人教B版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.2.1-2课件

1.2.1命题与量词1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定【课程标准】1.全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．2.全称量词命题与存在量词命题的否定：①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．教

材

要

点知识点一命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的________称为命题．其中________的语句称为真命题，________的语句称为假命题．陈述语句判断为真判断为假知识点二全称量词和全称量词命题全称量词________、________、________符号∀全称量词命题含有________的命题形式“对集合M中的所有元素x，r(x)”，可简记为________所有任意每一个全称量词“∀x∈M，r(x)”知识点三存在量词和存在量词命题存在量词________、___________、________符号表示∃存在量词命题含有________的命题形式“存在集合M中的元素x，s(x)”，可简记为________存在至少有一个有存在量词“∃x∈M，s(x)”状元随笔全称量词命题与存在量词命题的区别(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．知识点四命题的否定1．命题的否定：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p

”，读作“非p”或“p的否定”．2．命题的真假与命题的否定的真假：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．3．常见的命题的否定形式有原语句是都是>

至少有一个至多有一个否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个知识点五全称量词命题和存在量词命题的否定1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x)．2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)．状元随笔全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．基

础

自

测1．下列语句中命题有________个，其中真命题有________个．①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”；⑤“x＋y为有理数，则x，y也都是有理数”；⑥“作△ABC∽△A1B1C1”．A.2，0

B．4，2C．3，2

D．4，3答案：A解析：①是一个反问句，不是命题；②是一个疑问句，不是命题；③符合命题的定义，是命题，是一个假命题；④是一个感叹句，不是命题；⑤符合命题的定义，是命题，是一个假命题；⑥是作图语言，不符合命题的定义，不是命题．2．(多选)下列命题中哪些是全称量词命题(

)A.任意一个自然数都是正整数B.所有的素数都是奇数C.有的正方形不是菱形D.三角形的内角和是180°答案：ABD解析：命题AB含有全称量词，而命题D可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，C是存在量词命题，故有三个全称量词命题．3．下列命题中存在量词命题的个数是(

)①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．A.0

B．1C．2

D．3答案：D解析：①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．4．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(

)A.对任意实数x，都有x＞1B.不存在实数x，使x≤1C.对任意实数x，都有x≤1D.存在实数x，使x≤1答案：C解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．题型1全称量词命题与存在量词命题的判断与其真假[经典例题]例1(1)判断下列命题哪些是全称量词命题，并判断其真假．①对任意x∈R，x2＞0；②有些无理数的平方也是无理数；③对顶角相等；④存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；⑤对任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0；⑥存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．正确地识别命题中的全称量词，是解决问题的关键．【解析】

①③⑤是全称量词命题，①是假命题，∵x＝0时，x2＝0.③是真命题．⑤是真命题．

【答案】B

方法归纳(1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．跟踪训练1

(1)下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是(

)A．π是无理数B．∃x0∈N，使2x0为偶数C．对任意x∈R，都有x2＋2x＋1＞0D．所有菱形的四条边都相等答案：D解析：(1)对于A，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题，不符合题意；对于B，∃x0∈N，使2x0为偶数，不是全称量词命题，不符合题意；对于C，对任意x∈R，都有x2＋2x＋1＞0，是全称量词命题，但当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，为假命题，不符合题意；对于D，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题并且是真命题，符合题意．(2)下列存在量词命题是真命题的是(

)A．有一个实数x，使x2＋3x＋4＝0B．至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数C．有些实数是无限不循环小数D．存在一个三角形，它的内角和小于180°答案：C解析：没有实数x，使x2＋3x＋4＝0成立，所以A不正确；n为整数，n2＋n＝n(n＋1)，是两个连续的整数乘积，一定是偶数，所以B不正确；有些实数是无限不循环小数，例如无理数，所以C正确；三角形的内角和为180°，所以不可能存在一个三角形，它的内角和小于180°，所以D不正确．故选C.题型2含有一个量词的命题的否定例2写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点；(2)q：∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9.【解析】

(1)¬p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点．因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以¬p是假命题．(2)¬q：∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9.因为x＝0时，x2＝0＜9，所以¬q是真命题．状元随笔先把命题否定，再判断真假．方法归纳全称量词命题的否定是一个存在量词命题，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，因此在书写他们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论．跟踪训练2

(1)[2024·福建厦门月考]设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(

)A．¬p：∀x∈A，2x∈B

B．¬p：∀x∉A，2x∉BC．¬p：∃x∉A，2x∈BD．¬p：∃x∈A，2x∉B∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，¬p(x)．答案：D解析：将“∀”否定为“∃”，“2x∈B”否定为“2x∉B”，即¬p：∃x∈A，2x∉B，故选D.(2)命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是(

)A.∃x∈R，x3－2x＋1≠0B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C．∀x∈R，x3－2x＋1＝0D．∀x∈R，x3－2x＋1≠0答案：D解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，故排除C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”，故排除B.题型3利用命题的否定求参数范围例3(1)若“∃x∈R，x2＋2x－a<0”是真命题，则实数a的取值范围是________；【答案】{a|a>－1}【解析】若“∃x∈R，x2＋2x－a<0”是真命题，则Δ>0，即4＋4a>0，解得a>－1，则实数a的取值范围是{a|a>－1}．(2)(多选)[2024·四川南充检测]若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(

)A．{x|x<－5}B．{x|－3<x≤－1}C．{x|x>3}D．{x|0≤x≤3}【答案】

AB【解析】

“∀x∈M，|x|>x”为真命题，则x<0；“∃x∈M，x>3”为假命题，则“∀x∈M，x≤3”为真命题．由上可知，集合M中的元素均为负数，∴集合M可以是{x|x<－5}或{x|－3<x≤－1}．故选AB.方法归纳利用含量词的命题的真假求参数的取值范围(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决.跟踪训练3

(1)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为(

)A．3，2，1B．1，－2，－3C．－1，－2，－3D．0，－2，－3答案：C解析：所举反例应满足“若a＞b＞c，则a＋b≤c”，可设a，b，c的值依次为－1，－2，－3.故选C.(2)[2024·四川省内江市月考]已知命题p：∃x≥3，使得2x－1<m，是假命题，则实数m的取值范围是________．答案：m≤5

能

力

提

升

练1.(1)是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)>0成立，求实数m的取值范围．解析：(1)存在，理由如下：不等式m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.∵t＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，∴tmin＝4，∴m>4.∴实数m的取值范围是(4，＋∞)．2．已知命题p：∀x∈{x|0<x<1}，x＋m－1<0，命题q：∀x∈{x|x>0}，mx2＋4x－1≠0.若p是真命题，q是假命题，求实数m的取值范围．解析：因为p是真命题，所以x＋m－1<0对0<x<1恒成立，即m－1<－x对0<x<1恒成立．当0<x<1时，－1<－x<0，所以m－1≤－1，即m≤0.因为命题q是假命题，所以¬q：∃x∈{x|x>0}，使得mx2＋4x－1＝0为真命题，即关于x的方程mx2＋4x－1＝0有正实数根．(1)当m＝0时，方程为4x－1＝0，有正实数根；

一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共21分)1．(5分)下列命题是存在量词命题的是(

)①有的数比它的倒数小；②平行四边形的对边相等；③存在有理数x，使x2－2＝0；④正方形都是平行四边形．A．①③B．②④C．①②D．③④答案：A解析：①中含有存在量词“有的”；②中隐含全称量词“所有”；③中含有存在量词“存在”；④中隐含全称量词“所有”．故①③是存在量词命题．故选A.2．(5分)已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(

)A．a<1B．a≤1C．a>1D．a≥1答案：D解析：因为p为假命题，所以¬p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1.选D.

答案：D

4．(6分)(多选)[2024·江苏省镇江市月考]下列命题为真命题的是(

)A．∃x∈R，x2≤1B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件C．集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合D．设全集为R，若A⊆B，则(∁RB)⊆(∁RA)答案：ABD解析：对于A，当x＝0时，x2≤1，故A是真命题；对于B，当a2＝b2时，则a＝±b，当a＝b时，则a2＝b2，则a2＝b2是a＝b的必要不充分条件，故B是真命题；对于C，集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}不表示同一集合，前者为点集，后者为数集，故C是假命题；对于D，若A⊆B，则A中元素都在B中，不在B中的元素一定不在A中，故x∈∁RB，则x∈∁RA，即(∁RB)⊆(∁RA)，故D是真命题．故选ABD.二、填空题(每小题5分，共15分)5．(5分)“三角形的外角至少有两个钝角”的否定是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析：原命题省略了全称量词“任意”，“至少有两个”的否定词语是“最多有一个