2024-2025学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式第2课时一般形式的柯西不等式作业含解析新人教A版选修4-5

PAGE第三讲第2课时A．基础巩固1．n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A．1 B．nC．n2 D．eq\f(1,n)【答案】C【解析】设a1，a2，…，an为正数，则由柯西不等式得(a1＋a2＋…＋an)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋…＋\f(1,an)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a1)·\r(\f(1,a1))＋\r(a2)·\r(\f(1,a2))＋…＋\r(an)·\r(\f(1,an))))2＝(1＋1＋…＋1)2＝n2.2.(2024年西安校级月考)已知a，b，c∈R，若a4＋b4＋c4＝1，则a2＋b2＋c2的最大值为()A.1B.eq\r(3)C.2D.3【答案】B【解析】因为a4＋b4＋c4＝1，由柯西不等式可知(a2＋b2＋c2)2≤(12＋12＋12)[(a2)2＋(b2)2＋(c2)2]，所以(a2＋b2＋c2)2≤3，即a2＋b2＋c2≤eq\r(3)，当且仅当a2＝b2＝c2＝eq\f(\r(3),3)时取等号，最大值为eq\r(3).3．已知x，y，z，a∈R且x2＋4y2＋z2＝6，则使不等式x＋2y＋3z≤a恒成立的a的最小值为()A．6 B．eq\r(66)C．8 D．eq\r(88)【答案】B【解析】∵(x2＋4y2＋z2)(12＋12＋32)≥(x＋2y＋3z)2，∴x＋2y＋3z≤eq\r(66)，又x＋2y＋3z≤a恒成立，∴a≥eq\r(66)，即a的最小值为eq\r(66).4．对于c＞0，当非零实数a，b满意4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＋eq\f(4,c)的最小值是______．【答案】－1【解析】∵4a2－2ab＋b2－c＝0，∴eq\f(c,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,4)))2＋eq\f(3,16)b2.由柯西不等式，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,4)))2＋\f(3,16)b2))[22＋(2eq\r(3))2]≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,4)))＋\f(\r(3),4)b×2\r(3)))2＝|2a＋b|2，故当|2a＋b|取得最大值时，有2eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,4)))＝2×eq\f(\r(3),4)b，∴a＝eq\f(b,2)，c＝b2.∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＋eq\f(4,c)＝eq\f(2,b)＋eq\f(2,b)＋eq\f(4,b2)＝eq\f(4,b)＋eq\f(4,b2)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(1,2)))2－1，当b＝－2时，取得最小值为－1.5．已知a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值是________．【答案】9【解析】∵a，b，c均为正数且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))·(a＋b＋c)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,a))·\r(a)＋\r(\f(1,b))·\r(b)＋\r(\f(1,c))·\r(c)))2＝9，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))min＝9.6．已知aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝1，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋…＋xeq\o\al(2,n)＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是________．【答案】1【解析】∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1x1＋a2x2＋…＋anxn))≤eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,n))·eq\r(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,n))＝1，∴－1≤a1x1＋a2x2＋…＋anxn≤1.故最大值为1.7．(2024年武汉校级月考)设f(x)＝|x－3|＋|x－4|.(1)解不等式f(x)≤2；(2)已知实数x，y，z满意2x2＋3y2＋6z2＝a(a＞0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．【解析】(1)当x＜3时，不等式化为－x＋3－x＋4≤2，∴x≥eq\f(5,2)，∴eq\f(5,2)≤x＜3；当3≤x≤4时，不等式化为x－3－x＋4≤2，成立；当x＞4时，不等式化为x－3＋x－4≤2，∴x≤eq\f(9,2)，∴4＜x≤eq\f(9,2).综上所述，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)≤x≤\f(9,2))))).(2)由柯西不等式得[(eq\r(2)x)2＋(eq\r(3)y)2＋(eq\r(6)z)2]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(6))))2))≥(x＋y＋z)2，因为2x2＋3y2＋6z2＝a(a＞0)，所以a≥(x＋y＋z)2.因为x＋y＋z的最大值是1，所以a＝1.当2x＝3y＝6z时，x＋y＋z取最大值，所以a＝1.B．实力提升8．已知P是边长为2eq\r(3)的等边三角形内一点，它到三边的距离分别是x，y，z，则x，y，z的关系式是________，x2＋y2＋z2的最小值是__________．【答案