2025高考数学一轮复习知识清单：导数压轴大题归类 （原卷版）

专题08导数压轴大题归类

更盘点・置击看老

目录

题型一：不等式证明1：无参基础思维型..........................................................1

题型二：不等式证明2：有参数型基础证明.......................................................2

题型三：极值点偏移：和型......................................................................2

题型四：极值点偏移：积型......................................................................3

题型五：极值点偏移：含参型....................................................................3

题型六：极值点偏移：平方型....................................................................4

题型七：极值点偏移：非对称型..................................................................5

题型八：比值代换型证明........................................................................5

题型九：三零点型不等式证明....................................................................6

题型十：三角函数型不等式证明..................................................................7

题型十一：零点与求参.........................................................................7

题型十二：三个零点型求参......................................................................8

题型十三：恒成立求参：三角函数型..............................................................8

题型十四：恒成立求参：整数解型................................................................9

题型十五：能成立求参：双变量型...............................................................10

更突围・错;住蝗分

题型一：不等式证明1：无参基础思维型

指I点I迷I津

证明不等式基础思维：

1.移项到一侧，证明函数的最值大于0(小于0)证明法

2.恒等变形，再证明新恒等式法。

1.(四川省金太阳普通高中高三第三次联考数学)已知函数〃耳=加-(1+24卜+11«.

(1)讨论〃尤)的单调性.

x7

(2)当〃=0时，证明：-P>--x2-2f(xY

x10v7

2.已知函数/(x)=3"Tni.

X

(1)讨论函数以X)在［1,2］上的单调性;

(2)若。=—1,求证：/Xx)>—3x-2在(0,+8)上恒成立.

3.(2022.河南南阳•南阳中学校考模拟预测)已知函数/(x)=ae*-4x,aeR.

(1)求函数的单调区间；

(2)当a=l时，求证：/(x)+x2+l>0.

题型二：不等式证明2：有参数型基础证明

:指I点I迷I津

有参数型不等式证明：

通过参数庖圈，确定范教的单调性，然后利用最值敖缩证明不等式

I_________________________________________________________

1.(2024高三•全国•专题练习)设函数/(x)=e'-alnx.

⑴当。=1,求"X)在点(l,e)处的切线方程;

(2)证明：当a>0时，/(x)>2a-alna；

2.(2024,全国,周考真题)已知函数/'(x)=lnx+1.

⑴求/'(x)的单调区间；

(2)当a<2时，证明：当尤>1时，"x)<ei恒成立.

3.(2024•江苏苏州•模拟预测)己知函数/(%)=111%+依+1,。€11.

(1)讨论“力的单调性；

(2)当aW2时，证明：^^<e2Y.

X

题型三：极值点偏移：和型

;指I点I迷I津

处理极值点偏移问题中的类似于玉+%>。的问题的基本步骤如下：

;①求导确定了(元)的单调性，得到4％的范围；

②构造函数尸(x)=〃x)-〃a-x),求导后可得网x)恒正或恒负；

③得到了(')与不)的大小关系后，将/4)置换为了(%)；

④根据巧与再所处的范围，结合/(X)的单调性，可得到々与。-药的大小关系，由此证得结论.

ny

1.(22-23高三・广东深圳•阶段练习)已知函数/(%)=F(QW0).

e

⑴若对任意的xeR,都有了(X)4L恒成立，求实数a的取值范围；

e

(2)设/，"是两个不相等的实数,S.m=nem-n.求证：%+〃>2.

2.(22-23高三・陕西安康)已知函数/(x)=a(；：l)+；Y.

⑴当〃=1时，求曲线y=〃x)在点处的切线方程；

⑵若函数/(X)有两个不同零点%,三,求a的取值范围，并证明玉+为2>0.

3.(2023•河南平顶山•模拟预测)已知函数〃x)=e*-xlnx-«x-l(aeR)有两个零点.

⑴求a的取值范围；

(2)设先,当是〃尤)的两个零点，证明：％+无2>2.

题型四：极值点偏移：积型

:指I点I迷I津

处理极值点偏移问题中的类似于％N<。(『(％)=/(%))的问题的基本步骤如下：

：①求导确定/(X)的单调性，得到玉,受的范围；

②构造函数=求导可得网X)恒正或恒负；

③得到〃为)与/巴］的大小关系后，将/&)置换为外马)；

④根据巧与手的范围，结合/(X)的单调性，可得血与2的大小关系，由此证得结论.

1.(22-23高三上•北京房山,期中)己知函数/(x)=lnx-x

⑴求函数/⑺单调区间；

(2)设函数g(x)=/(x)+a,若玉«0,e］是函数g(x)的两个零点,

①求。的取值范围；

②求证：王Z<1.

11

2.(2024•广东湛江•一模)已知函数〃x)=(l+lnx)el

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)若方程〃x)=l有两个根不，巧，求实数a的取值范围，并证明：占々>1.

3.(23-24高三•河南•阶段练习)己知函数/(x)=；62-(2a+l)x+21nx(aeR).

⑴若/(X)有唯一极值，求。的取值范围；

(2)当aWO时，若/(占人〃%),x^x2,求证：xtx2<4.

题型五：极值点偏移：含参型

指I点I迷I津

含参型极值点偏移：

1.消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决;

2.以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.

1.(23-24高三上•江苏镇江•阶段练习)已知函数〃尤)=In无+彳,〃eR.若函数有两个不相等的零点玉,泡.

⑴求a的取值范围；

(2)证明：%[+x2>4a.

2.(22-23高按•四川泸州)已知函数g(x)=e=2a(x-l),e为自然对数的底数.

⑴若函数g(x)在(L+8)上有零点，求a的取值范围；

(2)当a>0,玉片々，且g(x；)=g(X2),求证：A,+x,<21n(2a).

3.(21-22高三•河南郑州•)已知函数/'(x)=(ln尤一左-l)x(ZeR).

(1)当x>l时，求/(力的单调区间和极值；

(2)若芯二多,且/(占)=/(%)，证明：再尤2<e2"

题型六：极值点偏移：平方型

指I点I迷I津

对于平方型，可以应用对数平均不等式斥证明极值点偏移,

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到।,

inX]inX]

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

1.(2024・吉林•二模)在平面直角坐标系xOy中，RtA&LB的直角顶点A在x轴上，另一个顶点8在函数

=?图象上

⑴当顶点8在无轴上方时，求RMOAB以x轴为旋转轴，边和边。8旋转一周形成的面所围成的几何体

的体积的最大值；

办22

(2)已知函数g(x)=e"_ex+ar_l,关于x的方程/(x)=g(x)有两个不等实根为,

(i)求实数。的取值范围；

2

(ii)证明：.

2.(22-23高三•辽宁•模拟)已知函数=

⑴讨论”元)的单调性；

(2)若(叫广=(exj(e是自然对数的底数)，且为>0,尤2>。，x产马，证明：x；+xf>2.

3.(2023•广东广州•模拟预测)己知函数一加.

⑴讨论函数〃x)的单调性：

(2)若占,马是方程〃x)=0的两不等实根，求证：x；+%>2e；

题型七：极值点偏移：非对称型

1.(2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=l-Inx-jaeR).

X

⑴求“X)的单调区间；

⑵若“X)有两个零点为，巧，且玉<马，求证：王君<e-a.

2.(22-23三■福建福州)已知函数/(x)=Inx-a(x—2)(aeR).

⑴试讨论函数的单调性；

3

(2)若函数/(x)有两个零点X1,x2(Xj<x2),求证：x,+3X2>—a+2.

3.(21-22高三•浙江•模拟)已知函数/(x)=lnx—X.

⑴求函数〃尤)的单调区间；

⑵若函数y=/(x)的图象与>=根(〃2€尺)的图象交于4(小弘)，8(%,%),(芯<尤2)两点，证明:

2Xj+x2>4-21n2.

题型八：比值代换型证明

指I点I迷I津

应用对数平均不等式斥〈产子—〈上产证明极值点偏移：

inX]inx)，

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到户一一；

in玉一in%2

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

构造对数不等式时，比值代换是常见经验思维：

1.一般当有对数差时，可以运算得到对数真数商，这是常见的比值代换形式

2.两个极值点(或者零点)，可代入得到两个“对称”方程

3.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。

1.(2023•山西运城•山西省运城中学校校考二模)已知函数/(x)=d+2cos尤(尤)为函数Ax)的导函数.

⑴讨论函数人力的单调性；

(2)已知函数g(x)=/'(x)-5尤+5alnx,存在g(不)=片3),证明：xl+x2>2a.

2.(2024高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=ln尤+:办z-(a+l)x,(aeR).

⑴当a=1时，判断函数>=/(无)的单调性；

⑵若关于x的方程了(无)=：依2有两个不同实根外,当,求实数。的取值范围，并证明

3.(21-22高三・重庆•模拟)已知函数/0)=111彳-办+6(0,6€1<)有两个不同的零点%,9.

⑴求/(X)的最值;

(2)证明：xtx2<\.

题型九：三零点型不等式证明

指I点I迷I津

三个零点型不等式证明常见思维，关键是问题的转化.证明不等式问题第一步转化是消元，把三个根用一

个变量观表示，第二步构造新函数g(〃D,证明g(㈤的最小值g(%)>。，第三步由导数求得极小值点人的

范围，并对g(乙)变形，第四步换元.=以/)，最终转化为关于/的多项式不等式，问题易于解决.

丁-7尸懑诬裙:琴篓:产蕤:藻茁痴51高萨王季前而谦著薮享希瓶厂

/(x)=a(x-1)+(a-1)Inx,a>2

已知函数2

(1)求函数〃x)的单调区间；

(2)若/(%)=/⑴且“Hl,证明：Vxe(l,m),(a-l)lnx>#-l.

(3)记方程、-4x+31nx=-4的三个实根为占，/，马，若占<马<七，证明：x3-x2<2^.

2.(浙江省舟山中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题)已知函数

"%)=(x+l)lnx+a(x—l),a£R

(1)求函数y=r(x)的最小值；

(2)若“X)有三个零点占,无3,

①求a的取值范围；

1113

②求证：嬴兀+嬴嬴金<—

a

3.已知"尤)=,二一，关于x的方程/(无)=〃，的不同实数解个数为k.

Inx,x>0

(1)求k分别为L2,3时，m的相应取值范围；

35

(2)若方程/(幻=用的三个不同的根从小到大依次为七,%2，入3，求证：%1+X3>x2--m--.

题型十：三角函数型不等式证明

:指I点I迷I津

对于含有三角翦数型不等人证明:

:1.证明思路和普通不等式一样。

2.充分利用正余弦的有界性

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/x_sinx+cosx-1

1.(河南省开封市杞县高中2023届高三文科数学第一次摸底试题)已知函数‘⑴一"

⑴求函数〃尤)在(0,万)内的单调递减区间；

(2)当xe[0,+oo)时,求证:f(x)<x.

7(x)=lnx+—

2.(云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学(理)试题)已知函数x,

g(x)=e，+sinx,其中°eR.

⑴试讨论函数f(x)的单调性；

(2)若。=1,证明：/(x)<^.

X

3.已知函数〃力=产〃+6sinx-l的图象在原点处的切线方程为y=2x.

⑴求函数y=/(x)的解析式；

(2)证明：f(x)>2x.

题型十一：零点与求参

;指I点I迷I津

；函数零点的求解与判断方法：

⑴直接求零点：令/(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间口力]上是连续不断的曲线，且/(。方修)<0,还必须结合函

；数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

⑶利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的

值，就有几个不同的零点.

1.(23-24高三•广东清远・模拟)已知定义在正实数集上的函数/(0=?r+2冰，g(x)=3a2lnx+^.

⑴设两曲线y=/(x),y=g。)有公共点为尸，且在点P处的切线相同，若。>0,求点尸的横坐标；

(2)在(1)的条件下，求证:

⑶若6=0,Mx)=(“X)+誓-1尤2,函数拉⑺在定义域内有两个不同的零点外,马，求实数。的取值范围.

23a4

2.(23-24高三上•西藏林芝•期末)已知函数〃x)=e1"-l(aeR).

⑴讨论函数“X)的单调性；

⑵若函数〃无)在X=1处取得极值，不等式/'(x)Nbx-1对Vxe(o,y)恒成立，求实数6的取值范围；

⑶若函数/(无)在定义域内有两个不同的零点，求实数。的取值范围.

3.(22-23高三上,福建福州•阶段练习)已知函数〃x)=lnx+ax3eR).

⑴当a=-l时，求〃尤)在点卜276))处的切线方程；

(2)若f(x)在(0K)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

题型十二：三个零点型求参

4

1.(23-24高三•湖北省直辖县级单位•模拟)若函数/(了)="3-Zu+4,当x=2时，函数外元)有极值

⑴求函数的极值；

⑵若关于无的方程/(幻=左有三个零点，求实数上的取值范围.

2.(23-24高三•云南玉溪•模拟)设〃x)=a(x-5)2+61nx,曲线y=〃x)在点(1"(功处的切线与y轴相交

于点(0,6).

⑴求实数。的值；

(2)若函数y=7(x)+〃有三个零点，求实数6的取值范围.

4

3.(2022高三•河南南阳•专题练习)若函数/(尤)=。(》-1)3-6(了-1)+4,当x=3时，函数/(幻有极值-耳.

⑴求函数〃无)的解析式；

(2)若关于x的方程/(x)=k有三个零点，求实数k的取值范围.

题型十三：恒成立求参：三角函数型

指I点I迷I津

不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(x),xe[a,，|,y=g(x),x&[c,d]

<1)若%e[a,6],Vx2c总有“xJvgG)成立，故/⑴皿<g㈤1nto；

(2)若％e[a,可,叫目c,d],有<(%)<g(%)成立,故""1mx<g(%)1mx；

(3)若*e[a,可，叫e[c,d],有/(%)<g(%)成立,故(⑺1nto<g(%2)1nto;

(4)若％e[a,6],玉同c,d],有〃％)=g(%)，则"尤)的值域是g(x)值域的子集.

1.(2023,全国•高三专题练习)已知函数/'(x)=e*+acosx.

⑴若函数在区间(0,兀)上单调递增，求实数a的取值范围.

jr

⑵当xe0,-时，26恒成立，求实数。的取值范围.

2.(2023•河南洛阳•校联考模拟预测)已知函数/(力=里，尤/-不如.

cosxI22J

⑴求“X)的最值;

jrjr\

(2)当xe一15)时，/(^)cosx-x(l+cosx)+o>0,求实数。的取值范围.

3.(2023上•福建莆田•高三莆田第十中学校考期中)已知函数-asinx.

⑴若曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线方程为y=0,判断当尤>0时函数"X)的单调性;

(2)当。=2时，/0)±2°-5(<?€2)在工€[0,兀]恒成立，求c的最大值.

题型十四：恒成立求参：整数解型

:指I点I迷I津

；解决不等式恒成立问题，常用方法有：

：(1)将原不等式变形整理，分离参数，继而构造函数，转化为求解函数的最值问题解决；

：(2)直接构造函数，求导数，求解函数的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于(或小于等于)

0,解不等式即可.

1.(2023•山东•山东省五莲县第一中学校联考模拟预测)已知函数/(月=《-41-工+1标)，其导函数为

「(%).

⑴若“力在(1,+8)不是单调函数，求实数。的取值范围；

(2)若“X)对在(1,+8)恒成立，求实数a的最小整数值.e77.39)

2.(2023下•天津滨海新•高二统考期末)已知函数/(x)=lnx7nr2+(l-2〃?)x+l,(meR).

⑴若/(l)=-h求m的值及函数〃尤)的极值；

(2)讨论函数〃x)的单调性：

⑶若对定义域内的任意x,都有/(x)〈。恒成立，求整数机的最小值.

3.(2023下•辽宁朝阳•高二校联考期末)己知函数/(x)=ae「ln(x+2)(aeR),

(1)若。=-1,求的图象在x=0处的切线方程；

⑵若/1(x)〉。对任意的xe(-2,+a:>)恒成立，求