2024-2025学年高中数学第2章数列2.1第1课时数列的概念及简单表示法学案含解析新人教A版必修5

PAGE1-2.1数列的概念与简洁表示法第1课时数列的概念及简洁表示法学习目标核心素养1.理解数列的概念．(重点)2.驾驭数列的通项公式及应用．(重点)3.能依据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点)1.通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养．2.借助数列通项公式的应用，培育学生的逻辑推理及数学运算素养．1．数列的概念及一般形式思索：(1)数列的项和它的项数是否相同？(2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区分？[提示](1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素依次不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一样，另一方面，集合中的元素具有无序性．2．数列的分类分类标准数列名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的改变趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摇摆数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式假如数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特别的函数，关系如下表：定义域正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})解析式数列的通项公式值域自变量依据从小到大的依次依次取值时所对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法思索：数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？[提示]如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量依据从小到大的依次依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必需是从1起先且连续的正整数，函数的定义域可以是随意非空数集．1．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为()A．an＝n B．an＝n＋1C.an＝n＋2 D．an＝2nC[阅历证可知，它的一个通项公式为an＝n＋2.]2．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第项．24[an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.]3．数列{an}满意an＝log2(n2＋3)－2，则log23是这个数列的第项．3[令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.]4．数列1，2,eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中的第26项为．2eq\r(19)[因为a1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，所以an＝eq\r(3n－2)，所以a26＝eq\r(3×26－2)＝eq\r(76)＝2eq\r(19).]数列的概念及分类【例1】已知下列数列：①2016，2017，2018，2019，2020，2021；②1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；③1，－eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，eq\f(（－1）n－1·n,2n－1)，…；④1，0，－1，…，sineq\f(nπ,2)，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是，无穷数列是，递增数列是，递减数列是，常数列是，摇摆数列是(填序号).①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摇摆数列；④是摇摆数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]推断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摇摆还是常数列，要从项的改变趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．给出下列数列：①2013～2024年某市一般中学生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个eq\r(3)构成数列eq\r(3)，eq\r(3)，eq\r(3)，eq\r(3)，…；③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摇摆数列是________．①②③①②③[①为有穷数列；②③是无穷数列．同时①也是递增数列；②为常数列；③为摇摆数列．]由数列的前几项求通项公式【例2】写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：(1)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)；(2)eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)；(3)0.9，0.99，0.999，0.9999；(4)3，5，3，5.思路探究：①求数列的通项公式时，是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形？②数列的通项公式唯一吗？[解](1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其中一个通项公式为an＝(－1)n·eq\f(1,n).(2)数列可化为eq\r(3)，eq\r(9)，eq\r(15)，eq\r(21)，即eq\r(3×1)，eq\r(3×3)，eq\r(3×5)，eq\r(3×7)，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝eq\r(3（2n－1）)＝eq\r(6n－3).(3)原数列可变形为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,102)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,103)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,104)))，…，故数列的一个通项公式为an＝1－eq\f(1,10n).(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（n为奇数）,5（n为偶数）)).此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为eq\f(3＋5,2)＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需细致视察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的改变特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．2．视察、分析数列中各项的特点是最重要的，视察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号改变，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．写出下列数列的一个通项公式：(1)0，3，8，15，24，…；(2)1，－3，5，－7，9，…；(3)1eq\f(1,2)，2eq\f(2,3)，3eq\f(3,4)，4eq\f(4,5)，…；(4)1，11，111，1111，….[解](1)视察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N*).(2)数列各项的肯定值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*).(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为eq\f(n,n＋1)，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋eq\f(n,n＋1)＝eq\f(n2＋2n,n＋1)(n∈N*).(4)原数列的各项可变为eq\f(1,9)×9，eq\f(1,9)×99，eq\f(1,9)×999，eq\f(1,9)×9999，…，易知数列9，99，999，9999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝eq\f(1,9)(10n－1)(n∈N*).数列通项公式的应用[探究问题]1．数列eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？eq\f(255,256)是否为该数列中的一项？为什么？[提示]由数列各项的特点可归纳出其通项公式为an＝eq\f(2n－1,2n)，当n＝7时，a7＝eq\f(27－1,27)＝eq\f(127,128)，若eq\f(255,256)为该数列中的一项，则eq\f(2n－1,2n)＝eq\f(255,256)，解得n＝8，所以eq\f(255,256)是该数列中的第8项．2．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及全部的正数项．[提示]由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．【例3】已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？假如是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？思路探究：(1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可；(2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并推断．[解](1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝eq\f(7,3)(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝eq\f(34,3)，均不合题意，所以68不是该数列的项．1．(变结论)若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？[解](1)因为an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－eq\f(2,3)(舍去)，所以20是该数列的第10项．2．(变条件，变结论)若将例题中的“an＝3n2－28n”变为“an＝n2＋2n－5”，试推断数列{an}[解]∵an＝n2＋2n－5，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.∵n∈N*，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.∴数列{an}是递增数列．1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．推断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，依据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．3．在用函数的有关学问解决数列问题时，要留意它的定义域是N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件．1．依据所给数列的前几项求其通项公式时，需细致视察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的改变特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和肯定值特征．并对此进行联想、转化、归纳．2．假如一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．1．推断正误(1)数列1，1，1，…是无穷数列． ()(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列． ()(3)有些数列没有通项公式． ()[答案](1)√(2)×(3)√[提示](1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误．虽然都是由1，2，3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数依次不同，不是同一个数列．(3)正确．某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．2．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于()A．11 B．12C．13 D．14C[视察可知该数列从第3项起先每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13.]3．已知数列2，eq\r(10)，4，…，eq\r(2（3n－1）)，…，则8是该数列的第项．11[令eq\r(2（3n－1）)