广东省广外实验2024-2025学年高二上学期10月月考 数学试题含答案

2024学年第一学期高二第一次月考数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量垂直可得，结合已知条件和向量的数量积的定义可求出夹角的余弦值，从而可求出向量的夹角.解：因为，是单位向量，所以，因为，所以，即，则，因为与的夹角范围为，所以与的夹角为.故选:C.2.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D.3.已知事件A与B互斥，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由事件互斥及概率的性质判断各项的正误即可.由事件A与B互斥，则，，A错，B对；由，，故C、D错.故选：B4.在中，，且的面积为，则边的长为（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由三角形的面积公式求解即可.因为的面积为，所以，所以.故选：A.5.设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或②若，则或③若且，则④若与,所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.对①，当，因为，，则，当，因为，，则，当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；对②，若，则与不一定垂直，故②错误；对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，同理可得，则，因为平面，平面，则平面，因为平面，，则，又因为，则，故③正确；对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.6.给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体中，必有；③是向量的必要不充分条件；④若空间向量满足，，则．其中正确命题的个数是（）．A.1 B.2 C.3 D.0【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的相关概念逐项判断.有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误；和大小一样、方向相同，则，故②正确；若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确；向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误.综上所述，②③正确.故选：B．7.如图，在平行六面体中，，，，则（）A.12 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.故选：B8.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率是()A. B.C. D.【答案】A【解析】设“C闭合”为事件G，“D闭合”为事件H，“A与B中至少有一个不闭合”为事件T，“E与F中至少有一个不闭合”为事件R，则P(G)＝P(H)＝，P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P()P()＝.故选A二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若复数，则B.若复数z满足，则复平面内z对应的点到实轴的距离等于到虚轴的距离C.若是纯虚数，则实数D.复数的虚部为【答案】AB【解析】【分析】对A，根据复数的运算即可求解；对B，由复数的模的公式化简求出z对应的点到实轴的距离等于到虚轴的距离即可判断，对C，根据纯虚数的概念列方程即可求解；对D，由虚部概念即可判断.解：对于A：，，故A正确；对于B：设，代入，得：，整理得：，即复平面内z对应的点在直线上，故复平面内z对应的点到实轴的距离等于到虚轴的距离，故B正确；对于C：是纯虚数，则，解得：，故C错误；对于D：复数的虚部为，故D错误.故选：AB.10.已知为两个事件，，，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据事件概率的相关公式进行转化求解不等式即可.因为，，所以所以,即，解得.故选：BC11.如图，在正方体中，分别是的中点．下列结论正确的是（）A.与垂直 B.与平面C.与所成的角为 D.平面【答案】ABD【解析】【分析】连接，运用中位线定理推出，结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理，分析判断可得A、B、D正确；再由异面直线所成的角的概念判断可得C．对A：连接，，则交于，又为中点，可得，由平面，平面，可得，故，故A正确；对B：连接，，由正方体性质可知平面，可得平面，故B正确；对C：与所成角就是，连接，由正方体性质可知，即为等边三角形，故，即与所成的角为，故C错误；对D：由，平面，平面，故平面，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则____________.【答案】【解析】【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案.解：连接，如图所示：因为是中点，分别是，的中点，所以,又因为，所以，所以.故答案为：13.从分别写有1，2，3，4，55张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.由从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的总数为个，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件为：，共有15个，所以抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为.故答案为：.14.和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线，而两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段．正方体中，异面直线和的公垂线段是_______；三棱锥的棱长都为1，则异面直线和的公垂线段的长度是_______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据公垂线段的概念即可判断；构造正方体，将公垂线段的长度转化为正方体的棱长，即可求解；解：在正方体中，于点，于点，所以异面直线和的公垂线段是；如图在正方体中取点，，，，可知，设，可知正方体的棱长为.取中点，中点，连接,易知点为的中点，由正方体的性质可知四边形为平行四边形，所以且.由正方体性质可知平面，平面，所以,，所以,，所以为异面直线和的公垂线段.所以异面直线和的公垂线段的长度为.故答案为：AB,四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，.（1）求的长；（2）求异面直线和夹角的余弦值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）在平行六面体中，由棱长及夹角，由和向量运算可得，平方可得，求出数量积，可得的大小；（2）由（1）可得的值，进而求出异面直线和夹角的余弦值.【小问1详解】在平行六面体中，因为，，，，，是的中点，，所以，由题意，，，，，所以，所以；【小问2详解】，，，所以.设异面直线和夹角为，则，所以.所以异面直线和夹角的余弦值为.16.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.（1）求z的值.（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.【答案】（1）400（2）（3）075【解析】【分析】（1）由分层抽样按比例运算即可得解；（2）先求出基本事件的个数，再由古典概型的概率公式求解即可；（3）先求出平均数，再求概率即可.解：（1）设该厂这个月共生产轿车辆，由题意可得，即，则；（2）抽取一个容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，用表示2辆舒适型轿车，表示3辆标准型轿车，用表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则在该样本中任取2辆的基本事件为，，，，，，，，，共10个，事件，，，，，，共7个，故;（3）由题意可得，则满足该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的有共6个，故所求概率为，即.【点睛】本题考查了分层抽样及平均数的求法，重点考查了古典概型概率公式，属中档题.17.如图，在四面体中，，且，设P为的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）线段上是否存在一点Q，满足，若存在，确定的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，1【解析】【分析】（1）建系，通过异面直线方向向量的夹角公式即可求解；（2）根据线线垂直可证明平面，即可得，即可根据判断点Q为的中点，利用三角形的边角关系即可求解比例.【小问1详解】取为坐标原点，以,所在的直线为轴，轴，在平面内作，交于点,为z轴，建立空间直角坐标系（如图所示）．则为中点,,设异面直线与所成角为，，所以异面直线与所成角的余弦值【小问2详解】如图所示，在平面内作，交于点N，连接．∵，平面，∴平面．∵平面，∴．取Q为的中点，则，∴，得证．在等腰中，，∴．在中，，∴．在中，，∴．因此．18.如图，长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，为的中点.（1）求证：；（2）求的长.（3）求与所成角的余弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，证明即可；（2）求出的坐标，由模长公式求模长即可求解；（3）求出和的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，因为，，所以，所以即.（2），所以，所以的长为.（3）由（1）知，，，，，设与所成角，则，故与所成角的余弦值为.19.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组．（1）若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？（2）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？【答案】（1）获得冠军的概率分别为，；（2）淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利.【解析】【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率；（2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论.【小问1详解】获得冠