辽宁省沈阳市某中学2024-2025学年上学期九年级10月月考试题（含答案解析）

辽宁省沈阳市第一二六中学2024-2025学年上学期九年级10月

月考试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列方程一定是一元二次方程的是（）

,1

A.x—y—2=0B.x—=0

x

C.x2—2x-5D.x2=4x

2.若3x=2y（v/0）,则下列比例式成立的是（）

xy2

Ax-2Ttyr

A.B.—=—C.—=—D.—=—

3y23x33x

3.如图，矩形NBC。的对角线NC,3。相交于点。，ZAOB=60°,AB=4,则矩形对角

线的长为（）

A.4B.8C.4百D.46

4.根据下列表格的对应值，判断方程"2+瓜+'=0a,6,c为常数）的一个解x

的范围是（）

X3.233.243.253.26

ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09

A.3Vx<3.23B.3.23<x<3.24

C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

5.电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物

塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧.某地第一

天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，

若把增长率记作x,则方程可以列为（）

A.3（l+x）=18B.3（l+x）2=18

试卷第1页，共6页

C.3+3（1+X）2=18D.3+3（l+x）+3（l+x）2=18

6.如图，AD//BE//CF,若N8=2,/C=5,EF=4,则DE的长度是（）

A]

BI\E

5

3

7.口袋里装有大小、形状完全一样的9个红球、6个白球，则下列说法不正确的是（）

A.从中随机摸出1个球，摸到红球的可能性更大

B.从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件

C.从中随机摸出5个球，可能都是红球

D.从中随机摸出7个球，可能都是白球

8.如图，己知/1=/2,那么添加下列一个条件后，不能判定的是（）

BDC

丁c4BACABBC

A./C=/EB./B=/ADEC.-----=-----D.-----=-----

ADAEADDE

9.如图，在宽度为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余

下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m，设道路宽为根据题意，所列方程正确的

是（）

32m------>

A.（20+x）（32-x）=540B.（20-x）（32+x）=100

C.（20-尤）（32-x）=540D.（20+x）（32+尤）=540

10.如图，点£、F、G、”分别为四边形/BCD的四边N8、BC、CD、D4的中点，则关于

四边形EFGH下列说法正确的为（）

试卷第2页，共6页

D

A

A.一定不是平行四边形

B.一定不是中心对称图形

C.当/C=2D时，它是轴对称图形

D.当/C=AD时，它是矩形

二、填空题

11.若关于x的一元二次方程仕-l）f-2履+上-3=0有实数根，则满足左的最小整数

为-.

12.在一个不透明的盒子中装有。个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球.若每次将

球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白

球的频率稳定在20%左右，则a的值约为.

13.如图，菱形的对角线NC、BD相交于点。，E为4D的中点，若OE=3,则菱形

ABCD的周长为.

14.为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为120

米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为

225平方米，则图中区域①矩形的长。为米.

试卷第3页，共6页

-<------tz米-----►

区翠①一

区域②区域③

岸堤

15.如图，已知四边形NBCD为矩形，BC的长为4,的长为3,尺规作图过程如下:

第一步：以点C为圆心，C8的长为半径作弧，与边交于点£,连接CE；

第二步：分别以点£、C为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧交点的直线分别交

AD、EC、8C于点G、RH,若点尸在EC上，且满足"1=则△EPG的面积为

三、解答题

16.解方程.

(1)X2+4X-1=0(配方法).

(2)2X2+4X-3=0(公式法).

17.把3、5、6三个数字分别写在三张完全不同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面

朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字、放回后洗匀，

再从中抽取一张卡片，记录下数字.请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是

奇数的概率.

18.已知关于x的方程：*-4x-左=0有两个不相等的实数根，

(1)求实数人的取值范围、

(2)已如方程的一个根为5,求方程的另一个根.

19.如图，在RtZUSC中，ZABC=9Q°,点。、E分别是边BC、/C的中点，连接ED并

延长到点尸，使。尸=即，连接BE、BF、CF、AD.

试卷第4页，共6页

A.

F

(1)求证：四边形3尸C£是菱形；

(2)若BC=6,EF=3,40与3E交于点。，则/。的长为一

20.直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为

30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每

上涨1元，其月销售量就减少10个.

(1)当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出一个水杯，月销售利润是元；

(2)若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价.

21.如图，在口中，ZC=90°,NC=10cm,3C=8cm.点"从点C出发，以2cm/s

的速度沿◎向点/匀速运动，点N从点8出发，以lcm/s的速度沿3c向点C匀速运动，

当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动.

2

(1)经过几秒后，△MCN的面积等于△NBC面积的不？

(2)经过几秒，与△/8C相似？

22.已知四边形/BCD为正方形，点E为平面内一点将线段/E绕点/顺时针

方向旋转90。得到线段4月，连接BRCE、DE.

图2

试卷第5页，共6页

（1）如图1,当点£在线段40上时，线段DE与线段8F的数量关系和位置关系为二

（2）如图2,当点E在正方形内部时，（1）中结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，

请说明理由；

（3）若正方形的边长为6,AE=4,当D、E、尸在同一直线上时，DE长为二

（4）如图3,正方形A8CD边长为6,点£在ANC。内部，延长DE交对角线4C于点G,若

满足乙4EG=45。且CELDG,则线段GE的长为

23.已知函数必是自变量x的函数，当％=x+”,称函数为为函数%的“加和函数”，在平

面直角坐标系中，对于函数M图象上一点/（加,"）,称点8（利以+〃）为点/关于函数月的“加

和点”，点3在函数%的“加和函数”的图象上.

例如：函数必=2x,当%=x+%=x+2x=3x时，称函数%=3x是函数弘的“加和函数”，

在平面直角坐标系中，函数必=2x图象上任意一点/（7明〃），点3（私加+〃）为点4关于必的

“加和点”，点B在函数必=2x的“加和函数"为=3x的图象上.

⑴若点幺（2,〃）在函数必=；x的图象上.

①”的值为点A关于函数乂的“加和点”的坐标为二

②求函数M=gx的“加和函数”%的函数表达式.

⑵点/在函数必=-2x+3的图象上，点/关于函数外的“加和点”为点3,点3在点/的上

方，设点/的横坐标为机.

①当AB=2时，求加的值；

②在①的条件下，”的“加和函数”为％，直线外交>轴于点C,已知正方形,点£（。）、

尸（T,。、G（V,T）«>0）,若将V/3C的边构成的图形记为T,正方形EFGH的边与图形

的交点个数为两个.

（I）请直接写出t的取值范围；

（II）若点E在图形“T”的内部（不包含边界），正方形于图形“T”重叠部分的面积记为S,

请直接写出S与t的函数表达式.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案DBBCDDDDCC

1.D

【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高

次数是2的整式方程叫一元二次方程.

根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

【详解】解：A.方程尤2-了-2=0是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合

题意；

B.方程尤-工=0是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

X

C.不是方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D.方程，=4x是一元二次方程，故本选项符合题意.

故选：D.

2.B

【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.

X2

【详解】解：A、由H得，刈=6,故本选项比例式不成立；

B、由1=］得，3x=2y,故本选项比例式成立；

C、由』=2得，2x=3y,故本选项比例式不成立；

x3

D、由2=2得，唠=6,故本选项比例式不成立.

3x

故选：B.

【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题

的关键.

3.B

【分析】根据等边三角形的性质首先证明根03是等边三角形即可解决问题.

【详解】解：；四边形是矩形，

AC=BD,OA=OC,OD=OB,

0A=OB,

ZAOB=60°,

答案第1页，共20页

^ABO是等边二角形，

0A=AB=4,

AC=2OA=8,

故选：B.

【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现根。8是等边

三角形，属于基础题.

4.C

【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令y=af+6x+cSO,a,b,c为常数），

根据二次函数的图象与x轴有交点时，方程依2+乐+°=0有解，进而可求解.

【详解】解：令y=ax2+6x+c（awO,a,b,c为常数），

当x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02,

当x=3.25时，ax2+bx+c=0.03,

.­.3.24<x<3.25时，二次函数y=a/++c的图象与x轴有一个交点，

即方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是3.24<x<3.25,

故选C.

5.D

【分析】本题考查了增长率问题（一元二次方程的应用），根据题意求出第二天和第三天的票

房即可求解.

【详解】解：由题意得：第二天的票房为3（1+"亿元，第三天的票房为3（l+x『亿元，

；.3+3（1+尤）+3（l+x『=18

故选：D.

6.D

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例是，代入求出即可.

【详解】解：：跖=4,

：.DF=DE+4,

•：AD//BE//CF,

.ABDE

VAB=2,AC=5,DF=DE+4,

答案第2页，共20页

.2_DE

,,厂DE+4'

.8

..DE=-，

3

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的

比例式是解此题的关键.

7.D

【分析】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键.概率是反映事件

发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可

能发生.

【详解】解：A、红球的数量多，从中随机摸出一个球，摸到红球的可能性更大，正确，故

A不符合题意；

B、从中随机摸出2个球，摸到1个红球和1个白球是随机事件，正确，故B不符合题意；

C、因为有9个红球，所以从中随机摸出5个球，可能都是红球，正确，故C不符合题意；

D、因为有6个红球，所以从中随机摸出7个球，不可能都是白球，所以原说法不正确，故

D符合题意；

故选：D.

8.D

【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

先根据N1=N2求出ABAC=NDAE,再根据相似三角形的判定方法解答.

【详解】解：VZl=Z2

Zl+ZDAC=Z2+ZDAC

：.ABAC=/DAE

A、当=时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证故不符

合题意；

B、当=时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似"可证"BCSAADE,故不

符合题意；

ARAC

C、当r=7/时，可通过“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证

ADAE

△ABCSAADE,故不符合题意；

答案第3页，共20页

ABBC

D、当不=一时，无法证明两个三角形相似，故符合题意；

ADDE

故选：D.

9.C

【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平移把不规则的图形变为规则图

形是解题关键；

设路宽为Q,利用平移把不规则的图形变为规则图形，表示出长和宽，即可列出答案.

【详解】解：利用平移，原图可转化为：

设道路宽为沟，则种草部分的宽为(20-x)m,长为(32-x)m,根据题意得：

(20-x)(32-x)=540.

故选：C.

10.C

【分析】先连接/C,AD,根据EH=FG=~BD,可得四边形EFGH是平行

22

四边形可判断A,根据平行四边形是中心对称图形，四边形跖G8是平行四边形是中心对

称图形可判断B,当时，EF=FG=GH=HE,此时四边形昉G”是菱形，据此可判断

C,只有时是矩形，当/C与2D不垂直时，不是矩形可判断D即可.

【详解】解：连接NC,BD交于O,4c交GF于M,DB交EF于N,如图：

:点£、F、G、X分别为四边形/BCD的四边/2、BC、CD、D4的中点,

：.EF=HG=-AC,EH=FG=-BD,EF〃AC,GF〃DB,

22

四边形EFGH是平行四边形，故选项A错误；

:平行四边形是中心对称图形，

答案第4页，共20页

，四边形EFGH是平行四边形，

，四边形所G〃是中心对称图形，故选项B错误;

当时，EF=FG=GH=HE,此时四边形昉GH是菱形，

菱形是轴对称图形，

，菱形所G8是轴对称图形，故选项C正确；

只有NC_L3D时NVON=90。，

,:GF〃DB,

：.AC±GF,

：.ZOMF=90°,

:EF〃AC,

：.BD±EF,

：.ZONF=90°,

：.NNFM=360°-/MON-NOMF-/ONF=90°,

•••平行四边形GAM是矩形，

当NC与不垂直时，

,:GF〃DB,EF〃AC,

四边形ONRWr为平行四边形，ZMFN=ZMON^90°,即/GFE，90。，

•••平行四边形G阳'不是矩形，故选项D错误.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了中点四边形的运用，轴对称识别，中心对称识别，矩形判定，三角

形中位线性质解题时注意：平行四边形是中心对称图形.解决问题的关键是掌握三角形中位

线定理.

II.2

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方

程办2+旅+。=0（。/0）,若△=62—4℃>0,则方程有两个不相等的实数根，若

A=Z>2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根，若△=/一4碇<0,则方程没有实数根.

根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行求解即可.

【详解】解:由题意得,

答案第5页，共20页

3

解得：发21且kwl,

4

满足上的最小整数2

故答案为：2.

12.30.

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以

从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可.

【详解】由题意可得，-xl00%=20%,

a

解得，a=30.

故答案为30.

【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的频率得

到相应的等量关系.

13.24

【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6.

由菱形的性质可得出/C，AB=BC=CD=DA,再根据直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论.

【详解】解：••・四边形是菱形，

AC_LBD,AB=BC=CD=DA,

.〔AAOD是直角三角形，

・••£分别为4D的中点，

:.OE=-AD,

2

VOE=3,

AD=6,

菱形的周长为/Ox4=6x4=24,

故答案为24.

14.30

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键；设图中①矩形的宽为x米，根据这三块区域面积相等，可得出区域②矩形的宽为2x米,

结合围网长度为120米，可以求得。=60-4x,再根据（60-4x）x=225,解得无=?,即可

答案第6页，共20页

求区域①矩形的长度.

【详解】解：设区域①矩形的宽为无米，

:区域②、区域③的宽相等，长都为区域①长的一半，且三块区域的面积相等，

，区域②矩形的宽为2x米，

则区域①矩形的长为。=；工/X=（60-4x）；

根据题意可得：（60-4x）尤=225,

整理得：4X2-60X+225=0，

解得：X]=%=—,

ci=60~4x—60—4x—=30,

2

故答案为：30

“45ags

15.------或----

77

【分析】可证明AGE尸S/iCEZ），在RtACDE中由勾股定理得。£=S，由AGE尸s/\cED,

可求GF=近,而FP=3EF=J故EP=2+!",或EP=2-：=Z代入面积公式

7333333

即可求解.

【详解】解：如图：

由作图得CE=C5=4,GF是EC的垂直平分线,

AEF=-CE=2,ZEFG=90°

2

・・•四边形是矩形，

ZADC=90°,CD=AB=3

：.ZEFG=ZEDC,

ZGEF=ZCED,

AGEFs8CED,

答案第7页，共20页

在中，CE=4,CD=3f

则由勾股定理得DE=Jj,

'AGEFSMED，

GFEF

CDED

GF_2

,亍二乃’

•：FP=-EF

3

・f1LL2

・・FP=—EF=—,

33

.28_p_24

・・EP=2-1—=—,或EP=2—=—

3333

_1rp「a8/

••SWPG="EPxGF=-x--=-

或SAEPG=；EPXG尸=；xgx^y-=-

故答案为：垣或区.

【点睛】本题考查了矩形的性质，尺规作图垂直平分线，勾股定理，相似三角形的判定与性

质，熟练掌握知识点，正确求出G厂是解题的关键.

16.⑴龙|=-2+6，x2=-2-V?

【分析】（1）利用配方法解方程即可;

（2）利用公式法解方程即可.

【详解】⑴解：•••/+41=0,

•*-X2+4x=1,

x2+4x+4=1+4,即（x+2『=5,

,•%+2=i-x/5-，

—

解得%]=—2+V5,x2—2—yj~5；

（2）解：V2X2+4X-3=0,

答案第8页，共20页

a=2j6=4,c=—3，

.・.A=/_4〃。=42-4x2x(-3)=40〉0,

.-4±2加

••x--------------，

4

解得三叵,-2-标

2

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键.

4

17.

9

【分析】根据题意列表（画出树状图），然后由表格（或树状图）求得所有等可能的结果与

两次抽取的卡片上的数字都是奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】列表得：

二次

第一法、356

3(3,3)(3,5)(3,6)

5(5,3)(5,5)(5,6)

6(6,3)(6,5)(6,6)

（或画树形图）

356

ZK/1\/T\

356356356

总共出现的等可能的结果有9种，其中两次抽取的卡片上的数字都是奇数的结果有4种，所

4

以两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率为§.

18.（1）左>-4

⑵-1

【分析】（1）根据根的判别式求出/一4℃>0,再求出不等式的解集即可;

（2）设方程的另一个根为°,根据根与系数的关系列方程求解即可.

【详解】（1）解：：方程有两个不相等的实数根，

AD=卜4）2-4，">0,

解得：上>-4；

答案第9页，共20页

(2)解：设方程的另一个根为4,

-4

Q+5=——=4,

解得：a=-1,

方程的另一个根为-1.

【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练堂握根的判别式及根与系数的关系

的相关知识是解题的关键.

19.⑴见详解

(2)272

【分析】(1)证明=又由。F=ED即可证明四边形3/CE是平行四边形，证明OE是

V48c的中位线，则。£〃/8,得到DEL3C,即可证明四边形BFCE是菱形；

113

(2)先求出BD=}BC=3,ED=5EF=5,由£>£是V/3C的中位线得到48=2。£=3,再由

勾股定理得AD=JAB。+BD2=3也，证明AA4OSAE£>。，再代入数值到*==2,即

OL)EL)

可求出答案.

【详解】(1)证明：•点。是8c的中点，

:.BD=CD,

■：DF=ED,

，四边形8FCE是平行四边形，

:点、D,£分别是边2C,/C的中点，

.•.DE是△48C的中位线，

DE//AB,

:.NCDE=NABC=90°,

即DE1BC,

二四边形8FCE是菱形；

(2)解：•1-BC=6,EF=3,

113

BD=-BC=3,ED=-EF=-

222

・・,点D,E分别是边8C,/C的中点，

.〔DE是△4BC的中位线，

答案第10页，共20页

AB=IDE=3,

AD7AB2+BD?=3也，

如图：

DE//AB,

；./BAO=/EDO,ZABO=/DEO,

ABAOS^EDO,

.AOABc

贝n।k=——=2,

ODED

:AD=3垃,

：./0=30x2=2上，

3

【点睛】此题考查了菱形的判定、勾股定理、三角形的中位线、相似三角形的判定与性质等

知识，证明四边形8FCE是菱形是解题的关键.

20.（1）550,8250

（2）50元

【分析】（1）利用平均每月的销售量=600-10x每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水

杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润=每个水杯的销售利润x

平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元；

（2）利用月销售利润=每个水杯的销售利润x月销售量，即可得出关于x的一元二次方程,

解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入（40+x）中即

可求出每个水杯的售价为50元.

【详解】（1）600-10x（45-40）=600-10x5=600-50=550（个），

（45-30）x550=15x550=8250（元）.

故答案为：550；8250.

答案第11页，共20页

（2）依题意得：（40+x-30）（600-10x）=10000,

整理得：X2-50X+400=0,

解得：%=10,x2=40.

当x=10时，600-10尤=600-10x(0=500；

当x=40时，600-1Ox=600-10x40=200.

又：要尽量减少库存，

x=10,

.・.40+x=40+10=50.

答：每个水杯的售价为50元.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方

程.

21.(1)4秒；(2)3或竺秒

713

2

【分析】(1)分别表示出线段和线段CN的长后利用列出方程求解；

MCNC

(2)设运动时间为△MCN与△45C相似，当△MCN与△ZBC相似时，则有一二——

BCAC

或M嗓C=0NC，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值•

TiCBC

2

【详解】解：(1)设经过'秒，AMCN的面积等于△NBC面积的《，

则有MC=2x,NC=8-x,

1/、12

..—x2x(8-x)=-x8xl0x一,

225

解得X]=X2=4,

2

答：经过4秒后，的面积等于△45。面积的《；

(2)设经过，秒，ZXMCN与△45C相似，

vzc=zc,

・・・可分为两种情况:

…MCNC

BCAC

即2上,

810

答案第12页，共20页

解得号；

^MCNCItS-t

②——=——，n即n一=——，

ACBC108

解得kM

答：经过/或与秒，AWCN与△N3C相似.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关

键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

22.(1)DE=BF,DE1BF；

(2)成立，证明见详解

(3)2近+2后或24-2亚

(4)-|V5

【分析】(1)利用旋转的性质和正方形的性质即可求证；

(2)延长DE交FB于一点、H,交48于一点G,证明也△胡。，根据全等三角形的性

质结合三角形的内角和定理即可求证；

(3)当点E在D尸之间时，过点A作尸于点K,可得A/KE为等腰直角三角形，设

AK=KE=x,在RtZk/KE中，由勾股定理得：x2+x2=16,解得：x=2垃,即第=2g，

在用A/KD中，由勾股定理求得KO=2V7,故。石=2近-2后；当点E在。尸延长线上时，

同上可求。£=2疗+2④；

(4)过点A作NQLOG交OG延长线于点。，则/。=90。，先证明△(?££)四△DQ/,贝！］

DE=AQ,DQ=CE,设NQ=y,则0£=。£=2>,在中，由勾股定理得：

V+(2y『=62,解得:y=m石，故/Q=-45,CE=。。=2'=；囱，证明^AQG^^CEG,

贝U等=*=2,EG=^EQ=1xIV5=.

GQA(23355

【详解】(1)解：如图：

答案第13页，共20页

AED

,/四边形/2CO是正方形，

/.AD=AB,ABAD=9Q°

:点£为平面内一点，将线段/£绕点A顺时针方向旋转90。得到线段,尸,

工AE=AF,ZFAE=ABAD=90°,

DE=BF,DE上BF;

(2)解：成立，证明如下：

延长DE交FB于一点、H,交4B于一点G,

・・・四边形/BCD是正方形，

AD=AB,ZBAD=90°,

V点E为平面内一点(，/<AD),将线段AE绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AF,

AE=AF,ZFAE=/BAD=90°,

ZFAB=ZEAD,

：.小FAB会小EAD,

：.DE=BF,ZADE=ZABF,

'：AAGD=NHGB,

180°-AAGD-ZADE=180°-AABF-NHGB,

：./GHB=/BAD=90°,

/.DE±BF;

(3)解：当点£在。月之间时，过点A作/K,斯于点K,

答案第14页，共20页

AD

由旋转得：AF=AE,ZFAE=90°,

/.△/尸E为等腰直角三角形，

/.ZAEF=45°,

,/AKA.EF,

：.^AKE为等腰直角三角形，

:.设AK=KE=x,在RtZX/KE中，

由勾股定理得：X2+X2=16,

解得：x=2后，即第=2逝，

在Rt^AKD中，由勾股定理得：KD=ACr-AK2=,-（20=2s,

，DE=KD-KE=241-^42;

当点E在。下延长线上时，如图,

同上可求。£=。长+在=20+2收，

综上所述：当。、E、厂在同一直线上时，DE长为2近+2后或2近-2后,

故答案为：25+26或2币-2亚.

（4）解：过点A作/QLDG交DG延长线于点。，则/。=90°

答案第15页，共20页

AD

'：ZAEG=45°,

・・・△ZE。为等腰直角三角形，

4。=EQ,

•・•四边形N5C。是正方形，

；.DA=DC,ZADC=90Q,

：.N2+N3=90。，

•；CELDG,

：・/CED=/CEG=90。，贝!J/l+/3=90。，

・・・Z1=Z2,

ZQ=ZCED=90°,

：.ACED^ADQA,

DE=AQ,DQ=CE,

工设4。=>,则。£=。£=2'，

在RtZ\，0。中，由勾股定理得：/+（2y）2=62,

解得：y=|V5,

AQ=三小,CE==2y=?反

ZCEG=ZQ=90°,

AQ\\CE,

：.AAQGsACEG,

EGCE.

'"GQ=7Q='

/.EG=-EQ=-x-V5=-V5,

3355

故答案为：yV5.

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三

角形，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决本题

答案第16页，共20页

的关键.

23.⑴①g,(2,|］；②％=：x

3999(3

⑵①4=2；②⑴1</<—或2</<3；(II)S=~t2--t+-\\<t<-

242412

【分析】本题考查了函数新定义，涉及己知自变量求函数值，待定系数法求一次函数解析式,

解一元一次方程，正方形的性质，正确理解题意，找出临界状态是解决本题的关键.

（1）由“加和点”与“加和函数”的定义即可求解；

（2）①由题意得/（%-2机+3）,由“加和点”定义得:B（m,-2m+3+m）,即5（在一加+3）,

贝1］一机+3-（一2小+3）=2,解方程即可；②（I）：2（2,-1）,3（2,1）,函数弘=-2x+3的“力口和

函数”为%=-2X+3+