2024-2025学年高考数学一轮复习专题2.3函数的奇偶性与周期性知识点讲解理科版含解析

函数的奇偶性与周期性【核心素养分析】1.结合详细函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和探讨函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会推断、应用简洁函数的周期性.3.培育学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。【重点学问梳理】学问点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称学问点二函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【特殊提示】1.(1)假如一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么肯定有f(0)＝0.(2)假如函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的随意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.【典型题分析】高频考点一函数奇偶性的判定例1．【2024·全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可解除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，解除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，依据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.【举一反三】（2024·四川成都七中模拟）下列函数为偶函数的是()A．y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) B．y＝x2＋e|x|C．y＝xcosx D．y＝ln|x|－sinx【答案】B【解析】对于选项A，易知y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝xcosx，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，所以y＝xcosx为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sinx，则f(2)＝ln2－sin2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sinx为非奇非偶函数，故选B.【方法技巧】推断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必需先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)图象法：f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数；f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．【变式探究】【2024年高考浙江】函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]上的图象可能是【答案】A【解析】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，，据此可知选项B错误.故选：A．高频考点二函数奇偶性的应用例2．【2024·江苏】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则的值是．【答案】－4【解析】，因为为奇函数，所以。【举一反三】(2024·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.【答案】－3【解析】法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，则f(ln2)＝e－aln2＝8，∴－aln2＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln2)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)))＝－(－eeq\s\up5(alneq\f(1,2)))＝8，∴alneq\f(1,2)＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.【方法技巧】与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．【变式探究】（2024·黑龙江哈尔滨三中模拟）设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x，x＜0，,gx＋1，x>0，))若f(x)是奇函数，则g(3)的值是()A．1 B．3C．－3 D．－1【答案】C【解析】∵函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x，x＜0，,gx＋1，x>0，))f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)，∴log2(1＋3)＝－(g(3)＋1)，则g(3)＝－3.故选C.高频考点三函数的周期性例3.(2024·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满意f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50 B.0 C.2 D.50【答案】C【解析】方法一：∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.方法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sineq\f(πx,2)，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.【方法技巧】(1)求解与函数的周期性有关的问题，应依据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)周期函数的图象具有周期性，假如发觉一个函数的图象具有两个对称性(留意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数肯定具有周期性．【变式探究】（2024·湖北武汉二中模拟）函数f(x)满意f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0＜x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2＜x≤0，))则f(f(15))的值为________．【答案】eq\f(\r(2),2)【解析】由函数f(x)满意f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，所以f(f(15))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).高频考点四函数性质的综合应用例4.（2024·上海市建平中学模拟）已知函数.（1）若满意为上奇函数且为上偶函数，求的值；（2）若函数满意对恒成立，函数，求证：函数是周期函数，并写出的一个正周期；（3）对于函数，，若对恒成立，则称函数是“广义周期函数”，是其一个广义周期，若二次函数的广义周期为（不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对随意的，，成立的充要条件是.【答案】（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析【解析】（1）因为满意为上奇函数，所以，所以，又因为满意为上偶函数，所以，所以，所以有，所以，所以，所以，所以的一个周期为，又因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以；（2）因为，所以，因为，所以，所以是周期函数，一个正周期为；（3）充分性：当时，，此时，所以充分性满意；必要性：因为二次函数的广义周期为，所以，所以，所以，又因为不恒成立，所以，所以，又因为，所以，，由可知：，即，所以必要性满意.所以：对随意的，，成立的充要条件是.【方法技巧】（1）利用奇偶性以及对称性去推断函数的周期时：首先依据奇偶性以及对称性写出对应的函数抽象表达形式，然后联立两个及两个以上的等式得到形如的结构即可求解出周期；（2）充分必要条件的证明：证明的时候分两步走：<1>充分性证明，<2>必要性证明，缺一不行.【变式探究】（2024·江苏省海安高级中学模拟）设常数，函数（1）当时，推断在上单调性，并加以证明；（2）当时，探讨的奇偶性，并说明理由；（3）当时，若存在区间使得在上的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）在上