2024−2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题含答案

2024−2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．若方程表示圆，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．4．“”是“直线和直线平行且不重合”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件5．已知圆关于直线对称，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．46．已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（

）A． B． C． D．7．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（

）A．或 B．或 C．或 D．或8．在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（

）①对任意三点A、B、C，都有②已知点P(3,1)和直线则③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点．其中真命题的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多选题（本大题共3小题）9．以下四个命题表述正确的是（

）A．过两点的直线方程为B．已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为C．“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件D．直线的距离为10．已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若点到直线的距离为，则C．若，则的最小值为D．若，则的最大值为11．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（

）A．最大时， B．的最小值为C． D．的取值范围为三、填空题（本大题共3小题）12．与圆同圆心，且过点的圆的方程是.13．圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为．14．如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点作椭圆的切线，切点为T，若M为x轴上的点，满足，则点M的坐标为.四、解答题（本大题共5小题）15．（1）已知直线经过点且与直线垂直，求直线的方程.

（2）已知直线与轴，轴分别交于两点，的中点为，求直线的方程.16．为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度为32米，拱桥顶点C离河面8米，(1)如果以跨度所在直线为轴，以中垂线为轴建立如图的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程；(2)现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要米．问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由．17．已知椭圆的焦点为和，且椭圆经过点.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.18．已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍.(1)求点的轨迹方程；(2)若点与点关于点对称，点，求的最大值和最小值；(3)过点的直线与点的轨迹相交于两点，点，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由.19．已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．①若，求异面直线和所成角的余弦值；②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

参考答案1．【答案】C【解析】根据直线方程求得直线的斜率，由此求得直线倾斜角.【详解】依题意可知直线的斜率为，故倾斜角为120∘.故选：C.2．【答案】A【详解】试题分析：由二元二次方程表示圆的充要条件可知：，解得，故选A．考点：圆的一般方程．3．【答案】C【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可.【详解】设中点为C，则，∵，∴，∴，∵，即，又∵直线与圆交于不同的两点，∴，故，则，.故选C．4．【答案】C【详解】当时，两直线分别为：，，∴两直线斜率相等且，∴两条直线平行且不重合；充分性成立，若两直线平行且不重合，则，∴，必要性成立，综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件，故选：C．5．【答案】D【详解】因为圆关于直线对称，所以直线过圆心，即，则因为，且，所以，所以，当且仅当即等号成立，则的最小值是4.故选：D.6．【答案】A【详解】，所以直线恒过点，，所以直线恒过点，由两条直线的方程可以判断直线与直线互相垂直，因此点在以为直径的圆上，线段中点为，半径为，圆的圆心为，半径为，由已知条件可知点在圆：上，所以圆与圆相交或相切，，因此有，解得：，所以则的最大值是，故选：A7．【答案】B【详解】由，得，则，则，则，即，解得，则，因为，所以，即，整理得，则，解得或，故或．故选：B.8．【答案】A【详解】解：①对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如右图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则，，，；若，或，对调，可得，，，；若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形，，，，；则对任意的三点，，，都有，，，；故①正确；设点是直线上一点，且，可得，，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，，，．无最值，综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为．故②正确；③由题意，到原点的“切比雪夫距离”等于的点设为，则，若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确；④定点、，动点满足，，，可得不轴上，在线段间成立，可得，解得，由对称性可得也成立，即有两点满足条件；若在第一象限内，满足，，，即为，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点．故④正确；综上可得，真命题的个数为4个，故选:.9．【答案】CD【详解】A：若两点的纵坐标或者横坐标相等，则不能用该方程表示直线，故错误；B：直线l过点，且在x，y轴上截距相等，除直线外，还可以是直线y=2x，故错误；C：直线与直线垂直的充要条件是，解得或；故，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故正确；D：因为直线，平行，则两平行直线的距离，故正确.综上所述，正确的选项是CD.故选：CD.10．【答案】AD【详解】因为，是圆O：上两点，当时，为正三角形，所以，A正确；点到直线的距离为时，，B错误；的值可转化为单位圆上的到直线的距离之和，又，所以为等腰三角形，设是的中点，则，且，则在以点为圆心，半径为的圆上，两点到直线的距离之和为点到直线的距离的倍，点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最大值为，最小值为，则两点到直线的距离之和最大值为，最小值为.所以的最大值为，最小值为，C错误，D正确；故选：AD11．【答案】BCD【详解】由，得，，，A选项：设，则，，，所以当点在短轴端点时，面积最大值为，此时由内切圆性质可知，则，A选项错误；设，，则，B选项：如图所示，设中点为，则，所以，又，同理，所以，当且仅当时，等号成立，B选项正确；C选项：设与交于点，由角分线定理可知，即，即，所以，所以，C选项正确；D选项：设，由正弦定理得，即，由余弦定理得，则，且，即，当且仅当时取等号，所以，，所以，则，D选项正确；故选：BCD.12．【答案】【详解】依题意，设所求圆的方程为，由于所求圆过点，所以，解得.所以所求圆的方程为．故答案为:.13．【答案】【详解】圆与圆的两方程作差得，即公共弦所在直线方程为，又圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，则圆被直线所截得的弦长为.故答案为：.14．【答案】（，0）或（，0）【详解】设的方程等于,不妨设在轴上方，即.则联立与椭圆的方程，得,整理得，令，解得,此时方程为,解得因此可知,由椭圆方程可知，所以,又因为，所以，，（如图）过T做x轴的垂线，记垂足为N，则可知,因此,设,则,,在中，由正弦定理，,即，解得或故答案为：（，0）或（，0）15．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）直线的斜率，则，故直线的方程为；（2）设，的中点为，知，则直线的方程为．16．【答案】(1)(2)船可以通过，理由见解析【详解】（1）B（16，0），C（0，8），设圆心（0，b），圆的方程为：由圆过点、可得，解得，∴拱桥所在的圆方程是：（2）可设船右上角竖直方向0.5米处点为P（4，7.5），代入圆方程左端得396.25＜400，所以点在圆内，故船可以通过17．【答案】(1)(2)存在，，定值为【详解】（1）已知椭圆的焦点为和，设椭圆的方程为，将点代入椭圆方程，得，解得（舍去），，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设定点.联立方程组，消掉可得，恒成立.设，可得，所以.要使上式为定值，则，解得，此时.当直线的斜率为0时，，此时，也符合.所以存在点，使得为定值.18．【答案】(1)(2)；(3)存在，或【详解】（1）由已知，化简得，即，所以点P的轨迹方程为；（2）依题意，设，因为点与点关于点对称，，所以点P坐标为，因为点P在圆上运动，所以，即点Q的轨迹方程为，不妨设，，其中，则当时，取得最大值；当时，取得最小值；（3）由题意知的斜率一定存在，不妨假设存直线的斜率为k，且，则，联立方程：，所以，又因为直线不经过点，则，因为点到直线的距离，，所以，因为，所以当时，取得最大值2，此时，所以直线的方程为或.19．【答案】（1）；（2）①；②存在；．【详解】解：（1）由椭圆的定义知：，所以的周长，所以，又椭圆离心率为，所以，所以，，由题意，椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为；（2）①由直线：与，联立求得，（因为点在轴上方