22.2 相似三角形的判定 同步练习

第22章相似形22.2相似三角形的判定基础过关全练知识点1相似三角形的概念1.如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A=30°，∠B=70°，则∠F的度数是()A.30° B.70° C.80° D.100°2.如图，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=117°，△ABC∽△DAC.(1)求∠BAD的大小；(2)求CD的长.知识点2利用平行线判定相似3.如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，GF，DE相交于M点，则图中与△ABC相似的三角形有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上一点，连接AE交CD于F，则图中共有对相似三角形.

知识点3相似三角形的判定定理15.在如图所示的三个三角形中，相似的是()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③6.如图，若∠B=∠DAC，则△ABC∽△.7.点P是Rt△ABC的斜边AB上异于A、B的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线有条.

8.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，在AE上取一点F，使得∠EFB=∠DAB.求证：△ADE∽△BFA.知识点4相似三角形的判定定理29.如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2=AD·AB，则()A.△ADC∽△ACB B.△BDC∽△BCAC.△ADC∽△CDB D.无相似三角形10.如图，△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8.将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是() 11.在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'，AB=12，BC=16，B'C'=8，则A'B'=时，△ABC∽△A'B'C'.

12.如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.知识点5相似三角形的判定定理313.如图，在下列四个三角形中，与△ABC相似的是() 14.如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有△ABC和△DFE(三角形中的每个顶点都在格点上).这两个三角形相似吗?请说明你的理由.知识点6直角三角形相似的判定依据15.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=3，BC=4，DF=6，DE=8，判断这两个三角形是否相似?.(填“相似”或“不相似”)

16.根据下列条件判断Rt△ABC和Rt△A'B'C'是否相似，其中∠C=∠C'=90°.(1)AB=14cm，BC=6cm，A'B'=7cm，B'C'=3cm；(2)AB=6cm，AC=3cm，A'B'=30cm，A'C'=15cm.知识点7相似三角形性质与判定的综合17.我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，我方领土岸边有可疑人员在活动，为了估算其与我军的距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将岸上树立的旗杆遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离l约为63cm，食指AB的长约为7cm，旗杆CD的高度为28米，则可疑人员与我军的距离d约为米.

18.已知△ABC中，AB=25，AC=45，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长.19.如图，正方形ABCD的边长是4，BE=CE，MN=2，线段MN的两端点在CD，AD上滑动，当DM为多长时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似?请说明理由.20.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，求DP的长.能力提升全练21.(2023安徽合肥庐阳期末)如图，在△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是()A.∠CAB=∠D B.AD∥BCC.ABAC=ADDE D.BC 22.(2022湖南邵阳中考)如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件：，使△ADE∽△ABC.

23.(2023安徽合肥瑶海期中，17，)如图，AB∥EF，AC∥FG，且AF、BE、CG交于点O，求证：△ABC∽△FEG.24.(2023安徽淮北期中)如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=13cm，AC=12cm，点E从点C出发，在边CA上以2cm/s的速度移动；点D从点A出发，在边AB上以1cm/s的速度移动.若点E、D分别同时从点C、A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动.经过多少时间，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似?素养探究全练25.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE.求证：(1)AB·AE=AC·AD；(2)△ADE∽△ABC.26.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°，EF交射线BC于点F，设BE=x，△BED的面积为y.(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积.

第22章相似形22.2相似三角形的判定答案全解全析基础过关全练1.C∵△ABC∽△DEF，∴∠F=∠C，∵∠A=30°，∠B=70°，∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(30°+70°)=80°，∴∠F=∠C=80°.2.解析(1)∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=153°.(2)∵△ABC∽△DAC，∴CDAC=AC又AC=4，BC=6，∴CD=4×46=83.C∵DE∥BC，GF∥AC，∴△DMG∽△DEA，△DEA∽△BCA，△BFG∽△BCA，∴△DMG∽△BCA.4.3解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∴△ADF∽△ECF∽△EBA，∴有3对相似三角形.5.A计算三个三角形中未知角的度数，①180°-71°-65°=44°，②180°-71°-44°=65°，③180°-71°-67°=42°，∴第①②个三角形满足两角分别相等的两个三角形相似，故选A.6.DAC解析在△ABC和△DAC中，因为∠C=∠C，∠B=∠DAC，所以△ABC∽△DAC.7.3解析过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一个公共角，因为△ABC是直角三角形，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，则过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线.8.证明∵∠EFB=∠DAB，∠DAB=∠DAE+∠FAB，∠EFB=∠FBA+∠FAB，∴∠DAE=∠FBA.在平行四边形ABCD中，CD∥AB，∴∠DEA=∠FAB，∴△ADE∽△BFA.9.A∵AC2=AD·AB，∴ACAD=ABAC，∵∠A=∠A，且∠A为AD、AC和AB、AC的夹角，∴△ADC10.D∵∠C=∠C，∠DEC=∠B=60°，∴△DEC∽△ABC，故A不符合题意；∵∠C=∠C，∠CDE=∠B=60°，∴△CDE∽△CBA，故B不符合题意；∵BE=AB-AE=6-2=4，BD=BC-CD=8-5=3，∴BEBC=48=12，BDAB=36=12，∴BEBC=BDBA，又∵∠由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，故D符合题意.11.6解析在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'，AB=12，BC=16，B'C'=8，只要ABA'B'=BCB'C'，就可得△ABC∽△A'B'C'，∴12A'B'=16812.证明∵四边形ABCD是正方形，BP=3PC，Q是CD的中点，∴QC=QD=12CD=12AD，CP=14BC=∴ADQC=DQ又∵∠ADQ=∠QCP=90°，∴△ADQ∽△QCP.13.A设网格中小正方形的边长均是1，则AB=12+32=10，BC=22+22=2∴AC∶BC∶AB=2∶22∶10=1∶2∶5，A.三角形三边长之比是2∶4∶25=1∶2∶5，故本选项符合题意；B.三角形三边长之比是5∶17∶32≠1∶2∶5，故本选项不符合题意；C.三角形三边长之比是5∶13∶4≠1∶2∶5，故本选项不符合题意；D.三角形三边长之比是2∶32∶25≠1∶2∶5，故本选项不符合题意.故选A.14.解析△ABC∽△DEF.理由如下：∵正方形网格中的小正方形的面积都为1，∴正方形网格中的小正方形的边长都为1，在△ABC中，AB=12+22=5，AC=12+32=10，BC=5.在△DEF中，DE=12+1∴ABDE=52=102，ACDF=102，BCEF=510=102，∴AB15.不相似解析∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2+BC∵∠F=90°，DF=6，DE=8，∴DEDF=86=43，∴ABAC≠DEDF，∴Rt△16.解析(1)Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.理由如下：∵ABA'B'=147=2，BCB'C'=63=2，∴又∵∠C=∠C'=90°，∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.(2)Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.理由如下：∵ABA'B'=630=55，ACA'C'=315=5又∠C=∠C'=90°，∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.17.252解析63cm=0.63m，AB=7cm=0.07m，如图，由题意易知AB∥CD，AM=12AB=0.035m.CN=12∴△OAB∽△OCD，△OAM∽△OCN，∴OMON=OAOC，OAOC∴0.63ON=0.035∴ON=252m，∴d=252m.18.解析∵点M为AB的中点，AB=25，∴AM=BM=5，当AMAB=ANAC时，∵∠BAC=∠MAN，∴△AMN∽△ABC，∴AMAB=MNBC，∴∴MN=3；当AMAC=ANAB时，∵∠BAC=∠MAN，∴△ANM∽△∴MNBC=AMAC，∴MN6=545综上所述，MN的长为3或3219.解析当DM=455或255时，△ABC与以D，M理由：∵正方形ABCD的边长是4，BE=CE，∴BE=CE=2，∴AE=AB2+①假设△ABE∽△NDM，∴DM∶BE=MN∶AE，∴DM∶2=2∶25，∴DM=25②假设△ABE∽△MDN，∴DM∶BA=MN∶AE，∴DM∶4=2∶25，∴DM=45综上所述，DM=455或20.解析设DP=x，∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=2，CD=AB=5，∠D=∠C=90°，∴PC=5-x，当DACB=DPCP时，△DAP∽△即22=x5−x，解得x当DACP=DPCB时，△DAP∽△即25−x=x2，解得x1=1，x综上所述，DP的长为52或1或4能力提升全练21.DA.由∠C=∠AED=90°，∠CAB=∠D，可知△ACB∽△DEA，故本选项不符合题意；B.由BC∥AD，可得∠B=∠DAE，由∠C=∠AED=90°，可得△ACB∽△DEA，故本选项不符合题意；C.由ABAC=ADDE可知ABAD∵∠C=∠AED=90°，∴Rt△ACB∽Rt△DEA，故本选项不符合题意；D.由BCAC=ADAE22.∠ADE=∠B(答案不唯一)解析∵∠A=∠A，∴当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC，故可以添加∠ADE=∠B.(答案不唯一)23.证明∵AB∥EF，∴△AOB∽△FOE，∴ABFE=AO∵AC∥FG，∴△AOC∽△FOG，∴AOFO=ACFG，∴ABFE∵AB∥EF，∴∠OAB=∠OFE，∵AC∥FG，∴∠OAC=∠OFG，∴∠OAB-∠OAC=∠OFE-∠OFG，即∠BAC=∠EFG，∵ABFE=ACFG，∴△ABC24.解析设经过t秒后，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD=tcm，CE=2tcm，∴AE=(12-2t)cm，∵∠A=90°，BC=13cm，AC=12cm，∴AB=BC2−若△ADE∽△ABC，则有ADAB=AE∴t5=12−2t12，∴t若△ADE∽△ACB，则有ADAC=AE∴t12=12−2t5，∴t综上所述，经过3011秒或14429秒，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC素养探究全练25.证明(1)∵∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE，∴△ABD∽△ACE，∴ABAC=ADAE，∴AB·AE=AC(2)∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，即∠BAC=∠DAE，∵ABAC=ADAE，∴ABAD=ACAE26.解析(1)在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=AC2+∵D是BC的中点，∴CD=DB=4.如图1，过点E作EH⊥CB于H，则EH∥AC.∴△BEH∽△BAC，∴EHAC=BEAB，∴EH=∴y=12×4×35x=6过点D作DM⊥AB于M，∴∠DMB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BDM∽△BAC，∴BMBC=BD∴BM=165.过点D作DN∥AC交AB于点N∴△BND∽△BAC，∴BNAB=BDBC，∴BN=5，结合图形可知165<x≤5时，EF与射线BC无交点，∴x的取值范围为0<x≤165故y=65x0(2)由