)</,(x),即)/=g，(x)-/(x)<0,则函数y=g(x)-/(x)单调递减；

所以V=g(x)-/(X)有两个极大值点X]和退；有一个极小值点0.

故选：D.

【点睛】本题主要考查导函数图像与原函数之间的关系，考查极值点个数的判定，属于基础

题型.

8.C

【分析】求出函数的导函数，由/'(0)=-。求出。，由x的取值范围求出ox+F的范围，再

根据〃尤)在(0,兀)上只有一个零点X。得到坐<071+=V孚，即可求出。的取值范围，从

666

而得解.

【详解】由题意得，/'(x)=-20sin(0x+。)，则/'(0)=-2后119=一0,即sin9=；,

又0<夕<?解得0=巴，.•"(X)=2COS[OX+£]-J5,

26I6/

由f(X)二°得COS(ox+聿]=,*,*XE.(0,71),a)>09cox-\--G1%,口兀+?),又COS—=,

•・"(X)在(0㈤上只有一个零点%,兀+9粤，解得；<OV2,

6663

。的最大值为2.

故选：C.

9.AD

【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得。6>0,R+。7<0，再逐项分析判断作答.

【详解】由九=11(丁")=]叱>0,得3>0,

又几=电5产1=6(&+%)<0,得，&+%<0,

所以&>0,«7<0,数列｛%｝是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，

等差数列｛%｝,公差d<0,A选项正确；%<0,B选项错误；前6项和最大，C选项错误；

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由%>0,。9<0，有|。4卜|%|=。4+。9=。6+。7<0，则EkEI，D选项正确.

故选：AD.

10.BD

【分析】A选项，利用导数求了=/(x)在x=l处的切线斜率，进而得切线方程，A错误；C

选项，由y=〃x)的导数推导函数y=〃x)的单调性，利用函数y=/(x)的单调性来判定

“X)既无最小值也无既最大值；B选项，由函数了=/1)的单调性及/(—1)=/(1)=0,可

得“X)恰有2个零点；D选项,根据西七>0分类讨论，利用/(%1)+/(%)=0得/&)=/『］

再根据函数的单调性可得士赴=1，D正确.

【详解】对于A,当x>0时，由于函数/(x)=lnx-x+L

x

所以/=

XX

所以/⑴=0,r(i)=1-^-i=-i.

所以曲线了=〃X)在X=1处的切线方程为了=-l(x-l),

即x+y-1=0,故A错误；

对于B、C,因为x>0时，r(x)=--^-1=-^--y—<0,

XXX24

所以“X)在区间(0,+8)上单调递减.

X<0时，f(x)=ln(—x)—x-\"—,f\x)----z■—1

xx尤'

同理可知〃尤)在区间(一'0)上单调递减，所以C错误；

又"-1)=0,/(1)=0,

所以“X)恰有2个零点，所以B正确；

对于D,若为>0,x2>0,由/(占)+/(%2)=0,

即/'(再)=)

因为/(x)在(0,+8)上单调递减，所以国=J,即占々=1.

同理可证当王<0,迎<0时，命题也成立.故D正确.

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故选BD.

II.AC

【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C,根据三角形的面积公式可求解D.

|3+4+3|

【详解】圆心C(l,l)到直线/:3x+4y+3=0的距离d=12,

A/32+42

所以|尸C|2d=2,因为圆的半径为一百，

根据切线长公式可得训=^\PCf-r2>1,

当尸C，/时取得等号，

所以1PH的取值范围为［1,+⑹，A正确；

因为尸/_LNC,

所以四边形PACB的面积等于2xS,c=|尸/卜|/C|=五口匕6,

四边形上4cB面积的最小值为百，故B错误；

因为N4P2=60°,所以N4PC=30°,

AC\1,,

在直角三角形/PC中，-^=sin300=-,所以|"|=2百r，

设尸3一如「)，因为仁尸|=j("l)2+1_即=26，

整理鬻25/+10。-127=0,

则有A=100+12700>0,所以满足条件的点P有两个，C正确；

13

因为Jew=51CN|IsinNNC8=5sinNACB

3

所以当sin//C2=l,即NNC2=90°,面积有最大值为二，

此时四边形R4C5为正方形，则|尸C|=可与=痴>2,满足要求，

故D错误，

故选:AC.

12.-1

【分析】根据给定条件，利用相关系数的定义求解作答.

【详解】因为所有样本点(X",)"=1,2,…)都在直线y=-+1上，显然直线y=-$+1的

答案第5页，共11页

斜率一；<0,

所以样本数据成负相关，相关系数为T.

故答案为：-1

13.k>-2

【分析】令尸(x)=/(x)-g(x),然后求导,找到尸(X)最大值，当〃x)Wg(x)恒成立时，F(x)

最大值小于等于零，解出匕

【详解】令尸(无)=/(x)-g(x)=lnx-er-M_x>0),

-、1

有尸(x)=_—e=1----e--x--,

XX

当时，F"(x)<0,当时，Fr(x)>0,

ee

所以尸(尤)在［%上单调递减，在(o.)上单调递增，

所以尸(无)在x=：处取得最大值，为-2-左，

若〃尤)Wg(x)恒成立，则-2-140,即左2-2.

故答案为：k>-2.

,202

14.——

273

【分析】首先根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，进而可计算在3

次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.根据二项分布的方差公式求

D{X}.

【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为=54=2

653

则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C^xf-Yxl+f-Y=—；

3⑶3U)27

2

根据题意可知，X〜5(3*),

~212

所以Q(X)=-P)=3x§x§=§,

故答案为：W20；2

273

15.(1)极小值为1,无极大值

(2)a<-3

答案第6页，共11页

【分析】(1)求定义域，求导，根据导函数求出单调区间，从而得到极值情况；

(2)由题意得在区间［1,2］上((x)VO,参变分离，构造函数g(x)=q-2x,求出最小值,

得到答案.

【详解】(1)a=0时，/(x)=x2-21nx,定义域为(0,+e),

令/(x)>0,解得x>l,令/'(x)<0,解得0<x<l,

故/'(x)在x=l处取得极小值，/(1)=1,

\/㈤的极小值为/⑴=1,无极大值.

(2)・•・/(尤)在区间［1,2］上为减函数，

在区间［1,2］上/'(x)W0,

22

f'(x\—2x+ci—<0aW--2x,

xx

2一

令g(x)=1-2x,只需aVg&Ln，

2

显然g(x)=1-2x在区间［1,2］上为减函数，

g(x)mm=g(2)=>4=-3,

/.aW—3

Yl

16.(1)a,=n.(2)T=-~-

n2M+1

【分析】(1)利用4=S,-Sa可得数列｛%｝是等差数列，即可求出通项公式;

(2)由裂项相消法可求出.

【详解】解：⑴由。=S〃M+S“，

又有a；=S“+S“_i，(«>2),两式相减得“3-a；=%+］+%(〃22),

因为。“>0，所以《+1-g=1(〃22),

又6=1,*=%+/+%,解得a2=2,满足

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因此数列｛与｝是等差数列，首项为1,公差为1,

所以。“=1+5-1）x1=〃，

b।-1O______—

⑵"=（2〃—+2«+1

所以

NW〉［+…+贵］己

1

17.（D-

【分析】（1）设4表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式

计算即可；

（2）先设事件，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可.

【详解】（1）设4表示“第，次从甲箱中抽到概念叙述题”，，=1，2

则尸（4）=；，尸（414）=；，尸（a㈤等

所以第二题抽到的是概念叙述题的概率

p（a）=p（4）x尸区的）+「后卜尸他"卜*F0

（2）设事件4表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件鸟表示同学甲从甲

箱中取出的两道题都是计算题，事件层表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算

题，事件C表示8同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，

尸（⑷尸出）="=，尸（员”詈京2

3

尸（C⑻尸（C心尸⑹员

.•.JP（C）=P（51）XP（C|S1）+P（52）XP（C|52）+JP（J83）XJP（C|53）

答案第8页，共11页

18.(1)5=1?3-2>/2?2+4?(0<?<V2)

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)由题意设抛物线方程为y=ax7然后将点C的坐标代入可求出。，则可求得抛

物线的方程，再利用导数的几何意义求出切线"N的方程，从而可求出两点坐标，进

而可表示出ABMN的面积；

(2)利用导数求出S=?3一20〃+书(0＜/＜的最大值与2比较即可.

【详解】(1)如图建立平面直角坐标系，则/(0,0),5(&,0),C(衣4),。(0,4),

由题意设抛物线方程为＞=ax2,代入点C(C,4),得4=2a,解得a=2,

所以抛物线方程为＞=2/,

由题意知直线为抛物线的切线，

因为点P到边40的距离为＜0＜彳＜0)，所以切点P的坐标为亿2产)，

由y=2f,得y=4x,所以直线aW的斜率为4f,

所以直线A/2V的方程为y-2产=4/(xT),即y=4tv-2「，

令k0,得x=；,所以

令x=0，得＞=4万一2产，所以y=N(收,46一〃2),

所以S=卜［0-(卜(4后一22)=3-2^2+4,

(2)因为S=；-一2后「+4*0＜/＜行),

答案第9页，共11页

Q1

所以5'=5〃_4"+4=3,_2顶)(3/_2夜)，

因为0<"血，所以t-2啦<0，

所以当0</<迪时，S'>0,当迪也时，s'<0,

33

所以S=；/+书在卜上递增，在—^―,A/2上递减，

所以当”孚时，s取得最大值3/1竿］_2及x产J+4'专=二|£<2,

所以不存在点尸，使隔离出来的ABMN的面积S