广东省揭阳市2025届高三上学期第一次月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省揭阳市2025届高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|x>1,B=x|(x+1)(x−3)<0，则(A.3,+∞ B.−1,+∞ C.−1,3 D.−1,12.若复数(1−3i)z=3−i(i为虚数单位)，则|z|−z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.双曲线x2−y2A.π6 B.π3 C.2π34.在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=3DC，M是AD的中点，若BM=λBA+μA.54 B.1 C.78 5.若两个等比数列{an}，{bn}的公比相等，且b1=4，aA.578 B.638 C.124 6.若函数fx=sinωx+3cosωx(ω>0)在区间[a,b]上是减函数，且faA.

13 B.23 C.1 7.已知点A−1,0，B0,3，点P是圆x−32+y2A.6 B.112 C.92 8.已知函数y=f(x)的定义域为R，且f(−x)=f(x)，若函数y=f(x)的图象与函数y=log2(2xA.−1 B.0 C.1 D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B为随机事件，且PA，PB是A，B发生的概率．PA，PBA.若A，B互斥，则PA∪B=PA+PB

B.若PAB=PAPB，则A，B相互独立

C.若A，B互斥，则A，10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b=ccos A，内角A的平分线交BC于点D，AD=1cos A=18A.AC=34 B.AB=8

C.CDBD=111.设函数fx=(x−1)2A.x=1是fx的极小值点

B.f2+x+f2−x=−4

C.不等式−4<f2x−1<0的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在▵ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=−14，则b=

13.如果一个直角三角形的斜边长等于22，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为

．14.已知函数f(x)=−f′(0)ex+2x+3，点P为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线l上的一点，点Q在曲线y=xex上，则四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，c=4，ab=9．(1)若sinC=23，求(2)求△ABC面积的最大值．16.(本小题12分)某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元．(1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；(2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；(3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．17.(本小题12分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AB=A(1)证明：AD⊥BC;(2)求面ABC与面A1BC18.(本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为22，直线l经过点F(1)求C的方程；(2)求弦AB的长(用α表示)；(3)若直线MN也经过点F，且倾斜角比l的倾斜角大π4，求四边形AMBN面积的最小值．19.(本小题12分)如果n项有穷数列an满足a1=an，a2=an−1(1)设数列bn是项数为7的“对称数列”，其中b1,b2(2)设数列cn是项数为2k−1(k∈N∗且k≥2)的“对称数列”，且满足cn+1−cn①若c1，c2，…，ck构成单调递增数列，且ck=2023.当②若c1=2024，且S2k−1=2024，求参考答案1.D

2.D

3.B

4.C

5.B

6.A

7.D

8.C

9.ABD

10.ACD

11.BD

12.4

13.2

14.215.解：(1)∵csinC=bsinB=asinA=6，

∴sinA=a6，sinB=b6，

∴sinA⋅sinB=a6⋅b16.解：(1)设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为1,2,3，PX=1=C41X的分布列为：X123P131所以EX=1×15(2)设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为0,1,2,3．则Y∼B3,所以PY=0=CPY=2=C所以随机变量Y的分布列为：Y0123P1248所以EY=3×2(3)因为EX=EY即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定，所以应选择方案一的抽奖方式．

17.证明：(1)∵ABC−A1B1C1是三棱柱，

∴ABB1A1是平行四边形．

∴∠AA1B=∠ABB1=60∘，AA1=AB=A1B1，

∴△AA1B是等边三角形．

又∵D是A1B1的中点，

∴AD⊥A1B1，

∴AD⊥AB．

又∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，

∴AD⊥面ABC．

∵BC⊂平面ABC

∴AD⊥BC．

(2)由(1)得AD⊥面ABC，AB,AC⊂平面ABC

∴AD⊥AB，AD⊥AC．

∵AB=AC=2，BC=22，∴AB2+AC2=BC2，即：AB⊥AC，

∴AB，AC，AA1两两垂直．

故，以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(−1,0,18.解：(1)由题意知c=1,ca=22,a2−b2=c2,解得a=2，b=1，

所以C的方程为x22+y2=1．

(2)当α≠π2时，设l的方程为y=k(x−1)，k=tanα，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=k(x−1),x22+y2=1,得(2k2+1)x2−4k2x+2k2−2=0，

其中Δ=8(19.解：(1)因为数列{bn}是项数为7的“对称数列”，所以b5=b3=5，

又因为b1，b2，b3，b4成等差数列，其公差d=b3−b2=2，

所以数列{bn}的7项依次为1，3，5，7，5，3，1．

(2) ①由c1，c2，⋯，ck是单调递增数列，数列{cn}是项数为2k−1的“对称数列”且满足|cn+1−cn|=2