1.3 正方形的性质与判定 同步练习

第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定基础过关全练知识点1正方形的定义和性质1.下列条件可以利用定义说明平行四边形ABCD是正方形的是()A.AB=CD，∠A=90° B.AB=AD，∠A=90°C.AB∥CD，∠A=90° D.以上均错2.(2023贵州贵阳期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(4，0)，则顶点C的坐标是()A.(2，2) B.(2，-2) C.(-2，2) D.(22，-2)3.(2023河北保定竞秀期中)如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，连接BE，则∠BEA为()A.15° B.30° C.45° D.55°4.(2022湖北黄石中考)如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为()A.(-2，0) B.(2，0) C.(0，2) D.(0，2)5.(2021重庆中考A卷)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为()A.1 B.2 C.2 D.26.(2022湖北随州中考)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形.(1)求证：AE=CF；(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB=5，求CF的长.知识点2正方形的判定7.(2021广西玉林中考)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c.则正确的是()A.仅① B.仅③ C.①② D.②③8.(2023辽宁沈阳沈北新区期中)如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是()A.AB=BC=CD=DA B.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDC.AO=CO，BO=DO，AC⊥BD D.AB=BC，CD⊥DA9.(2022湖南邵阳中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA.求证：四边形AECF是正方形.10.(2022山东威海文登期末)如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D.AN是△ABC的外角∠MAC的平分线，过点C作CE∥AD，交AN于点E.(1)试判断四边形ADCE的形状并说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形?请说明理由.知识点3中点四边形11.(2023福建漳州诏安期中)依次连接下列四边形四边的中点得到的四边形不是菱形的是()A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形12.(2022江苏苏州城西中学期中)如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法：①若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC=BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4能力提升全练13.(2022重庆中考B卷)如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.E、F分别为AC、BD上的点，且OE=OF，连接AF、BE、EF.若∠AFE=25°，则∠CBE的度数为()A.50° B.55° C.65° D.70°14.(2022贵州黔东南州中考)如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为()A.23+2 B.5−33 C.3−15.(2022辽宁大连二模)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，AF与BE交于点G，若AF⊥BE，求证：AF=BE.[变式1：条件结论互换]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，AF与BE交于点G，若AF=BE，求证：AF⊥BE.[变式2](2023山东郓城期中)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF=DE，AF与DE相交于点G.求证：矩形ABCD为正方形.[变式3](2023北京师大附中期中)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM，CN与BM交于点P，连接AP，则AP的最小值为()A.1 B.2 C.5−1 16.(2023山东平原期中)如图，四边形ABCD与四边形DEFG均为正方形，连接AG，CE，二者相交于点H.(1)请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；(2)连接AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系?并说明理由.17.(2022安徽宣城六中月考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图①，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是；

(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明).素养探究全练18.如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于点F.(1)求证：PC=PE；(2)求∠CPE的度数；(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变.当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.

第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定答案全解全析基础过关全练1.B正方形定义中需要平行四边形满足的条件是有一个角是直角，且有一组邻边相等，符合的只有选项B.2.B连接AC，如图：∵四边形OABC是正方形，∴点A，C关于x轴对称，AC所在直线为OB的垂直平分线，即A，C的横坐标均为2，根据正方形对角线相等的性质可得AC=BO=4，又∵A，C关于x轴对称，∴A点纵坐标为2，C点纵坐标为-2，故C点坐标为(2，-2)，故选B.3.A∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∠BAE=150°，∴∠BEA=∠ABE=12×(180°-150°)=15°.4.D如图，连接OB，∵四边形OABC为正方形，且其边长为2，∴OC=BC=2，∠BCO=90°，∠BOC=45°，∴OB=OC2+BC2=(2)2+(2)2=2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，5.C∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO=∠NCO=45°，OD=OC，∠DOC=90°，∴∠DON+∠CON=90°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠DON+∠DOM=90°，∴∠DOM=∠CON，在△DOM和△CON中，∠DOM=∠CON,OD∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积=△DOM的面积+△DON的面积，∴四边形MOND的面积=△CON的面积+△DON的面积=△DOC的面积=1，∴正方形ABCD的面积是4，∴AB2=4，∴AB=2，故选C.6.解析(1)证明：∵四边形BEDF为正方形，∴DF=EB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，∴DC-DF=AB-EB，∴AE=CF.(2)∵平行四边形ABCD的面积为20，AB=5，∴5DE=20，∴DE=4，∵四边形BEDF为正方形，∴EB=DE=4，∴AE=AB-EB=5-4=1，由(1)知AE=CF，∴CF=1.7.C①添加a得到四边形是平行四边形，添加c得到平行四边形是菱形，再添加d得到菱形是正方形，故①正确；②添加b得到四边形是平行四边形，添加d得到平行四边形是矩形，再添加c得到矩形是正方形，故②正确；③添加a得到四边形是平行四边形，添加b得到平行四边形仍是平行四边形，再添加c得到平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确.故选C.8.BA.由AB=BC=CD=DA只能判定四边形ABCD为菱形，故A不符合题意；B.由AC⊥BD且AC、BD互相平分可判定四边形ABCD为菱形，再由AC=BD可判定四边形ABCD为正方形，故B符合题意；C.由AO=CO，BO=DO，AC⊥BD只能判定四边形ABCD为菱形，故C不符合题意；D.根据AB=BC，CD⊥DA不能判定四边形ABCD为正方形，故D不符合题意.故选B.9.证明∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是菱形，∵OE=OA，∴OE=OF=OA=OC，即EF=AC，∴菱形AECF是正方形.10.解析(1)四边形ADCE是矩形.理由：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，AD⊥BC，即∠ADC=90°∵AN平分∠MAC，∴∠MAE=∠CAE=12∠MAC又∵∠BAC+∠MAC=180°，∴∠CAD+∠CAE=12∠BAC+12∠MAC=90°，即∠EAD=90°，∴∠ADC+∠EAD=180°又∵CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形.(2)当∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形.理由：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠ADC=90°，∠DAC=12∠BAC=45°∴∠ACD=45°，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，由(1)知四边形ADCE是矩形，∴四边形ADCE为正方形.11.B选项A，顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，不符合题意；选项B，顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，符合题意；选项C，顺次连接正方形四边中点得到的四边形是正方形，正方形是特殊的菱形，不符合题意；选项D，顺次连接等腰梯形四边中点得到的四边形是菱形，不符合题意.故选B.12.C∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，EF=12AC，GH∥AC，GH=12AC，EH∥BD，EH=12BD，∴EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形.①当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，说法正确；②当AC=BD时，EF=EH，则四边形EFGH为菱形，说法正确；③四边形EFGH一定是平行四边形，AC与BD不一定互相平分，原说法错误；④当四边形EFGH是正方形时，AC与BD能力提升全练13.C∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB=∠AOD=∠BOC=90°，OA=OB=OC.∵OE=OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF=∠OFE=45°，∵∠AFE=25°，∴∠AFO=∠AFE+∠OFE=70°，∴∠FAO=20°.在△AOF和△BOE中，OA∴△AOF≌△BOE(SAS)，∴∠FAO=∠EBO=20°，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴∠CBE=∠EBO+∠OBC=65°.故选C.14.D解法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD=90°，AD=AB，∴∠BAG=180°-90°=90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB=2，∠ABC=60°，∴∠G=30°，∴BG=2AB=4，∴AG=23，∴DG=AD+AG=2+23，∵∠G=30°，DF⊥BC，∴DF=12DG=12解法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，则∠BHE=∠DGE=∠EGF=90°， ∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB=2，∠ABC=60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE=DE=AB=2，∠ABE=∠BED=90°，∴∠EBH=180°-∠ABC-∠ABE=180°-60°-90°=30°，∴EH=12BE=2×12=1，∵∠EGF=∠EHB=∠DFH=90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG=EH=1，∠BEH+∠BEG=∠GEH=90°，∵∠DEG+∠BEG=∠BED=90°，∴∠BEH=∠DEG，在△BEH和△DEG中，∠BHE=∠DGE,∠∴DG=BH=3，∴DF=DG+FG=3+1，故选D.15.证明∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∵AF⊥BE，∴∠AGB=∠BAE=90°，∴∠BAG+∠ABG=∠BAG+∠DAF=90°，∴∠ABG=∠DAF，在△ABE和△DAF中，∠∴△ABE≌△DAF(ASA)，∴AF=BE.[变式1]证明∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，在Rt△ABE和Rt△DAF中，BE∴Rt△ABE≌Rt△DAF(HL)，∴∠ABG=∠DAF，又∵∠BAG+∠DAF=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE.[变式2]证明∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，∵DE⊥AF，∴∠AGD=90°=∠DAB，∴∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°，∴∠BAF=∠ADE，又∵AF=DE，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴AD=AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形.[变式3]C∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=90°，又AM=BN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠ABM=∠BCN，∵∠BCN+∠BNC=90°，∴∠ABM+∠BNC=90°，∴∠BPC=∠BPN=90°，取BC的中点O，连接PO，AO，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知PO=12BC=1，易知AP≥AO-PO，当A、P、O三点在一条直线上时，AP的值最小，此时AP=AO-PO，在Rt△ABO中，AB=2，BO=1，由勾股定理得AO=AB2+BO16.解析(1)AG=CE，AG⊥CE.证明：如图，AG与CD的交点记作点P，∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴AD=CD，DG=DE，且∠ADC=∠GDE=90°，∴∠ADG=∠CDE，在△ADG与△CDE中，AD=CD,∠ADG∴AG=CE，∠DAG=∠DCE，∵∠ADC=90°，∴∠DAG+∠APD=90°，∴∠DCE+∠APD=90°，∵∠APD=∠CPH，∴∠DCE+∠CPH=90°，∴∠CHA=90°，∴AG⊥CE.(2)S△ADE=S△CDG.理由：如图，过点A作AM⊥ED，交ED的延长线于M，过点C作CN⊥DG，交DG的延长线于N，∴∠M=∠N=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠ADM+∠CDM=90°，∵四边形DEFG是正方形，∴DE=DG，∠EDG=90°，∴∠MDN=90°，∴∠MDC+∠CDN=90°，∴∠ADM=∠CDN，∴△ADM≌△CDN(AAS)，∴AM=CN，∴S△ADE=12DE·AM∵S△CDG=12DG·CN，∴S△ADE=S△CDG17.解析(1)如图①，连接BD，∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=12BD∵点F，G分别为边BC，