广东省广州市2024-2025学年高二上学期10月月考 数学试题含答案

2024学年第一学期高二10月月考数学试题注意事项：1．答题前填写好自已的姓名、班级、考号等信息．2．请将答案正确填写在答题卡上．一、单项选择题：本题共小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.全集，由，得，又，所以.故选：C2.下列函数中，在上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由正切函数的单调性即可判断A，由指数函数的单调性即可判断B，由幂函数的单调性即可判断C，由对数函数与一次函数的单调性即可判断D对于A，在上单调递增，故A错误；对于B，在上单调递减，故B错误；对于C，的定义域为，且在上单调递增，故C错误；对于D，，当时，函数单调递增，且；当时，单调递增，且；所以函数在上单调递增，故D正确.故选：D3.若，且是方程的两实根，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同角平方和的关系即可结合韦达定理求解.由于是方程的两实根，所以，又，所以，故，由于，，所以，故，因此，所以，故选：D4.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（）A.23 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)，P(B)，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．5.已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断.对于A，设，即，解得，所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；对于B，设，无解，所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；对于C，设，解得，所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；对于D，设，解得，所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.故选：B.6.向量，，且，若，则实数的值为（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】求出，根据空间向量的模长公式以及数量积的坐标表示，列式计算，即可求得答案.由向量，，可得，结合，，即，得，结合，解得，则.故选：A7.如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果.如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，则.所以，又所以.故选：C.8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故选B．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.二、多项远择题：本想共3小题，每小恩6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．则下列结论正确的是（）A.B.身高落在内的人数为50人C.若从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取17人．则身高在的学生选取的人数为4人D.若将学生身高由高到低排序，前的学生身高为级，则身高为142厘米的学生身高肯定不是级【答案】ABC【解析】【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，得到方程求出的值，即可判断A，再根据频率分布直方图计算B、C，根据百分位数计算规则判断D.由频率分布直方图可得，解得，故A正确；身高落在内的人数为人，故B正确；样本中，，的频率之比为，所以身高在的学生选取人，故C正确；将学生身高由高到低排序，第分位数设为，则，解得，因为，故身高为厘米的学生身高肯定是级，故D错误；故选：ABC10.如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解.，即，故A错误、B正确；，即，故C错误，D正确.故选：BD.11.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形E,F,G,H分别为的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是（）A.平面平面 B.直线平面C.直线平面 D.直线平面【答案】ABC【解析】【分析】由线面平行的判定定理可得平面，平面，进而得出平面平面，故A正确；由中位线可知，进而由线面平行的判定定理，可得平面，故B正确；由，可得平面，故C正确；，所以直线与平面不平行，故D错误.作出立体图形如图所示.连接四点构成平面.对于A，因为E,F分别是的中点,所以.又平面，平面，所以平面.同理,平面.又,平面,平面，所以平面平面，故A正确；对于B，连接，设的中点为M，则M也是的中点，所以，又平面,平面，所以平面，故B正确；对于C，由A中的分析知，，所以，因为平面，平面，所以直线平面，故C正确；对于，根据C中的分析可知再结合图形可得，，则直线与平面不平行，故D错误.故选：ABC【点睛】本题考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题目.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，若，则的值为________.【答案】【解析】【分析】利用空间向量平行的坐标表示即可得解.因为，，所以，则，解得，所以.故答案为：.13.已知，则与夹角的余弦值为______________________.【答案】##【解析】【分析】由空间向量的数量积公式求解即可．，.故答案：14.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.【答案】①④【解析】【分析】在①中，由对立事件定义得与为对立事件；有②中，与有可能同时发生；在③中，与有可能同时发生；在④中，（C）（E）；在⑤中，从而（B）（C）．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”，①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；④，（C），（E），，从而（C）（E），故④正确；⑤，，从而（B）（C），故⑤错误．故答案为：①④．【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件等基本概念的合理运用．四、解答题，本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；（II）求事件B发生的概率；（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率．【答案】（I）||=36，P（A）=（II）（III）【解析】【分析】（I）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（II）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（III）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件与事件至少有一个发生的概率.（I）所有可能的基本事件为：共种.其中“两数之和为”的有共种，故.（II）由（I）得“两数之和是的倍数”的有共种，故概率为.（III）由（I）“两个数均为偶数”的有种，“两数之和为”的有共种，重复的有三种，故事件与事件至少有一个发生的有种，概率为.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算公式，考查列举法求解古典概型问题，属于基础题.16.如图所示，平行六面体中，.（1）用向量表示向量；（2）求；（3）求的长度.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解；（2）（3）利用空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的定义与运算法则即可解.小问1详解】在平行六面体中，【小问2详解】因为，，，所以，，，则.【小问3详解】因为，所以，则.17.成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.【答案】（1）分；（2）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图，能求出班级卫生量化打分检查得分的中位数．（2）“良”、“中”的频率分别为0.4，0.2．又班级总数为40．从而“良”、“中”的班级个数分别为16，8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，2．由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．（1）得分的频率为；得分的频率为；得分的频率为；所以得分的频率为设班级得分的中位数为分，于是，解得所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为分.（2）由（1）知题意“良”、“中”频率分别为又班级总数为于是“良”、“中”的班级个数分别为.分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为则为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为2个评定为“中”的班级标记为从这6个班级中随机抽取2个班级用点表示，其中.这些点恰好为方格格点上半部分（不含对角线上的点），于是有种.事件仅有一个基本事件.所以所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为.【点睛】本题考查中位数、概率的求法，考查分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，．求证：（1）平面；（2）平面．（3）求平面与平面的夹角大小．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）连接，交于，通过证明，得到平面.（2）先证，，根据线面垂直的判定定理，证明平面.（3）证明平面平面，得两个平面所成的角为.【小问1详解】如图：连接，交于，连接因为四边形为正方形，且，所以，所以.又，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】连接.因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以.又，，，所以四边形为正方形，所以，又平面，，所以平面.【小问3详解】因为，，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.所以平面与平面所成的角为.19.已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；