2024高考数学二轮复习专题练一核心素养引领类型一用数学的眼光观察世界-数学抽象直观想象含解析

PAGE一、核心素养引领类型一用数学的眼光视察世界——数学抽象、直观想象素养1数学抽象数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，相识数学结构与体系.【例1】(2024·北京卷)为满意人民对美妙生活的憧憬，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－eq\f(f（b）－f（a）,b－a)的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理实力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理实力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理实力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理实力最强.其中全部正确结论的序号是__________.解析－eq\f(f（b）－f（a）,b－a)表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－eq\f(f（b）－f（a）,b－a)越大治理实力越强.对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理实力比乙企业强，正确；对于②，要比较t2时刻的污水治理实力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理实力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理实力比乙企业强，正确；对于③，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于④，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理实力最强，错误.综上，正确的序号为①②③.答案①②③【训练1】如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P′，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OP′,\s\up6(→))|表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为()解析建立如图的平面直角坐标系，则P(cosx，sinx)，P′(cos(π－x)，sin(π－x))，即P′(－cosx，sinx)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OP′,\s\up6(→))＝(cosx，sinx)－(－cosx，sinx)＝(2cosx，0)，∴f(x)＝|eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OP′,\s\up6(→))|＝2|cosx|.故选A.答案A素养2直观想象直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象相识事物，构建数学问题的直观模型解决问题.【例2】(多选题)(2024·海南新高考诊断)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq\r(2)AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则()A.m＝eq\f(\r(3),3) B.直线A1E与直线C1F共面C.m＝eq\f(\r(2),3) D.直线A1E与直线C1F异面解析连接EF，AC，A1C1，C1D，DF，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF∥A1C1，所以直线A1E与直线C1F共面.因为AB1∥C1D，所以异面直线AB1与C1F所成的角为∠DC1F.设AA1＝eq\r(2)，则AB＝eq\r(2)AA1＝2，DF＝eq\r(5)，C1F＝eq\r(3)，C1D＝eq\r(6).在△DC1F中，由余弦定理，得m＝cos∠DC1F＝eq\f(3＋6－5,2×\r(3)×\r(6))＝eq\f(\r(2),3).故选BC.答案BC【训练2】(2024·新高考山东卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范围是()A.(－2，6) B.(－6，2)C.(－2，4) D.(－4，6)解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，eq\r(3))，F(－1，eq\r(3)).设P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AB,