2024-2025学年高考数学一轮复习专题3.5指数与指数函数知识点讲解含解析

专题3.5指数与指数函数【考纲解读与核心素养】1.了解指数幂的含义，驾驭有理指数幂的运算。2．理解指数函数的概念，驾驭指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变更特征.4．本节涉及全部的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.5.高考预料：（1）指数幂的运算；（2）指数函数的图象和性质的应用；（3）与指数函数相关，考查视图用图实力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算实力等6.备考重点：（1）有理指数幂的运算；（2）指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类探讨问题.【学问清单】1．根式和分数指数幂1．n次方根定义一般地，假如xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为eq\r(n,a)a＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±eq\r(n,a)a＜0x不存在2.根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：①(eq\r(n,a))n＝a.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2．指数函数的图象和性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【典例剖析】高频考点一根式、指数幂的化简与求值【典例1】化简的结果为（）A．5B．C．﹣D．﹣5【答案】B【解析】，故选【典例2】计算：．【答案】QUOTE.【解析】分析：干脆利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程留意避开计算错误.详解：．【规律方法】化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④留意运算的先后依次．【变式探究】1.计算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－【答案】【解析】原式＝.2.计算：×0＋×－＝________.【答案】【解析】原式＝×1＋×－.【易错提示】1.根式：（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．（2）eq\r(n,0)＝0(n＞1，且n∈N*)．（3）有限制条件的根式化简的步骤2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．3.把根式eq\r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq\f(m,n)进行约分，否则，有时会变更a的取值范围而导致出错，如eq\r(8,a2)，a∈R，化成分数指数幂应为aeq\s\up4(\f(2,8))，a∈R，而aeq\s\up4(\f(1,4))＝eq\r(4,a)，则有a≥0，所以化简时，必需先确定a的取值范围．4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．高频考点二：根式、指数幂的条件求值【典例3】已知则的值为__________．【答案】【解析】题意，∴，∴，故答案为．【典例4】设，求的值．【答案】7【解析】,.【总结提升】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要擅长应用公式变形．【变式探究】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）【答案】【解析】（1）将两边平方得，所以.（2）将两边平方得，所以.（3）由（1）（2）可得高频考点三：指数函数的概念【典例5】若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠1【答案】C【解析】由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1,a>0,a≠1))，解得a＝2，故选C.【规律方法】推断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．【变式探究】若函数y＝(m－2)ax＋3－2n(a>0，且a≠1)是指数函数，则k＝，b＝.【答案】3，eq\f(3,2).【解析】由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＝1,3－2n＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝\f(3,2))).高频考点四：指数函数的图象

【典例6】（2024·贵州省织金县其次中学高一期中）函数且过定点（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，所以函数且过定点．【典例7】（2024·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数的图象可能是（）．A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以解除A，当时，∴，所以解除B，当时，∴，所以解除C，故选D.【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特殊地，当底数a与1的大小关系不确定时应留意分类探讨．2.推断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得究竟数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：=1\*GB3①从函数的定义域，推断图象的左右位置；从函数的值域，推断图象的上下位置；=2\*GB3②从函数的单调性，推断图象的变更趋势；=3\*GB3③从周期性，推断图象的循环往复；=4\*GB3④从函数的奇偶性，推断图象的对称性．=5\*GB3⑤从函数的特征点，解除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）依据实际背景、图形推断函数图象的方法：=1\*GB3①依据题目所给条件确定函数解析式，从而推断函数图象(定量分析)；=2\*GB3②依据自变量取不同值时函数值的变更、增减速度等推断函数图象(定性分析)．4.过定点的图象(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.特殊留意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2)与的图象关于y轴对称；(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．【变式探究】1.（2024·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由于过点，故D选项错误.当时，过且单调递增；过点且单调递增，过且.所以A选项错误.当时，过且单调递减，过点且单调递增，过且.所以B选项错误.综上所述，正确的选项为C.故选：C2.如图所示是下列指数函数的图象：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c【答案】B【解析】可先分为两类，(3)(4)的底数肯定大于1，(1)(2)的底数肯定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.【特殊提示】指数函数的图象随底数变更的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．高频考点五：指数函数的性质及其应用【典例8】【2024新课标全国III】已知，，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．【典例9】（2024·上海高三专题练习）函数的值域是_________.【答案】【解析】设

当时，有最大值是9；当时，有最小值是-9，，由函数在定义域上是减函数，

∴原函数的值域是故答案为【典例10】(2024·上海高一课时练习）已知函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值.【答案】或【解析】时，是增函数，则，解得（舍去）；时，是减函数，则，解得（舍去）．综上，或．【典例11】（2024·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数的图像经过点，（1）求值；（2）求函数的值域；【答案】（1）（2）【解析】（1）函数的图像经过点（2）由（1）可知在上单调递减，则在时有最大值又函数的值域为【规律方法】1.比较幂值大小时，要留意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要留意图象的应用，还应留意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要留意探讨底数的不同取值状况.3.依据指数函数图象推断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行推断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.简洁的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特殊留意底数a的取值范围，并在必要时进行分类探讨．5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析推断．6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．【变式探究】1.（2024年新课标I卷文）设函数，则满意的x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】将函数的图象画出来，视察图象可知会有，解得，所以满意的x的取值范围是，故选D.2.（2024·天津高三高考模拟）若，则函数的值域是A．B．C．D．【答案】B【解析】将化为，即，解得，所以，所以函数的值域是.故选C.3.(2024年高考北京理)设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=