第6章 反比例函数（单元重点综合测试）

第6章反比例函数（单元重点综合测试）一、单选题1．下列函数中，为反比例函数的是（

）A． B． C． D．2．若点在反比例函数的图像上，则的值为（

）A． B． C． D．3．关于反比例函数y=（－8≤x≤－1），下列说法中不正确的是（

）A．y随x的增大而增大 B．函数图象经过点(－4，－2)C．函数图象位于第三象限 D．y的最小值为－84．在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线l，直线l与反比例函数的图象的一个交点为，则k（

）A．2 B．6 C． D．15．反比例函数y=与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．6．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（

）A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜17．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法正确的是（

）A．密度随体积的增大而增大B．密度和体积的关系式为C．密度时，体积的范围为D．体积时，密度的范围为8．如图，菱形AOBC的边BO在x轴正半轴上，点A(2，)，反比例函数图象经过点C，则k的值为()A．12 B． C． D．9．如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（

）A．4 B．2 C．1 D．610．如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（

）A． B． C． D．二、填空题11．若函数是反比例函数，则的值等于．12．已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是．13．若点在双曲线上，则的大小关系是．14．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则点P在第象限．15．已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，若400度的近视眼镜的镜片焦距为0.6米，则200度的近视眼镜的镜片焦距为米．16．已知点在反比例函数的图象上，将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是17．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值是______．18．如图，已知直线交轴于点，分别与函数和的图象相交于点，，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连接，，若，，则．

三、解答题19．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：（1）一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位：）的变化而变化；（2）某长方体的体积为，长方体的高h（单位：）随底面积S（单位：）的变化而变化；（3）一个物体重，物体对地面的压强p（单位：）随物体与地面的接触面积S（单位：）的变化而变化．20．已知y与成反比例，并且当时，．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当时，求y的值；（3）当时，求x的值．21．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝，求y与x的函数关系式．22．已知点A（4，m）在反比例函数y＝的图象上．（1）求m的值；（2）当4＜x＜8时，求y的取值范围．23．一辆客车从A地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中．(1)求与的函数关系式及的取值范围；(2)客车上午8点从A地出发，客车需在当天14点至15点30分（含14点与15点30分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围．24．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出不等式的解集；（3）若点是轴上一点，且满足的面积是，请求出点的坐标．25．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系.(如图)已知该材料初始温度是32℃．(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；(2)根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？26．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．(1)求反比例函数解析式；(2)证明：点A关于原点的对称点B也在反比例函数的图象上；(3)已知点C在反比例函数的图象上，其横坐标为4，且点C、点D关于原点中心对称，求证四边形是矩形．27．如图，正方形的边长为4，反比例函数的图象过点．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段交于点D，直线过点D，与线段相交于点F，求点F的坐标；（3）连，探究与的数量关系并证明（提示：）．28．如图1，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为．（1）若点的坐标为．①点坐标为______，点坐标为______，直线的函数表达式为______；②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标；（2）连接、．①当时，求的长度；②如图2，试证明的面积是个定值．

第6章反比例函数（单元重点综合测试）一、单选题1．下列函数中，为反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的定义逐项分析即可．【解析】解：A.是正比例函数；B.不是反比例函数；C.不是反比例函数；D.是反比例函数；故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数．2．若点在反比例函数的图像上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，即可求出．【解析】解：∵点A（3，-6）在反比例函数的图象上，∴k=3×（-6）=-18．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式是解题的关键3．关于反比例函数y=（－8≤x≤－1），下列说法中不正确的是（

）A．y随x的增大而增大 B．函数图象经过点(－4，－2)C．函数图象位于第三象限 D．y的最小值为－8【答案】A【分析】根据反比例函数图象的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征进行分析即可．【解析】解：∵k＝8，∴反比例函数y=（−8≤x≤−1）在第三象限，y随x的增大而减小，∴当x＝−1时，反比例函数y=（−8≤x≤−1）有最小值−8，故A说法不正确；C说法正确，D说法正确；∵−4×（−2）＝8＝k，∴函数图象经过点（−4，−2），B说法正确；故选：A．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质．4．在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线l，直线l与反比例函数的图象的一个交点为，则k（

）A．2 B．6 C． D．1【答案】A【分析】由直线平移性质求出一次函数解析式，再求出A的坐标，再代入反比例函数解析式可得．【解析】y=x向上平移1个单位长度可知直线l为y=x+1，因为点A(a，2)在y=x+1上，所以a+1=2，解得a=1.即点A（1，2），把（1，2）代入反比例函数的得，解得k=2．故选A【点睛】考核知识点：一次函数和反比例函数．理解反比例函数和一次函数一般性质是关键．5．反比例函数y=与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】反比例函数，当k>0时,函数图像在第一,三象限,当k<0时，函数图像在第二,四象限；【解析】解：A．由反比例函数图象知k>0，与一次函数图象k<0矛盾，A不正确；B．由反比例函数图象知k<0，与一次函数图象k<0一致，而一次函数与y轴交于负半轴，得-k+2<0解得k>2,与k<0矛盾，B不正确；C．由反比例函数图象知k<0,与一次函数图象k>0矛盾，C不正确；D．由反比例函数图象知k>0，一次函数图象k>0而一次函数与y轴交于正半轴，得-k+2>0解得k<2所以0<k<2，D正确．故选D6．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（

）A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1【答案】D【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【解析】解：由图可知，当y1＞y2，的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关系是根据函数图象的位置关系确定x的取值范围．7．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法正确的是（

）A．密度随体积的增大而增大B．密度和体积的关系式为C．密度时，体积的范围为D．体积时，密度的范围为【答案】C【分析】求得反比例函数的关系式，根据反比例函数的性质解答即可．【解析】解：观察图象，密度是体积的反比例函数，且经过点，设反比例函数的关系式为，则，∴函数关系式为，A、密度随体积的增大而减少，原说法错误，本选项不符合题意；B、密度和体积的关系式为，原说法错误，本选项不符合题意；C、密度时，体积的范围为，正确，，本选项符合题意；D、体积时，密度的范围为，原说法错误，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求得比例函数的关系式是解题的关键．8．如图，菱形AOBC的边BO在x轴正半轴上，点A(2，)，反比例函数图象经过点C，则k的值为()A．12 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可求出菱形的边长．再根据边BO在x轴正半轴上，即可判断轴，从而可求出C点坐标，代入反比例函数解析式求解即可．【解析】解：∵点A(2，)，∴，∴菱形的边长为4，即．∵边BO在x轴正半轴上，∴轴，∴，，∴C(6，)．将C(6，)代入，得：解得：．故选C．【点睛】本题考查两点的距离公式，菱形的性质，坐标与图形以及求反比例函数解析式．利用数形结合的思想是解题关键．9．如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（

）A．4 B．2 C．1 D．6【答案】C【分析】根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可．【解析】解：∵PA⊥x轴于点A，交于点B，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．10．如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，过点作轴，过点作轴，设，，证明，并得到，，根据反比例函数的性质得，即，继而得到是等腰直角三角形，已知的面积为，可得，又因为在反比例函数的图象上，可得，即可求出，，再求出直线的表达式，利用方程组确定点的坐标，求出和，即可得出的面积．【解析】解：如图，过点作轴，过点作轴，设，，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴，∵在和中，，∴，∴，，∵在和中，，∴，∴，，∴，，又∵，在反比例函数的图象上，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，，∵，∴，∵在反比例函数的图象上，即，∴，，∴，，反比例函数的表达式为，设：直线的表达式为，∴，解得：，∴直线的表达式为，∵，解得：或，∴，∵，，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数的解析式等，利用设出的，表示出相关点的坐标是解答本题的关键．二、填空题11．若函数是反比例函数，则的值等于．【答案】【分析】根据反比例函数的定义，即可解答．【解析】解：∵函数是反比例函数，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的三种表达式：．12．已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是．【答案】【分析】先根据函数在每个象限内，y随x的增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解析】解：∵函数在每个象限内，y随x的增大而减小，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．13．若点在双曲线上，则的大小关系是．【答案】【分析】根据反比例函数的性质计算判断即可．【解析】∵点在双曲线上，∴在每一象限内，y随x的增大而增大，∴．∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键．14．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则点P在第象限．【答案】四【分析】由点在反比例函数上，可得，由可得，进而得出答案．【解析】解：∵点在反比例函数上，∴，∵，∴，∴点P在第四象限．故答案为：四．【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出是解答此题的关键．15．已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，若400度的近视眼镜的镜片焦距为0.6米，则200度的近视眼镜的镜片焦距为米．【答案】1.2//【分析】由于近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米成反比例，可设，由于点在此函数解析式上，故可先求得的值，再把代入解析式求值即可．【解析】解：根据题意近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米成反比例，设，由于点在此函数解析式上，，，当时，，度的近视眼镜的镜片焦距为1.2米，故答案为：1.2【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．16．已知点在反比例函数的图象上，将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是【答案】【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”求得点P平移后的点的坐标，根据两点均在反比例函数的图象上，将两点坐标代入反比例函数解析式中求解即可．【解析】解：∵点，∴将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点的坐标为，依题意，得，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、点的坐标平移规律，解题的关键是由点坐标表示出平移后的点的坐标．17．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值是______．【答案】【分析】根据题意可以分别设出点A和点B的坐标，再根据点A与点B关于x轴对称，可以求得m的值．【解析】解：设点A的坐标为，点B的坐标为，∵点A与点B关于x轴对称，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴和y轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．18．如图，已知直线交轴于点，分别与函数和的图象相交于点，，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连接，，若，，则．

【答案】【分析】根据同底等高的三角形面积相等以及反比例函数系数的几何意义得出，然后根据，，即可求得的面积．【解析】解：连接，，，延长交轴于，

∵同底等高的三角形面积相等∴，同理：，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积以及不同底等高是三角形面积的关系，证得是解题的关键．三、解答题19．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：（1）一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位：）的变化而变化；（2）某长方体的体积为，长方体的高h（单位：）随底面积S（单位：）的变化而变化；（3）一个物体重，物体对地面的压强p（单位：）随物体与地面的接触面积S（单位：）的变化而变化．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据游泳池的容积=游泳池注满水所用时间×注水速度解答即可；（2）根据长方体的体积=长方体的底面积×高求解即可；（3）根据物体对地面的压强=物体重量÷物体与地面的接触面积解答即可．【解析】解：（1）根据vt=2000得：游泳池注满水所用时间；（2）根据1000=Sh得：长方体的高；（3）根据题意，物体对地面的压强．【点睛】本题考查反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解答的关键．20．已知y与成反比例，并且当时，．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当时，求y的值；（3）当时，求x的值．【答案】（1）；（2）y=16；（3）x=．【分析】（1）根据反比例函数的定义设，将x、y值代入求解k即可；（2）将x=1.5代入（1）中解析式求解即可；（3）将y=6代入（1）中解析式求解即可．【解析】解：（1）根据题意，设y关于x的函数解析式，将，代入，得：，解得：k=36，∴y关于x的函数解析式为；（2）当时，；（3）当y=6时，由得：，解得：．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、平方根，掌握待定系数法求解函数解析式的方法步骤，并会将已知量代入函数解析式求出未知量的值是解答的关键．21．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝，求y与x的函数关系式．【答案】y=+【分析】根据反比例函数与正比例函数定义可设y1=，y2=，则y=+，再把两组对应值分别代入得到a和b的方程组，解方程组求出a和b即可得到y与x的函数关系式；【解析】解：设y1=，y2=，则y=+，把x=1，y=5；x=3，y=分别代入得，解得，所以y与x的函数关系式为y=+=+=+∴y=+；【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．22．已知点A（4，m）在反比例函数y＝的图象上．（1）求m的值；（2）当4＜x＜8时，求y的取值范围．【答案】（1）m=1；（2）当4＜x＜8时，＜y＜1【分析】（1）将点A（4，m）的坐标代入反比例函数的解析式，可以求得m；（2）在第一象限里y随x的增大而减少，所以当x=4时，y有最大值，当x=8时，y有最小值．【解析】（1）将点A（4，m）代入上得，解得（2）因为在第一象限里y随x的增大而减少，所以当x=4时，y有最大值1，当x=8时，y有最小值，所以＜y＜1【点睛】本题综合考查了反比例的解析式及其图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉相关性质．23．一辆客车从A地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中．(1)求与的函数关系式及的取值范围；(2)客车上午8点从A地出发，客车需在当天14点至15点30分（含14点与15点30分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由待定系数法即可得到函数关系式，再由v的取值范围得到t的取值范围；（2）由题意得到，根据t的取值范围和反比例函数的增减性即可得到答案．【解析】（1）解：由题意可知与的函数关系是反比例函数，设与的函数关系式为，把点代入得，，解得，，∴与的函数关系式是，∵，∴的取值范围；（2）由题意得到，当时，，当时，，由图象可知随着的增大而减小，∴，即客车行驶速度的取值范围为．【点睛】此题考查了反比例函数，考查了待定系数法、反比例函数的图象和性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．24．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出不等式的解集；（3）若点是轴上一点，且满足的面积是，请求出点的坐标．【答案】（1），；（2）或；（3）点坐标为或．【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，从而求出点B坐标，再通过待定系数法求一次函数解析式．（2）通过观察图象交点求解．（3）设点P坐标为（m，0），通过三角形PAB的面积为10及三角形面积公式求解．【解析】解：（1）将代入得，解得，反比例函数解析式为．，解得，所以点坐标为，把，代入得：，解得，一次函数解析式为．（2）由图象可得当或时式．故答案为：或．（3）设点坐标为，一次函数与轴交点为，把代入得，解得，点坐标为．，，即，解得或．点坐标为或．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与不等式的关系．25．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系.(如图)已知该材料初始温度是32℃．(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；(2)根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？【答案】(1）锻造时的函数关系式为；煅烧时的函数关系式为；(2)4分钟【分析】（1）根据题意，材料煅烧时，温度与时间成一次函数关系，煅烧结束时，温度与时间成反比例函数关系，将题中数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式；（2）把代入中，求解得出答案即可．【解析】解：（1）停止加热时，设，由题意得，解得，当时，，解得，点B的坐标为（6，800）；材料加热时，设，由题意得，解得．材料加热时，与的函数关系式为，停止加热进行锻造时与的函数关系式为：．（2）把代入中，得分钟．故锻造的操作时间为4分钟．【点睛】考点：反比例函数的应用．26．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．(1)求反比例函数解析式；(2)证明：点A关于原点的对称点B也在反比例函数的图象上；(3)已知点C在反比例函数的图象上，其横坐标为4，且点C、点D关于原点中心对称，求证四边形是矩形．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出，再求出当时，y的值即可得到答案；（3）先求出∴，再由C、D关于原点对称，得到，，同理得，即可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理证明，即，即可证明平行四边形是矩形．【解析】（1）解：把代入到反比例函数解析式中得：，∴，∴反比例函数解析式为；（2）证明：∵A、B两点关于原点对称，，∴；在中，当时，，∴在反比例函数的图象上；（3）证明：在中，当时，，∴，∵C、D关于原点对称，∴，，∵A、B两点关于原点对称，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴，即，∴平行四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定，关于原点对称的点的坐标特点，勾股定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键．27．如图，正方形的边长为4，反比例函数的图象过点．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段交于点D，直线过点D，与线段相交于点F，求点F的坐标；（3）连，探究与的数量关系并证明（提示：）．【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析【分析】（1）设反比例函数的解析式为，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论；（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y=x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标；（3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG，BE=CH=1，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OH=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线．所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论．【解析】（1）设反比例函数的解析式，∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴，即k=12．∴反比例函数的解析式为；（2）∵正方形的边长为4，∴点的横坐标为4，点的纵坐标为4．∵点在反比例函数的图象上，∴点的纵坐标为3，即，∵点在直线上，∴，解得，∴直线的解析式为，将代入，得，解得，∴点的坐标为；（3）．证明如下：如图，在上截取，连接，连接并延长交轴于点．∵，∴△OAF≌△OCG（SAS）．∴．∵，∴△EGB≌△HGC（ASA）．∴．设直线的解析式为，∵，∴，解得．∴直线的解析式为．令，得．∴．在中，，根据勾股定理得．∴，∴是等腰底边上的中线，∴是等腰顶角的平分线，∴．∴，即．【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解