2024-2025学年高考数学一轮复习专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示知识点讲解含解析

专题6.2平面对量的基本定理及坐标表示【考纲解读与核心素养】1.理解平面对量的基本定理及其意义，会用平面对量基本定理解决简洁问题.2．驾驭平面对量的正交分解及其坐标表示.3．驾驭平面对量的加法、减法与数乘的坐标运算.4．培育学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.5.高考预料：（1）考查平面对量基本定理、坐标表示平面对量的加法、减法与数乘运算；（2）经常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等学问相结合，以工具的形式出现．6.备考重点：(1)理解坐标表示是基础，驾驭坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，留意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.【学问清单】1．平面对量基本定理平面对量基本定理假如是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内随意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．平面对量的坐标运算1.平面对量的正交分解把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面对量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面对量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．(2)若，则．3．平面对量的坐标运算(1)若，则；(2)若，则．(3)设，则，.3．平面对量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若，则⇔.【典例剖析】高频考点一：平面对量基本定理及其应用【典例1】（2024·烟台市教化科学探讨院高一期末）在△中，为边上的中线，为的中点，则()A． B．C． D．【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：依据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【典例2】（2024·山东高考模拟（文））如图，在中，，是上一点，若则实数的值为________．【答案】【解析】由题意及图，，又，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故答案为：．【总结提升】1.用平面对量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．2.特殊留意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内随意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．【变式探究】1.（2025届浙江省教化绿色评价联盟5月适应性考试）如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图可知x，y均为正，设，共线，∴m+n=1,λ+μ=1，，则x+y=m+n+λ+μ=2，，则的最小值为，故选D.2.（2024·江西高考模拟（理））如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由平面对量基本定理，化简，所以，即，故选：A．【易错提示】平面对量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面对量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．高频考点二：平面对量的坐标运算【典例3】（2024·天津滨海新·高三月考）如图，，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依据平面对量基本定理和平行四边形法则可知：若取，则，点在阴影区域内，A正确；若取，则，点在直线的上方，B错误；若取，则，点在直线的下方，C错误；若取，则，点在射线上，D错误，故选：A.【典例4】（浙江省2025届高考模拟卷（三)）已知直线l:y=x+1与抛物线交于A,B两点，点，，且，则__________．【答案】-3【解析】设，，则PQ=-1,-1，，，则有，代入方程，故有，同理，有，即可视为方程的两根，则.故答案为-3.【总结提升】平面对量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要留意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．【变式探究】1．（2024·吉林高考模拟（理））已知向量，其中，则的最小值为（）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，故的最小值为.故选A2．（2024·上海高二课时练习）已知三点共线，则，则______，______．【答案】3【解析】由，可得，因为，即，可得，解得.故答案为：，.高频考点三：平面对量共线的坐标表示【典例5】（2024·桂阳县其次中学期中）已知、、，，.（1）求点、及向量的坐标；（2）求证：.【答案】（1），，（2）证明见解析【解析】（1）设点，即，解得：，故设点，即，解得，故（2），，故【典例6】（浙江省金丽衢十二校2025届联考）过点的直线与椭圆交于点和，且.点满意，若为坐标原点，则|OQ|的最小值为_．【答案】【解析】设，，则于是，同理，于是我们可以得到.即，所以Q点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离，所以【规律方法】平面对量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．假如已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较便利．【变式探究】1．（2024·山东诸城·高一期中）（多选题）已知，，则以下结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．的最小值为【答案】BD【解析】，则.对于A选项，若，则，所以，或，A选项错误；对于B选项，若，则，，，则，，B选项正确；对于C选项，若，且，则，或，C选项错误；对于D选项，由向量模的三角不等式可得，D选项正确.故选：BD.2．（2024·陕西咸阳市试验中学高考模拟（文））已知平面对量，，若向量与向量共线，则x=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，得因为∥所以，解得故选：B高频考点四：平面对量共线坐标表示的应用【典例7】（2024·江苏高考模拟）如图，在平面四边形中，，，，点为线段的中点．若()，则的值为_______．【答案】【解析】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB＝BC＝2，则有A（0,0），B（2,0），C（2,2），E（2,1），AC＝2，AD＝2×tan30°＝，过D作DF⊥x轴于F，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°，DF＝sin45°＝，所以D（，），＝（2,2），＝（，），＝（2,1），因为，所以，（2,2）＝（，）+（2,1），所以，，解得：的值为故答案为：【典例8】（2024·辽宁沈阳·高一期末）在平行四边形中，，（1）若为上一点，且，用基底表示；（2）若，，且与平行，求实数的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（2）因为，所以由于则所以.【总结提升】利用两向量共线求参数．假如已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较便利．【变式探究】1.（2024·四川高考模拟（理））已知向量=（sin2α，1），=（cosα，1），若∥，，则______．【答案】【解析】向量=（sin2α，1），=（cosα，1），若∥，则sin2αcosα=0，即2sinαcosα=cosα；又，∴cosα≠0，∴sinα=，∴．故答案为：．2.（2024·上海高二课时练习）