专项24-圆周角定理-重难点题型

圆周角定理-重难点题型【知识点1圆周角定理及其推论】圆周角定理定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半是所对的圆心角，是所对的圆周角，推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等和都是所对的圆周角推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径是的直径是所对的圆周角是所对的圆周角是的直径【题型1圆周角定理】【例1】（碑林区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为（）A．10° B．30° C．40° D．45°【变式1-1】（朝阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是（）A．15° B．25° C．35° D．50°【变式1-2】（泰兴市二模）如图，A、B、C为⊙O上三点（O在∠ABC内部），延长AO交BC于D，OD＝BD，∠BAO＝x，∠AOC＝y．则y关于x的函数关系式为．【变式1-3】（和平区一模）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等】【例2】（泗水县一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数是（）A．40° B．45° C．55° D．100°【变式2-1】（碑林区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为（）A．10° B．30° C．40° D．45°【变式2-2】（宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是CD的中点，则∠ABE＝．【变式2-3】（临沂）如图，已知在⊙O中，AB=BC=CD，OC与求证：（1）AD∥BC；（2）四边形BCDE为菱形．【题型3直径所对的圆周角是90°】【例3】（庆阳二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC＝BC＝2，∠BCD＝30°，则BD的长为（）A．22 B．32 C．2 【变式3-1】（安徽模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且D为AB中点，若∠D＝30°，BC＝2，则BD的值为（）A．22 B．23 C．6【变式3-2】（下城区校级二模）如图，AB是⊙O的一条直径，点C是⊙O上的一点（不与点A，点B重合），分别连接AC，BC，半径OE⊥AC于点D，若BC＝DE＝2，则AC＝．【变式3-3】（亭湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：点E是BC的中点．（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．【题型4圆周角定理（多结论问题）】【例4】（海淀区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点P，使得PA＞AB；②若PB=2PA，则PB＝2PA③∠PAB不是直角；④∠POB＝2∠OPA．上述结论中，所有正确结论的序号是．【变式4-1】（平江县模拟）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为AN上一点，且AC=AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①∠MAN＝90°；②AM=BM；③∠ACM+∠ANM＝∠MOB；④AE=12【变式4-2】（淮南期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列四个结论：①∠EBC＝22.5°②BD＝DC③AE＝DC④AE=2DE，其中正确结论有【变式4-3】（惠安县模拟）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠BOC是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是．（填序号即可）①AB＝2BC②AB=2③∠ACB＝2∠CAB④∠ACB＝∠BOC【题型5圆周角定理（最值问题）】【例5】（广饶县二模）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为．【变式5-1】（东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝90°，点C（0，3），则BC的最小值为．【变式5-2】（建湖县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为．【变式5-3】（金牛区校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，D是边BC上（不与端点重合）的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，若线段AD长度的最小值为3，则线段EF长度的最小值为．【题型6圆周角定理（综合证明）】【例6】（九江模拟）如图，在⊙O中，弦AD与弦BC垂直，垂足为点G，E为AB中点，延长EG交CD于点F，求证：EF⊥CD．【变式6-1】（安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．【变式6-2】（无为市三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，弦DE∥BC，交AC于点F，弧AD＝弧DE，连接AE．（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）连接OB，若BD＝2，求OB的长．【变式6-3】（杭州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．

圆周角定理-重难点题型（解析版）【知识点1圆周角定理及其推论】圆周角定理定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半是所对的圆心角，是所对的圆周角，推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等和都是所对的圆周角推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径是的直径是所对的圆周角是所对的圆周角是的直径【题型1圆周角定理】【例1】（碑林区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为（）A．10° B．30° C．40° D．45°【分析】先利用邻补角的定义计算出∠AOC＝160°，再根据垂径定理得到AD=CD，所以∠AOD＝∠COD＝80°，然后根据圆周角定理得到∠【解答】解：∵∠COB＝20°，∴∠AOC＝160°，∵OD⊥AC，∴AD=∴∠AOD＝∠COD=12∠AOC∴∠ACD=12∠故选：C．【变式1-1】（朝阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是（）A．15° B．25° C．35° D．50°【分析】利用平角的定义先求∠AOC，再根据圆周角定理求出∠D．【解答】解：∵∠BOC+∠AOC＝180°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝50°．∴∠D=12∠故选：B．【变式1-2】（泰兴市二模）如图，A、B、C为⊙O上三点（O在∠ABC内部），延长AO交BC于D，OD＝BD，∠BAO＝x，∠AOC＝y．则y关于x的函数关系式为y＝6x．【分析】连接OB，根据圆周角定理、邻补角的定义、角的和差等量代换求解即可．【解答】解：连接OB，∵∠ABC=12∠AOC，∠AOC＝∴∠ABC=12∵OB＝OC，OA＝OB，∴∠C＝∠OBC＝∠ABD﹣∠ABO=12y﹣∵∠DOC＝180°﹣∠AOC，∴∠DOC＝180°﹣y，∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠C，∠BOC＝∠DOC+∠BOD，∵OD＝BD，∴∠BOD＝∠OBD，∴180°﹣（12y﹣x）﹣（12y﹣x）＝180°﹣y+（12y∴y＝6x，故答案为：y＝6x．【变式1-3】（和平区一模）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠CDB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系可得答案；（2）由半径的关系可得∠ODB＝∠OBD，再利用∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°可得∠CDB＝20°，最后根据直角三角形锐角互余可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC＝56°，∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣56°＝34°，在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×34°＝68°．（II）∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，即∠ODC+∠CDB＝∠OBD，∵∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，∴20°+∠CDB＝2∠CDB，∴∠CDB＝20°，∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，在Rt△CDE中，∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣20°＝70°．【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等】【例2】（泗水县一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数是（）A．40° B．45° C．55° D．100°【分析】连接CB，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据圆周角定理求出∠ADC＝∠B即可．【解答】解：连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝35°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝55°，∴∠ADC＝∠B＝55°，故选：C．【变式2-1】（碑林区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，OD⊥AC，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为（）A．10° B．30° C．40° D．45°【分析】先利用邻补角的定义计算出∠AOC＝160°，再根据垂径定理得到AD=CD，所以∠AOD＝∠COD＝80°，然后根据圆周角定理得到∠【解答】解：∵∠COB＝20°，∴∠AOC＝160°，∵OD⊥AC，∴AD=∴∠AOD＝∠COD=12∠AOC∴∠ACD=12∠故选：C．【变式2-2】（宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是CD的中点，则∠ABE＝13°．【分析】由∠ABC＝90°，可得CD是⊙O的直径，由点B是CD的中点以及三角形的内角和，可得∠BDC＝∠BCD＝45°，利用三角形的内角和求出∠ACB，再根据角的和差关系求出∠DCE，由圆周角定理可得∠ABE＝∠DCE得出答案．【解答】解：如图，连接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是CD的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案为：13°．【变式2-3】（临沂）如图，已知在⊙O中，AB=BC=CD，OC与求证：（1）AD∥BC；（2）四边形BCDE为菱形．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB＝∠CBD，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE＝BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据BC=CD得到BC＝【解答】证明：（1）连接BD，∵AB=∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；（2）连接CD，BD，设OC与BD相交于点F，∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠CBF，∵BC=∴BC＝CD，BF＝DF，又∠DFE＝∠BFC，∴△DEF≌△BCF（ASA），∴DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，∴四边形BCDE是菱形．【题型3直径所对的圆周角是90°】【例3】（庆阳二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC＝BC＝2，∠BCD＝30°，则BD的长为（）A．22 B．32 C．2 【分析】连接AD，根据题意得出∠ACB＝∠ADB＝90°，根据勾股定理求出AB＝22，再根据30°的角的直角三角形的性质即可得解．【解答】解：如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∴AB=AC2∵∠BCD＝30°，∴∠BAD＝∠BCD＝30°，在Rt△ABD中，AB＝22，∴BD=12AB故选：C．【变式3-1】（安徽模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且D为AB中点，若∠D＝30°，BC＝2，则BD的值为（）A．22 B．23 C．6【分析】如图，连接AD，OC．证明△OBC是等边三角形，求出OB＝2，推出AB＝4，再证明△ADB是等腰直角三角形，可得结论．【解答】解：如图，连接AD，OC．∵∠BOC＝2∠BDC，∠BDC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝BC＝2，∴AB＝2OB＝4，∵D是AB的中点，∴AD=∴AD＝DB，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD=22AB＝2故选：A【变式3-2】（下城区校级二模）如图，AB是⊙O的一条直径，点C是⊙O上的一点（不与点A，点B重合），分别连接AC，BC，半径OE⊥AC于点D，若BC＝DE＝2，则AC＝42．【分析】根据垂径定理得到AD＝CD，再利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则可判断OD为△ABC的中位线，所以OD=12BC＝1，从而得到直径为6，然后利用勾股定理计算【解答】解：∵OE⊥AC，∴AD＝CD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=12∵DE＝2，∴OE＝3，∴AB＝6，在Rt△ABC中，AC=AB2故答案为42．【变式3-3】（亭湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：点E是BC的中点．（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．【分析】（1）连接AE，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠DAB=12∠BOD＝37.5°，再根据圆的内接四边形的对角互补得到∠DAB+∠DEB＝180°，而CBED+∠DEB＝180°，则∠CED＝∠【解答】（1）证明：连接AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E为BC的中点；（2）解：∵∠BOD＝75°，∴∠DAB=12∠∵∠DAB+∠DEB＝180°，∠CED+∠DEB＝180°，∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．【题型4圆周角定理（多结论问题）】【例4】（海淀区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点P，使得PA＞AB；②若PB=2PA，则PB＝2PA③∠PAB不是直角；④∠POB＝2∠OPA．上述结论中，所有正确结论的序号是③④．【分析】根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．【解答】解：①∵PA是圆中的弦，AB时直径，所以，至少存在一点P，使得PA＞AB，结论错误．不存在．②取PB的中点C，连接PC，BC，PB，则PC＝BC，∴则PA=∴PA＝PC＝BC，∵PC+BC＞PB，∴原结论错误，应该是PB＜2PA．③连接BP，AP，∵AB时直径，∴∠APB＝90°°∴∠PAB不是直角，结论正确．④∵OP＝OA，∴∠APO＝∠PAO，∵∠POB＝∠PAO+∠APO＝2∠OPA．结论正确．故答案是：③④．【变式4-1】（平江县模拟）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为AN上一点，且AC=AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①∠MAN＝90°；②AM=BM；③∠ACM+∠ANM＝∠MOB；④AE=12【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，AC=AM=BM，得出④正确，结合【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，∴AD＝BD，AM=BM，∠MAN＝90°，故∵AC=∴AC=∴∠ACM+∠ANM＝∠MOB，故③正确，∵∠MAE＝∠AME，∴AE＝ME，∵∠EAF+∠MAE＝∠AME+∠AFM＝∠MAN，∠EAF＝∠AFM，∴AE＝EF，∴AE=12MF，故故答案为：①②③④．【变式4-2】（淮南期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列四个结论：①∠EBC＝22.5°②BD＝DC③AE＝DC④AE=2DE，其中正确结论有①②④【分析】先利用等腰三角形的性质求出∠ABE、∠ABC的度数，即可求∠EBC的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出②④．【解答】解：连接AD，AB是⊙O的直径，则∠AEB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°，∠C＝∠ABC=180°−45°2=67.5°，AD∴AE＝BE，∠EBC＝90°﹣67.5°＝22.5°，DB＝CD，故①②正确，∵AE＝BE，∴AE=又AD平分∠BAC，所以，AE=2DE，④∵∠C＝67.5°，BE⊥CE，∴BE＞12∴AE＞DC，故③错误．故答案为：①②④．【变式4-3】（惠安县模拟）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠BOC是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是②③④．（填序号即可）①AB＝2BC②AB=2③∠ACB＝2∠CAB④∠ACB＝∠BOC【分析】首先取AB的中点D，连接AD，BD，由∠AOB＝2∠BOC，易得AD＝BD＝BC，继而证得AB＜2BC，又由圆周角定理，可得∠AOB＝4∠CAB，∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB．【解答】解：取AB的中点D，连接AD，BD，∵∠AOB＝2∠BOC，∴AB=2BC，故②∴AD=∴AD＝BD＝BC，∵AB＜AD+BD，∴AB＜2BC．故①错误，∵∠AOB＝2∠BOC，∠BOC＝2∠CAB，∴∠AOB＝4∠CAB，∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB，故③④正确．故答案为：②③④【题型5圆周角定理（最值问题）】【例5】（广饶县二模）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为2．【分析】过O点作OF⊥CD于F，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ACD＝∠ADC＝75°，再利用圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝60°，则∠OCD＝45°，利用等腰直角三角形的性质得到OF=2【解答】解：过O点作OF⊥CD于F，如图，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC=12（180°﹣∠CAB）∵∠BOC＝2∠A＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠DOC﹣∠ODC＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴△COF为等腰直角三角形，∴OF=22OC=2∴OE的最小值为2．故答案为2．【变式5-1】（东莞市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝90°，点C（0，3），则BC的最小值为13−2【分析】以OA为直径作⊙D，连接CD，交⊙D于B，此时BC长最小，根据勾股定理求出CD，再求出答案即可．【解答】解：如图，以OA为直径作⊙D，连接CD，交⊙D于B，此时BC长最小，∵A（4，0），C（0，3），∴OC＝3，OA＝4，∴OD＝DB＝2，∴CD=O∴BC＝CD﹣BD=13故答案为：13−【变式5-2】（建湖县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为2−1【分析】取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，求出DE长即可求出答案．【解答】解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，∵点A（1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴OE＝2，∴ED=2×2∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上，∴线段CD长的最小值为2−1故答案为：2−1【变式5-3】（金牛区校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，D是边BC上（不与端点重合）的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，若线段AD长度的最小值为3，则线段EF长度的最小值为32【分析】连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，如图，利用垂线段最短得到AD⊥BC时，线段AD长度取得最小值为3，利用△ABD为等腰直角三角形得到BD＝AD=3，再根据圆周角定理得到∠EOF＝120°，通过解直角三角形得到EH=34AD，利用垂径定理得EF＝2EH=32AD，然后根据AD【解答】解：连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，如图，由题意可知：当AD⊥BC时，线段AD长度取得最小值为3，∵∠ABC＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AD=3，即⊙O直径为3∵∠BAC＝60°，∴∠EOF＝2∠EAF＝120°，∵OH⊥EF，OE＝OF=12∴∠OEF＝∠OFE＝30°，EH＝FH，∴OH=12OE∴EH=3OH=3∴EF＝2EH=32∵AD的最小值为3，∴线段EF长度最小值为32故答案为32【题型6圆周角定理（综合证明）】【例6】（九江模拟）如图，在⊙O中，弦AD与弦BC垂直，垂足为点G，E为AB中点，延长EG交CD于点F，求证：EF⊥CD．【分析】根据圆周角定理得到∠B＝∠D，则∠A+∠D＝90°，再根据斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证明∠A＝∠DGF，于是得到∠DGF+∠D＝90°，然后根据垂直的定义得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BC，∴∠AGB＝∠DGC＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠B＝∠D，∴∠A+∠D＝90°，∵E为AB中点，∴EA＝EG，∴∠A＝∠AGE，而∠AGE＝∠DGF，∴∠A＝∠DGF，∴∠DGF+∠D＝90°，∴∠DFG＝90°，∴EF⊥CD．【变式6-1】（安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．【分析】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；（2）连接AC，延长AF交BD于G，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，从而得证AF⊥BD．【解答】解：（1）连接OD，如图：∵M是CD的中点，CD＝12，∴DM=12CD＝6，OM⊥CD，∠Rt△OMD中，OD=OM2∴OD=32+62=3（2）连接AC