广东省广州市2024−2025学年高三上学期综合模拟测试（一） 数学试卷含答案

广东省广州市2024−2025学年高三上学期综合模拟测试（一）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知复数满足，则复数对应的点在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四3．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（

）A． B． C．10 D．204．若角的终边过点，则（

）A． B． C． D．5．已知：不等式的解集为，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．双曲线x2－＝1的渐近线与圆x2＋(y－4)2＝r2(r＞0)相切，则r＝（

）A． B． C． D．7．下列说法中，正确的命题是（

）A．已知随机变量X服从正态分布，则B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则D．若样本数据的方差为8，则数据的方差为28．已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数m取值范围值是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（

）A．中位数不变 B．平均数变小 C．方差变大 D．方差变小10．在正方体中，点分别是和的中点，则（

）A．B．与所成角为C．平面D．与平面所成角为11．设，且，则下列关系式可能成立的是（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．如图，矩形中，，E是的中点，则．13．若直线l既和曲线相切，又和曲线相切，则称l为曲线和的公切线．已知曲线和曲线，请写出曲线和的一条公切线方程：．14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．记的内角的对边分别为，，，已知为锐角，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的面积.16．已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．17．如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．18．已知在曲线，直线交曲线C于A，B两点．（点A在第一象限）(1)求曲线C的方程；(2)若过且与l垂直的直线与曲线C交于C，D两点；（点C在第一象限）（ⅰ）求四边形ACBD面积的最小值．（ⅱ）设AB，CD的中点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点．19．在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中，而在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：(1)求出维“立方体”的顶点数；(2)在维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离．①求的分布列与期望；②求的方差．

参考答案1．【答案】B【详解】因为，，当时，为非负的偶数，所以，，则，B对，ACD都错.故选：B.2．【答案】D【详解】因为，，所以复数对应的点的坐标为，在第四象限.故选：D3．【答案】A【分析】先利用二项式系数性质求出的值，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于31，求出的值，即可求得的系数．【详解】根据的展开式中，二项式系数的和为．而的展开式中，通项公式为，令，求得，可得展开式中的系数为，故选A．【思路导引】公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)中，Cnkan－kbk是展开式的第k＋1项，可记作Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．4．【答案】A【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角的终边过点，所以，所以.故选A.5．【答案】A【分析】首先计算出不等式的解集为时的取值范围，再根据范围大小即可得出结论.【详解】若不等式的解集为，当时，符合题意；当时，需满足且，解得综合可得而所以p能推出q，q不能推出p，即是的充分不必要条件.故选：A6．【答案】D【详解】圆x2＋(y－4)2＝r2的圆心坐标为，半径为，双曲线x2－＝1的渐近线方程为：，所以有：，故选：D7．【答案】D【详解】解：A.已知随机变量服从正态分布，，则，所以，所以，∴，故A错误；B.线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故B错误；C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C错误；D.设数据，，…，的方差为，则样本数据，，…，的方差为，则，即数据的方差为2，故D正确.故选：D.8．【答案】C【详解】由，得或，作出的图象，如图所示，由图可知，要使方程有3个不同的实根，当，即时，，符合题意，当，即时，，符合题意，所以所求范围是.故选：C.9．【答案】AC【详解】对于选项A，原数据的中位数为，去掉后的中位数为，即中位数没变，故选项A正确；对于选项B，原数据的平均数为，去掉后的平均数为即平均数不变，故选项B错误：对于选项C，则原数据的方差为，去掉后的方差为，故，即方差变大，故选项C正确，选项D错误.故选：AC.10．【答案】BD【详解】如图，以D为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，故，则，故不垂直，即不垂直，A错误；又，故，由于异面直线所成角的范围为大于小于等于，故与所成角为，B正确；由A的分析可知不垂直，又,即四边形为平行四边形，则，故不垂直，若平面，平面，则，这与不垂直矛盾，故和平面不垂直，C错误；平面的法向量可取为，则，而线面角范围为大于等于小于等于，故与平面所成角的正弦值为，则与平面所成角为，D正确，故选：BD11．【答案】AC【详解】由于，知，及其，则，解得，对AB，，设函数，，故在上单调递减，则1，即，故A对B错；对C，由于，设，，故在上单调递减，，故，若，故C对；对D，，设，，令，则，则，，则，，则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误.故选：AC.12．【答案】【详解】，，则.故答案为：.13．【答案】（答案不唯一，或填）【详解】设公切线与相切的切点为，与相切的切点为.由，则，则公切线方程为，即；由，则，则公切线方程为，即；所以解得或.故曲线和的公切线方程为或.故答案为：（答案不唯一，或填）14．【答案】【分析】设，，由圆和椭圆的性质和已知条件可得，，，则有，通过构造函数，利用单调性求出值域，得的取值范围，可求离心率的取值范围.【详解】设，，因为点A在第一象限，所以.又A，B均在以线段为直径的圆上，所以四边形为矩形，即．因为，所以，即.因为，，所以，即.因为，设，，则，.对勾函数在区间上单调递增，所以，即.当时，解得，即，解得；当时，解得，即，即，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．15．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用二倍角公式化简等式，解出即可；（2）根据正弦定理求出角,再利用三角形面积公式计算即可.【详解】（1）由已知可得,，解得.因为为锐角，所以，所以，所以.（2）由题，，又由正弦定理，得.因为，所以或.当时，，所以；当时，，所以，所以的面积为或.16．【答案】(1)极大值为，无极小值；(2)【详解】（1），定义域为，，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，极大值为，无极小值；（2）当时，不等式恒成立，令，，则，故，解得，当时，，令，则，故在上单调递增，故，故，满足要求，当时，不合要求，综上，a的取值范围是.17．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得，又平面平面，平面平面，面ABC，则平面，又平面，于是，而，则，又，平面，因此平面，又平面，所以（2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高，由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为，设点到平面的距离为d，由，得，而，，则的面积，由，，得，又，，则，又，，由余弦定理得，则，的面积，则，即，所以点到平面的距离为.18．【答案】(1)(2)，过定点，证明见解析.【详解】（1）将两边平方，可得，化简可得，整理得，所以曲线C的方程为.（2）(i)设点，由(1)知曲线的准线为，设F1,0，根据抛物线性质可知，而由题意知可知，由题意可知直线过1,0且与直线交于点1,0，所以可知所以，由，消去得，根据韦达定理可知，所以，由题意可知将其与曲线联立同理可解得，，所以则由不等式性质可得，所以四边形ACBD面积的最小值为；(ii)由(i)可知，所以点横坐标为，带入到直线，可求得点纵坐标为，所以点同理可求得，所以直线的斜率为，所以直线方程为，所以直线过定点.19．【答案】(1)个(2)①分布列见解析，；②【分析】（1）由题根据分步计数乘法原理，即可确定顶点