高考数学一轮复习：重难点突破 归纳平面向量中的范围与最值问题（十大题型）（原卷版+解析）

重难点突破03最全归纳平面向量中的范围与最值问题

目录

题型一：三角不等式

题型二：定义法

题型三：基底法

题型四：几何意义法

题型五：坐标法

最全归纳平面向量中的

范围与最值问题

题型六：极化恒等式

题型七：矩形大法

题型八：等和线

题型九：平行四边形大法

题型十：向量对角线定理

■方法技巧总结____________________

技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法：

(1)定义法

第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步：得出结论

(2)坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

(4)几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

技巧二.极化恒等式

(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|Z+W+y=2（山+画）

证明：不妨设荏=2,通=石，贝!1抚=£+B,DB=a-b

a+b^=\^+2a-b+\^©

|DB|2=DB=(a-b^=|2|2-2a-b+②

①②两式相加得：

|AC|2+|DB|2=2(问2+=2(国2+初0

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：；[仅+冲2-(£-冲]一一极化恒等式

①平行四边形模式：a-5=^[|Ac|2-|r(B|2]

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差

的L

4

②三角形模式：a-b=\AM^~^\DB^为80的中点)

技巧三.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点。是矩形ABC。与所在平面内任一点,

证明：CM2+OC2=OB2+OD2.

【证明】(坐标法)设==以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy,

则83,0),£)(0力)83力),设O(x,y),则

0A2+OC2=(x2+/)+[(x-a)?+(y-bp]

OB2+OD2=[(x-a)2+y2]+[x2+(y-Z?)2]

:.O^+OC-^OB2+OD1

技巧四.等和线

(1)平面向量共线定理

已知砺=2砺+〃宏，若4+〃=1,则三点共线；反之亦然.

(2)等和线

平面内一组基底函，砺及任一向量而，丽=2况+〃砺(2,〃eR),若点尸在直线AB上或者在平行

于的的直线上，则彳+〃=左(定值)，反之也成立，我们把直线钻以及与直线平行的直线称为等和线.

①当等和线恰为直线时，k=l；

②当等和线在。点和直线AB之间时，左©(0,1)；

③当直线在点。和等和线之间时，丘(1,+°0);

④当等和线过O点时，％=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值人互为相反数;

技巧五.平行四边形大法

1、中线长定理

2

2AO=|AB|2+|AD|2-1|DB|2

2、P为空间中任意一点，由中线长定理得：

2

2PO=|PA|2+|PC|2-||AC|2

-2.

2Po=|PD|+|PB|2-||DB|2

两式相减：IPA「+1PC「一(|p"+1P却2)="aJ阳=2AB-AD

技巧六.向量对角线定理

------2——2.2

而.丽=纯+"）-（,+CD）

2

・必考题型归纳

题型一：三角不等式

例1.（2023・全国•高三专题练习）已知向量［，瓦）满足|）|=2,山=1,•二」|=1,若对任意2,

（c-a）2+（c-Z?yW11恒成立，则的取值范围是-

例2.（2023・全国•高三专题练习）已知平面向量口反不满足：|a|=\,b-a=-\,若对满足条件的任意向量B,

花-石闫--万|恒成立，则cose+Z㈤的最小值是.

例3.已知向量痴忑满足同=问=同=2,a-b=0,若关于，的方程位=（有解，记向量乙忑的夹角

为凡贝Usin。的取值范围是.

变式1.已知是平面向量，且4,1是互相垂直的单位向量，若对任意力eR均有E+2可的最小值为

国-4则国+3最-可+国-q的最小值为.

变式2.已知平面向量乌乌满足Re?-ej=2,T^,a=ex+4e2,5=el+e2,若14箱542，贝!11商1的取值范围为

-7--

变式3.（2023•浙江金华•统考一模）已知平面向量。，b，E满足|。-切=3,（a-c）（Z?-c）=-2,

则同的取值范围是.

题型二：定义法

例4.已知向量£»的夹角为:，且£出=3,向量Z满足三芝+。—冷网。＜几＜1），且27=加2，记》=背，

c-b

’=w’则/+/—孙的最大值为-

例5.（2023・四川成都•高二校联考期中）已知向量2,b，3满足同=1,W卜及，a-b=-l，向量1日与

向量1-5的夹角为:，则同的最大值为.

例6.（2023・浙江绍兴•高二校考学业考试）已知向量Z，B满足忖=1，W=百，且Z_L石，若向量"满足

\^-a-b\=2\a-b\,则，的最大值是.

变式4.已知向量”.满足[=1,问=6,且1/=若向量力与5V的夹角为30。，贝可3的最

大值是.

变式5.已知向量获，满足同=2.=3,=6,若以向量标为基底，将向量Z表示成工=花+〃次％M为

实数），都有+则£出的最小值为

变式6.已知向量之、分满足：忖-4=4,同=0忖.设与2+后的夹角为。，贝Using的最大值为

题型三：基底法

例7.已知菱形ABC。的边长为2,ZR4D=120°,点、E,尸分在边8C,C。上，BE^ABC，DF=juDC.若

2

2+〃=耳，则AEAF的最小值为.

例8.（2023•天津•高三校联考阶段练习）己知菱形ABCD的边长为2,/班。=120。，点E、厂分别在边3C,

CZ（上，BE=ABC，DF=juDC,若22+〃=],则越.AT的最小值_________.

例9.如图，菱形ABC。的边长为4,/54£>=30。，/为。C的中点，若N为菱形内任意一点（含边界）,

则而•丽"的最大值为

变式7.菱形ABCD的边长为4,ZBAD=30°,若N为菱形内任意一点（含边界），则荏•丽的最大值为

变式8.如图，菱形ABCD的边长为4,/BAZ）=60°,M为。C的中点，若N为菱形内任意一点（含边界）,

则丽.丽的最大值为.

变式9.平面四边形ABC。是边长为2的菱形，且/A=120。，点N是。C边上的点，S.DN=3NC，点、M

是四边形ABC。内或边界上的一个动点，则而.询的最大值为.

变式10.（2023・全国•高三专题练习）已知向量4,b满足,+画=3,无B=0.若无=4万+（1-4）坂，且I也=35,

则同的最大值为.

变式11.已知平面向量Z，b，之满足同=应，W=l,a.b=~\，且〉二与，，的夹角为:，则，的最大

值为.

变式12.已知平面向量Z、b>2满足卜|=4,1卜3,忖=2,b-c=3>贝!）（2询~伍-。2一［（2一冲.（£-矶

最大值为.

变式13.在“1BC中，M为边BC上任意一点,N为40的中点，且满足RV=几而+〃而，则川+〃2的

最小值为.

题型四：几何意义法

例10.（2023•全国•模拟预测）已知2b，"是平面向量，满足叩+年同=2忖=2,户10=氐

则向量"在向量Z上的投影的数量的最小值是.

例11.（2023•上海浦东新•上海市建平中学校考三模）已知非零平面向量Z，b，工满足：%,5的夹角为:，

4

12与"_后的夹角为B，忖一石卜④，*4=1,则尻2的取值范围是.

例12.（2023•全国•高三专题练习）已知平面向量痴夹角为（，且平面向量E满足忆-4=&-方|=1,

伍-万）・--方）=一;记加为〃。=忖+（1一间（teR）的最小值，则加的最大值是.

变式14.（2023•全国•高三专题练习）已知平面向量Z，b，"满足2国=-3，1％-万|=4,与的夹角

为?，贝巾-【q的最大值为.

变式15.（2023・四川内江•高二四川省内江市第六中学校考开学考试）已知非零平面向量£,b，2满足：2,

B的夹角为g,与之4的夹角为年，忖-万|=2豆，/-1=2,则/"的取值范围是

7171

变式16.已知非零平面向量H黄足口叫=2,且（_）g5）=。，若Z与B的夹角为。，且。e匕

则|2|的最大值是.

TT

变式17.（2023•全国•高三专题练习）平面向量成友工满足：的夹角为\a-b\=\b-c\=\a-c\=2j3,则加工

的最大值为.

变式18.（2023・广东阳江•高二统考期中）已知非零平面向量心b,^满足卜-可=4,=

jrjr

若万与5的夹角为6,且。ey，-,则E的模取值范围是.

变式19.（2023•浙江•高三专题练习）已知平面向量九B，"，若同第=|【目=1,且悭-4+忸+芝|=2百,

则*4的取值范围是.

变式20.（2023•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知向量Z，分满足同=|方|=1,且75=0,

若向量"满足|"+2+方|=1,则代的最大值为.

变式21.（2023•浙江•模拟预测）已知向量入b，工满足归-石+4=应忖=夜，与Z的夹角为羊，则

口的最大值为.

变式22.（2023・全国•高三专题练习）已知平面向量:工二满足：a-b=5,向量）与向量成的夹角为g,

:二=2技向量，二与向量，热的夹角为耳，则二7的最大值为.

题型五：坐标法

例13.（2023•全国•高三专题练习）已知向量入万满足|2%+q=3,忖=1,则同+2归+目的最大值为

例14.（2023•江苏常州•高三统考期中）已知平面向量口,5忑满足|Z|=2,出|=4,a，B的夹角为§，且

（a-c）-（b-c）=2,则修I的最大值是.

例15.设平面向量心5,不满足同=问=2,4与B的夹角为与，伍Y）®y）=O贝小|的最大值为

变式23.（2023•安徽滁州•校考三模）已知平面向量Z，b，工满足3=1，01=若,ab=O,c-a^c-b

的夹角是看，则：•（"）的最大值为.

变式24.（2023•河北•统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形A3C。中.以C为圆心，1为半径的圆分

别交CO,BC于点、E,F.当点尸在劣弧断上运动时，丽.而的最小值为

变式25.（2023・山东・山东省实验中学校考一模）若平面向量2,却"满足同=1,加工=0,2%=1，a-c=-l，

则"4的最小值为

变式26.（2023・四川眉山・仁寿一中校考一模）如图，在平面四边形ABCD中，ZCDA=ZCBA=90°,

ZBAD=120°,AB=AD=1,若点E为CD边上的动点，则荏.而的最小值为.

变式27.（2023・安徽滁州•校考模拟预测）已知同=1,忸+@+忸-[=4,则的的最小值是.

变式28.（2023・浙江•模拟预测）已知向量Z，5满足同=3,且忸-几q的最小值为1（几为实数），记a,

（a,a-b]=/3,则一）---4最大值为______.

\/COS（6Z+f3）

变式29.在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M,N分别是A3,AD上的动点，且满足2AM+4V=1,

^AC=xAM+yANf则2x+3y的最小值为（）

A.48B.49C.50D.51

题型六：极化恒等式

例16.（2023・山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点尸为

正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，两.两的取值范围是.

例17.（2023•湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形48C。中，EF是边上长为6的可移动的线段,

AD=4,AB=84,BC=12,则诙.砺的取值范围为.

例18.（2023•陕西榆林•三模）四边形ABCD为菱形，/痴C=30。，AB=6,P是菱形ABCD所在平面的任

意一点，则丽.前的最小值为.

变式30.（2023•福建莆田•模拟预测）已知尸是边长为4的正三角形A3C所在平面内一点，且

AP=AAB+（2-22）AC（2eR）,则西•正的最小值为（）

A.16B.12C.5D.4

变式31.（2023•重庆八中模拟预测）AMC中，AB=3,BC=4,AC=5,尸。为AABC内切圆的一条直径，

M为AABC边上的动点，则加•诙的取值范围为（）

A.[0,4]B.[1,4]C.[0,9]D.[1,9]

题型七：矩形大法

例19.已知圆G:好+V=9与。2：/+V=36,定点尸（2,0）,A、B分别在圆C1和圆。2上，满足

PAVPB,则线段A2的取值范围是.

例20.在平面内，已知嗣，胸，OBX=OK=V,AP=AB^+AB^,若I而则I函I的

例21.（2023•全国•高三专题练习）己知圆。:/+寸=16,点尸（1,2）,M、N为圆。上两个不同的点，且

PMPN=O^PQ=PM+PN,则|而|的最小值为.

变式32.设向量商，b,1满足I6|=|方1=1,G-5=1,（a-c）-（^-c）=0,贝”科的最小值是（）

A/3—1

C.J3

2

题型八：等和线

例22.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,P为圆。上任一点，^AP=xAB+yAC,则2x+2y的

最大值为（）

例23.在“LBC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若丽=2通+〃正（%，〃eR）,

则2+〃的取值范围是（）

C.[0,1]D.[1,2]

例24.（2023・全国•高三专题练习）如图,OM〃A8,点尸在由射线加、线段。8及AB的延长线围成的区

域内（不含边界）运动，且/=xC5+y彷.当x=-g时，y的取值范围是（）

PB

J_3j_3

A.(0,+oo)5,+00

2,22,2

变式33.（2023•全国•高三专题练习）在扇形Q4B中，ZAQ3=60。，。为弧A5上的一动点，若碇二项5+y丽,

则3x+y的取值范围是.

变式34.（2023•江西上饶•统考三模）在扇形O4B中，=60°,C为弧A3上的一个动点.若

OC=xOA+yOB,贝I2x+y的取值范围是.

TT

变式35.（2023・全国•高三专题练习）在扇形Q4B中，OA=1,ZAOB=~,C为弧AB上的一个动点，若

OC=xOA+yOB,则x+3y的取值范围是.

IT

变式36.（2023•福建三明•高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形Q4B中，ZAOB=-,C为弧AB上的

一个动点，若历=云西+丫诙，则x+4y的取值范围是.

变式37.（2023•全国•高三专题练习）如图,OM//A5,点尸由射线OA/、线段及的延长线围成的阴

UUUUUUUU

影区域内（不含边界）.且OP=MM+yC®,则实数对（x,y）可以是（）

变式38.如图，B是AC的中点，BE=2OB,P是平行四边形3CDE内（含边界）的一点，且

OP=xQA+yOB（x,yeR）,则下列结论正确的个数为（）

①当x=0时，ye[2,3]

②当P是线段CE的中点时，x=y=|

③若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中，点尸的轨迹是一条线段

④x-y的最大值为T

A.1B.2C.3D.4

变式39.（2023•全国•高三专题练习）在448。中，|荏|=|44=通・*=2,点。在线段3。（含端点）上

运动，点尸是以。为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若击=2而+〃瑟%则几+〃的最大值为（）

ii2a.

A.1B.c.D.-

32

变式40.在“BC中，AD为8C上的中线，G为AD的中点，M,N分别为线段A3,AC上的动点（不

包括端点A,B,C）,且M,N,G三点共线，若N题=4亚，AN=^iAC,则2+4〃的最小值为（）

A3「59

A.-B.-C.2D.-

224

变式41.（2023・全国•高三专题练习）在AABC中，［41=2,|45卜2,/区4。=120。,荏=尢而,/=〃；记，M

为线段EF的中点，若怀必卜1,则彳+〃的最大值为（）

A.也B.冬且

C.2D

33-f

变式42.在扇形。W中，ZAOB=60°,\c问=1,C为弧A3上的一个动点，且反=xE+y砺.则x+4y

的取值范围为（）

A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]

变式43.（2023•全国•高三专题练习）如图，在扇形0LB中，ZAOB=6Q°,C为弧AB上且与A3不重合的

一个动点，且厉=xE+y而，若〃=x+2y（2>0）存在最大值，则2的取值范围为（）

B.(1,3)C.4，1)D.(”

题型九：平行四边形大法

例25.如图，圆。是半径为1的圆，0A=；,设5,C为圆上的任意2个点，则/的取值范围是

UUIUULUH

例26.如图，C,。在半径为1的。。上，线段AB是。。的直径，则AC8O的取值范围是1

例27.（2023・浙江•模拟预测）已知e为单位向量，平面向量心5满足|日+。|=出-。|=1,小6的取值范围是

变式44.（2023•江西宜春•校联考模拟预测）半径为1的两圆M和圆。外切于点尸，点C是圆M上一点，点

3是圆。上一点，则定.方的取值范围为.

变式45.（2023・福建・高三福建师大附中校考阶段练习）设圆圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于

点尸，点A,8分别是圆圆N上的两动点，则西.方的取值范围是（）

[-164]

题型十：向量对角线定理

例28.已知平行四边形TWCD,AB±BC,AB==BC=AD=2,CD=3,AC与瓦）交于点O,若记。=砺•砺,

b=OBOC,c=OCOD,贝I（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

例29.如图，在圆。中，若弦AB=3,弦AC=5,则不^^的值是（）

A.-8B.-1C.1D.8

C

B

例30.如图，在四边形ABC。中，ABLBC,AD_L3C若，AB=a,AD=b,则/.丽等于（）

A.b2-a2B.a2-b2C.a2+b2D.a2-b1

D

A

BC

重难点突破03最全归纳平面向量中的范围与最值问题

目录

题型一：三角不等式

题型二：定义法

题型三：基底法

题型四：几何意义法

题型五：坐标法

最全归纳平面向量中的

范围与最值问题

题型六：极化恒等式

题型七：矩形大法

题型八：等和线

题型九：平行四边形大法

题型十：向量对角线定理

4方法技巧总结

技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法：

(1)定义法

第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步：得出结论

(2)坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

(4)几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

技巧二.极化恒等式

(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

+y=2(画+|&|2)

证明：不妨设前=以莅=B,贝！1元=£+B,DB=a-b

|AC|2=AC=^+bJ=\^+2a-b+\^①

\DB[=DB2={a-=\^-2a-b+\b[②

①②两式相加得：

|明2+回『=胴2+附臼画2+曲2)

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：；[(£+冲2+阕]-------极化恒等式

①平行四边形模式：a-b=^\Acf-\DBfj

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差

的L

4

②三角形模式：a-b=\AM^-^\DB\I2为8。的中点)

技巧三.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点。是矩形ABC。与所在平面内任一点,

证明：CM2+OC2=OB2+OD2.

【证明】(坐标法)设==以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy,

则83,0),£)(0力)83力),设O(x,y),则

OA2+OC2=(x2+y2)+[(x-a)2+(y-Z))2]

OB2+OD2=[(x-a)2+y2]+[x2+(y-Z?)2]

:.O^+OC2=OB2+OD1

技巧四.等和线

(1)平面向量共线定理

已知次=2砺+〃诙，若彳+〃=1,则三点共线；反之亦然.

(2)等和线

平面内一组基底砺，砺及任一向量而，9=2砺+〃砺(2,〃eR),若点尸在直线至上或者在平行

于的的直线上，则儿+〃=%(定值)，反之也成立，我们把直线钻以及与直线AB平行的直线称为等和线.

①当等和线恰为直线AB时，k=l；

②当等和线在。点和直线AB之间时，4e(0,l)；

③当直线"在点O和等和线之间时，丘(L+oo);

④当等和线过O点时，左=0;

⑤若两等和线关于。点对称，则定值%互为相反数;

技巧五.平行四边形大法

1、中线长定理

2

2AO=|AB|2+|AD|2-||r）B|2

2、P为空间中任意一点，由中线长定理得：

2

2PO=|PA|2+|PC|2-1|AC|2

2

2PO=|P£）|2+|PB|2-1|£）B|2

两式相减：1pA『+|pc「一（伊。「+俨叫2）=M阳=2ABAD

技巧六.向量对角线定理

------Q>2——2»2

/诙=（仞+BC）TAB+CD）

2

题型一：三角不等式

例1.（2023・全国•高三专题练习）已知向量海工满足|:|=2,山=1,0工工口，若对任意人

(c—a)2+(c—6)2W11恒成立，则的取值范围是.

【答案】-2,-1

Rr、2zrr、2zrrr、2r2rr

【解析】解析：因为［一。)+(牛-二)-\c-a-b^=c-2。•b,

rr、2rr2rrr「□「i

贝!JS=(zc-a)+(zc-Z?)X=l+c2-2a-b,因为,+々£[1,3],

由山一卜彳半工一认目v+4，

由1=|c—(a+6)区卜|+卜+,,即,21—k+61由卜+6卜[1,3],贝lj卜21—k+0恒成立.

由|c|-|a+i|<|c-(a+^|=l,Qp|a+i|-l<|c|<l+|a+i|

贝"max=1+(|。+勿+1)2—2+力=1+7+，2+1+242+力2+2).力

=7+2,5+2荽411，

解得;力4一:，又〉.2-4=

rr「r

所以a-be-2,--

故答案为：

例2.(2023・全国•高三专题练习)已知平面向量1,反不满足：|町=114=-1,若对满足条件的任意向量B,

修-石必才-引恒成立，贝IJCOSG+H®的最小值是.

【答案】—

2

[解析]由题意设M=(l,0),B=忑=(%,y),c-b=(x+l,y-m),c-a=(x-l,y),

由|1-B以1一万|,J(X+1)2+(m_y)22J(1一])2+y2,

化简得加之一2冲+4xN0恒成立，所以△W0,y244x,x>0,

c+a=(x+Ly),

/—\%+1x+11、A/2

cos(c+a,a)=/------>/------=1=•>——

J(x+1)2+y2J(x+1)2+4%[।4x2,

V(%+1)2

当且仅当y2=4x且％=1时取到等号；

故答案为：走.

2

例3.已知向量1,5忑满足同=W=同=2,a-b=O,若关于♦的方程位+有解，记向量々忑的夹角

为8,贝!Jsin。的取值范围是.

【答案七「1M31

【解析】不妨令4=（2,0）石=（0,2）1=（九0,%）,

由同=2,可得%；+y；=4；

^+——^=（2^,0）+（0,1）—（.Xo^o）=（2，—兀0，1-%）,

22

故可得ta+^-c=!=^（2?-X0）+（1-^0）,

3IQ

整理得4产—4x0t+%；+>；-2y0+—=4〃—4x0t+——2%=0,

要使得该方程有解，则A=16焉-16（9-2%[20,

整理得x；+2%■2。，又因为x；+y；=4,

「13"

故可得4y：-8%+340,解得为e.

又因为cos。=同向=5%,故可得sin0=71-COS26>===（|%卜

「13一

故可得.

「131

故答案为：7,7.

I_44J

变式L已知力,最最是平面向量，且,最是互相垂直的单位向量，若对任意XER均有厘+%]的最小值为

,3.4’则R+3%-⑷+卜3-4的最小值为.

【答案】3

【解析】根据卮+4同的最小值为可，代入得关于丸的一元二次不等式，利用等号可以取到判断出

e=xe+e9

A=4（*3）-4^2^2^3-lj=0,然后设,为工轴的方向向量，4为y轴方向向量，3\y2则得关于点

（羽田的轨迹方程，利用抛物线的定义将向量模长转化为距离，计算最小值.

ee

p3+2^|=p3|+24,63+%时-\3~\=同+同,即兴+2丸4巧+24区一1N0,所以

△二川生勺）一4（24%-1）=0,即（q%）~2e2e3+1=0,设1为元轴的方向向量，4为丁轴方向向量，所以

7i=xel+ye^,对应的坐标为(x,y),所以Y-2y+l=0,得f=2(y-g)；

,+3心目+国-可=|(1,3)-(x,刈+1(元,y)-(0,1)|,因为/=2(y_J为抛物线无2=2》向上平移:个单位，

所以焦点坐标为(0,1),准线为>=0,所以点(x，N)到(0,1)的距离与到>=。的距离相等，

|(l,3)-(x,y)|+|(x,y)-(0,l)|=|(l-x,3-j)|+|y|>|3-y|+|y|=3,当且仅当x=y=l时，取最小值.

故答案为：3

变式2.己知平面向量l，最满足|2最-可=2,设々=4+4£5=1+&,若则1菊的取值范围为

【答案】[73-1,5/5+1]

【解析】设忑=不一21，则5=:m+3),则由条件IV无542知2V"•(6+为(4,

所以3422+小1+工不45,所以644+=1

42

又«+|

所以6-10<?区逐+1.

故答案为：[6-1,6+1].

7

变式3.(2023•浙江金华•统考一模)已知平面向量商，b，忑满足=|力-刈=3,(a-cXb-c)^-2,

则同的取值范围是.

一35"

【答案】-

【解析】如图，

^OA=a,OB=b,OC=c,则|商一B|=|丽|=3,

取A3的中点D,

则.二◎+西-（丽-两=4而一4AS2=亦_初=|西2_2」,

4444

|OO|=2,

又(d-c)»(b—c)=-2,

CA.CB=-2,

C4.CB=◎+函函2=44-4砺°9=_2)

444

ICDI=L

2

_____,______35

A|OS|-|CD|l!j|5||OD|+|CD|,即Q都©

故答案为：弓3弓5］.

22

题型二：定义法

7T一—一C*CL

例4.已知向量的夹角为2,且Z%=3,向量Z满足。=兄。+(1-4)可0(儿<1),且)，记工=同,

C'b

>=W，则/+V-孙的最大值为.

27

【答案】v

O

【解析】

JT

^OA=a,OB=b,OC=c,则NAO3=§,

—TT-

由无方=3，知I利,IbIcos—=3,即|初.||=6,

所以菊"B|sin：=；x6x*=¥，

因为i?=24+(l-X历(0<a<1),所以点C在线段A2上,

设ZAOC=tz,则N8OC=1-C,

所以Y+9一孙=|c|2cos2a+|c|2cos2(■|一々|一|e|cos。|C|cos

J3Yfly/3

=1cI2cos26Z+IcI2—cos<z+^—sintz-|c|cosof-|c|-cosad-----sina

2222

k7V7

I-/2126.3.212

=\ccosa+—cosad-----sin。cosa+—sina——cosa-------sinacosa

\42422

I®2

故原问题转化为求©的最大值,

在中，由余弦定理知,

|4812=1菊2+15/一21d|•I5Icos]=|西2+15/一I西•151

>2\a\]b\-\a\\b\^a\-\b\=6,当且仅当昨同="时，等号成立，

故A3的最小值为#,

因为3下=%，所以(商-石”=0,即AB_LOC,

所以%AB|-|OC|=¥，

|^13拒(3上3A/2,3A/2

0即||上函<正=〒'HN叫1三’

377

所以f+y2一孙=|司2工

48

27

故答案为：--

O

例5.(2023.四川成都.高二校联考期中)已知向量入5,1满足同=1,忸卜血，a-b=-\，向量好不与

向量-5的夹角为:，则间的最大值为.

【答案】M

【解析】依题意可知cosR，0="|=^^=一9，所以他可=苧，不妨设方=2=(1,0),

__k__34

OB=^=(-1,1),0C^c，则ZAO8=7，

7TJT

由m与石的夹角为:可知NACB=7,所以0,A,C,8四点共圆，即点。在△(?‘钻的外接圆上.

44

AB=(-2,1),则网=氐由正弦定理得AQ4B的外接圆直径2R=1^=质，所以同的最大值为质.

sinT

故答案为：Vw.

例6.(2023・浙江绍兴•高二校考学业考试)已知向量1，B满足同=1,|4=豆，且六方，若向量工满足

|c-a-S|=2|a-&|,则1的最大值是.

【答案】6

【解析】如图，设函=£，OB=b^OC=c>OD=a+b^

连接AD,BD,

则由Z，B可知四边形OADB为矩形，

则卜+*k_0=2.

由|c—6Z—Z?|=21a一49

可得=2卜一目,

连接C。，

则|明=4,

所以点C在以点。为圆心，4为半径的圆上，

所以oc的最大值为|。4+口（?卜2+4=6.

故答案为：6.

变式4.已知向量:不满足口=1,W=G,且晨B=若向量GT与5v的夹角为30。，贝的最

大值是.

【答案】2币

【解析】

收OA=a,OB=b,OC=c,

所以a—c=CA,b—c=CB,所以NAC8=30°,

f，r

所以cos<a,b>='"b-=—=——1,

\a\\b\上2

因为<H>e[0°,180°「

所以<H>=150。,;.ZA<?B=150°.

所以O,A,B,C四点共圆.设外接圆半径为R,

要使最大，所以0C必须过圆心,

此时，在中，由余弦定理得4序=1+3一26cos150。=7,;.A8=4.

A3

由正弦定理得0c=2R==2币.

sinZAOB

故答案为：2币

变式5.已知向量日石，满足忖=2刊=3口=6,若以向量为基底，将向量Z表示成c=2a+〃次%〃为

实数），都有|彳+〃|,,1,则的最小值为

【答案】4-4710

【解析】由题可知，忖=6，W=3，W=2.

不妨设砺=£=（6,0）,碇=九无=",则点8、C分别在以原点为圆心，半径分别为2和3的圆上运动