2024年高考数学复习试题专项汇编：函数与导数

（2）函数与导数

2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

一、选择题

F+X〉0

1.[2024届嘿龙江齐齐哈尔.一模]已知/'（x）=32为奇函数，贝普=（）

[x+ax,%<0

A.-2B.2C.lD.-1

2.[2024届.长沙市第一中学.模拟考试]若函数/（x）=4|x-a|+3在区间工+8）上不单调，则a

的取值范围是（）

A.[l,+oo）B.（l收）C.（YO,1）D.（-oo,l]

3.[2024届•山西长治•一模校考]研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长x（月）与肿瘤细胞

含量/（%）的关系，其函数解析式为/（%）=%一叱，其中左>0,b>0,a为参数.经过测算，发

现a=e（e为自然对数的底数）.记x=1表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的

那么6的值为（）

e

A.V5+1B.A/5-1CA/|+1DJIZI

22

4.[2024届.天津宝垠区.模拟考试校考]已知函数/（x）的部分图象如图所示，则函数/⑴的解

析式可能为（）

2x2

A./(%)=-B"(x)=

|x|+l

2x2|x|

c./W=-DJ(x)=—

x--l

5.[2024年新课标II卷高考真题]设函数/(%)=〃(％+1)2-1,g(x)=cosx+2or,当％时，

曲线y=/(x)和y=g(x)恰有一个交点.则。二()

A.-lB.-C.lD.2

2

6.[2024年新课标II卷高考真题]设函数/(x)=(x+a)ln(x+6),若/(x)20,则1+廿的最小

值为()

A.-B.-C.-D.1

842

7.[2024年新课标I卷高考真题]已知函数/(x)的定义域为R,f(x)>f(x-l)+f(x-2),且

当x<3时，/(x)=x,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000C./(10)<1000D./(20)<10000

8.[2024年新课标I卷高考真题]已知函数/'(xX-x-2依-。，尤<0在R上单调递增，则。

ev+ln(x+l),x>0

的取值范围是()

A.(-oo,0]B.[-l,0]C.[-l,l]D.[0,+oo)

二、多项选择题

9.[2024年新课标I卷高考真题]设函数/(x)=(x-iy(x-4),贝U()

A.x=3是/(x)的极小值点B.当0<%<1时，/(%)</(x2)

C.当1<%<2时，-4</(2x-l)<0D.当一1<%<0时，f(2-x)>f{x}

10.[2024年新课标n卷高考真题]设函数/(》)=2%3_3以2+1,贝|]()

A.当a>l时，/(%)有三个零点

B.当a<0时，x=0是/(x)的极大值点

C.存在a,。，使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点(1,/(1))为曲线y=/(x)的对称中心

三、填空题

11.[2024年新课标I卷高考真题]若曲线y=e，+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+l)+a

的切线，则。=.

12.[2024届.南宁三中.二模]若直线丁=依+1与曲线丁=3+111%相切，则"的取值范围为.

四、解答题

13.[2024年新课标I卷高考真题]已知函数/(x)=ln—++/?(%-1)3.

2-x

(1)若5=0,且((幻20,求。的最小值；

(2)证明：曲线y=/(x)是中心对称图形；

(3)若/(x)>-2当且仅当l<x<2,求6的取值范围.

14.[2024年新课标H卷高考真题]已知函数f(x)^ex-ax-a3.

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)若/(x)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

15.[2024届•山东临沂・二模]已知函数〃x)=ln(G：)+(a-l)x-e*.

(1)当a=l时，求证：/(%)存在唯一的极大值点%,且/(%)<-2；

⑵若/(%)存在两个零点，记较小的零点为Xi"是关于x的方程ln(l+x)+3=2aq+cosx的根，

证明：ef+l>2eT|.

参考答案

1.答案：A

解析：当X<0时，一X>0,所以/(X)=-〃一同=一[(一%)3+2(-%)2]=%3-2尤2,

通过对比系数得。=-2.

故选：A.

2.答案：B

解析：因为函数/(%)=4|%-々|+3在(-00,4)上单调递减，在(a,+Q0)上单调递增.

又函数在区间工+oo)上不单调，所以a>l，

故选：B.

3.答案：D

".-1

解析：依题意，")=如'，而〃2)=。⑴，则e-尸+尸」，即,_尸-1=0,

〃2)=依jee

又>>0,解得人|=^±1,所以6=2^.

22

故选：D.

4.答案：A

解析：由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C,

由图可知，函数的定义城不是实数集.故排除B；

5.答案：D

解析：由题意知/(x)=g(x),则a(x+iy-l=cosx+2ax,即cosx=a(尤?+1)—1.令

必尤)=cosx—a(尤2+1)+1.易知丸(刈为偶函数，由题意知/i(x)在(—1/)上有唯一零点，所以

/?(0)=0,即cosO—a(0+l)+l=0,得a=2,故选D.

6.答案：C

解析：由/(%)20及丁=兀+。，y=ln(x+b)单调递增，可得x+a与ln(x+Z?)同正、同负或同为

零，所以当ln(x+Z?)=0时，x+a=0,即(，所以6=。+1,贝!J

x+a-Q

a2+b2=a+(a+l)2=++g2g，故选C.

7.答案：B

解析：因为当x<3时，/(x)=x,所以/⑴=1,/(2)=2.对于/(x)>/(x—l)+/(x—2),令％=3,

得/(3)>/(2)+/(l)=2+l=3；令尤=4,得/(4)>/(3)+/(2)>3+2=5；依次类推，得

/(5)>/(4)+/⑶>5+3=8；/(6)>/(5)+/(4)>8+5=13；/(7)>/(6)+/(5)>13+8=21；

/(8)>/(7)+/(6)>21+13=34；/(9)>/(8)+/(7)>34+21=55；

/(10)>/(9)+)(8)>55+34=89；/(11)>/(10)+/(9)>89+55=144；

/(12)>/(11)+/(10)>144+89=233；/(13)>/(12)+/(II)>233+144=377；

/(14)>/(13)+/(12)>377+233=610；/(15)>/(14)+/(13)>610+377=987；....显然

/(16)>1000,所以/(20)>1000,故选B.

8.答案：B

解析：因为函数/(x)在R上单调递增，且当％<0时，f(x)=-x2-2ax-a,所以

f(x)=-炉一2ax一a在(_oo,0)上单调递增,所以一aNO,MPa<0；当xN0时,/(x)=ex+ln(x+l),

所以函数/(x)在［0,+oo)上单调递增.若函数/(x)在R上单调递增，则-a</(0)=l,BP«>-1.

综上，实数a的取值范围是［-1,0］.故选B.

9.答案：ACD

解析：因为/(x)=(x-1)2(x-4),所以f\x)=2(x-l)(x_4)+(x-1)2=3(x-l)(x-3),令广⑺=0,

解得x=l或x=3,当x<l或x>3时，/'(x)>0,当l<x<3时，f'(x)<0,所以函数/(x)的

单调递增区间为(—』)，(3,+oo),单调递减区间为(1,3),故x=l是函数/(x)的极大值点，x=3

是函数/(x)的极小值点，所以A正确.

当0<x<l时，x-x2=x(l-x)>0,即0</<X<1,又函数/(X)在(0,1)上单调递增，所以

f(x2)</(x),所以B错误.

当1<%<2时，l<2x—1<3,函数/(x)在(1,3)上单调递减，所以-4=/(3)</(2x-l)</(I)=0,

所以C正确.

当T<x<0时，/(2-%)-/(%)=(2-x-1)2(2-x-4)-(x-1)2(%-4)

=(x—1)2(—x—2)—(x—l)2(x—4)=(x—1)2(—2x+2)=—2(x—Ip>0,所以/(2-x)>/(幻，所以D

正确.

综上，选ACD.

10.答案：AD

解析：由题可知，f'(x)^6x(x-a).

对于A,当a>l时，由尸(x)<0得0<x<a,由尸(x)>0得x<0或x〉。，贝|在(―oo,0)上

单调递增，在(0,。)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，且当xf-%时，/(%)--8,/(0)=1,

/(a)=-a3+1<0,当xf-Ko时，/(x)f+8,故/(x)有三个零点，A正确；对于B,当a<0

时，由/'(x)<0得a(尤<0,由/'(x)>0得x>0或x<a,则/(x)在(—8,a)上单调递增，在(a,0)

上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，故％=0是/(x)的极小值点，B错误；

对于C,当xf”时，f(x)+00,当Xf—00时，f(x)-00,故曲线y=/(x)必不存在对

称轴，C错误；

对于D,解法一：/(x)=2x3—3加+1=2(x—--1a2+»令/'=x—会则/(x)可

转化为g⑺=2/一|。2/+1—［，由y=2/—|//为奇函数，且其图象关于原点对称，可知g⑺

/3\(3、

的图象关于点0,1-—对称，则/(X)的图象关于点-,1--对称，故存在a=2,使得点

、2J122)

(1,7(1))为曲线y=/(%)的对称中心，D正确.故选AD.

解法二:任意三次函数/(乃=以3+法2+5+</(。/0)的图象均关于点一~—成中心对

、3a13a),

称，D正确.故选AD.

11.答案：In2

解析：由题，令/(x)=e'+x,则八x)=e'+l,所以八0)=2,所以曲线y=e，+x在点(0,1)处

的切线方程为y=2x+l.令g(x)=ln(x+l)+a,则g'(x)=」一，设直线y=2x+l与曲线y=g(x)

x+1

相切于点(九0,%),则一-—=2,得/=-工,则%=2/+1=0,所以0=ln[—g+l]+a,所以

XQ+12

〃=ln2.

12.答案：-+oo^

解析：函数y=b+ln尤的导数为了=!，

X

设切点为(%0,冰o+l),所以，=Q,则依0=1,即工=%,

又因为(%0，质+1)在丁=/?+111%上，所以+l=Z?+ln%o,

所以b+ln%o=2,即Z?-ln1=2,所以Z?=2+lna,

所以QZ?=Q(2+lnQ)=2Q+alna(〃>0),

令g(a)=2a+alnQ,g<a)=2+lna+a—=lna+3,

令g'(〃)>。，可得令/(〃)<。，可得

ee

所以g上单调递增,

1

当a趋近正无穷时，g(a)趋近正无穷.

所以质的取值范围为：1-3,+8、故答案为：［-二,+00

Le3)Le3

13.答案：(1)-2

(2)证明见解析

(3)-1''+00)

解析：(1)/(%)的定义域为(0,2),

若〃=0,贝>J/(x)=ln=^-+奴，f\x)=—~工)：^+a=——-----\-a,

2-xx(2-x)2x(2—x)

当xe(0,2)时，x(2-x)e(0,l],=2+a>0,则a»—2,

故a的最小值为-2.

2-r

(2)/(2-x)=ln--+a(2-x)+Z?(l-x)3

X

Xa

——In--------ux—Z?(x—1)+2a——f(x)+2〃,

2-x

故曲线y=/(x)关于点(1,a)中心对称.

(3)由题知f(l)=a=—2,

止匕时/(x)=ln----2%+仪%—1)3,

2-x

/'(X)==•-2+3b(x-1)2

x(2-x)

2「2

=------------2+3b(x—1)2=(%—1)2----------+3/?.

x(2—%)\_x(2-x)

2

记g(x)=—；——+3。，xe(0,2),易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增,

x(2-x)

g⑴=2+3小

7

当62-§时，g(x)>0,f(x)>Q,/(x)在(0,2)上单调递增,

又/⑴=-2,故符合题意.

%八2./、2-3bx"+6bx+2

当/?<——时fH，g(l)<0,g(x)=---------+3Z?=-------------------,

3x(2—x)x(2-x)

令g(x)=。,得X=1±J1+三'

7

因为"一院所以

所以当xel」+Jl+£,寸，g(x)＜。，/'(x)＜。，/(x)在(1,1+上单调递减，故

/

中+产5/(I)=-2,不符合题意.

2

综上，6的取值范围为—,+oo

3

14.答案：(1)(e-l)x-y-l=0

(2)(1收)

解析：(1)当a=l时，/(x)=e-x—1,则((x)=e=1,

则(⑴=e—1.

/⑴=e-2,所以切点坐标为(l,e-2),

所以切线方程为y—(e—2)=(e—l)(x—1),即(e—l)x—y—1=0.

(2)易知函数/(x)的定义域为R,r(x)=e-a.

当aWO时，f'(x)＞0,函数/(x)在R上单调递增，无极值;

当a>0时，由f'(x)>0,得x>lna,由f'(x)<0,得％<Ina,

所以函数在区间(-8,Ina)上单调递减，在区间(lna,+s)上单调递增,

所以/(x)的极小值为f()na)^a-aina-a3.

由题意知a-alna-/<0(。>0),等价于l-lna-a?<0(«>0).

解法一：令g(a)=1-1114一储(。〉o),

画119~2a2+a-l2^-4^+8

贝IJg(a)=1----2a=----------=——-----------<0,

aaa

所以函数g(a)在(0,+oo)上单调递减，

又g(l)=0,故当0<QVl时，g(Q)>0；当时，g(Q)vO.

故实数a的取值范围为(1,位).

解法—.：由1—Ina—/<0(a>0),得Ina〉—ct~+l(a>0).

如图为函数y=lna与y=-/+i在区间(o,+oo)上的大致图象,

由图易知当a>l时，InaA-M+i,gp1-In«-<0.

所以实数a的取值范围为

15.答案：（1）证明见解析

⑵证明见解析

解析：（1）当a=l时，/（%）=lnx-ex,xe（0,-H»）,

所以/（力=工_仁

X

所以r（x）在（0,+8）上单调递减，且/[£|=2-1〉0,/⑴=1—e<0,

则现使得当XG（O,%O）时，

当％e（%o，+co）时，（无）<0,且/''（/）=0,即工=e~,

玉）

所以“力在（O,x0）上单调递增，在Go，”）上单调递减，

所以“可存在唯一的极大值点%,

M/（x0）+2=Inx0-+2=-x0--+2=-—~~—<0,

所以v-2.

(2)令ln(词+(a-l)x-e*=0,得In(何+ox=x+e*,

设g(x)=x+e，，显然g(x)在定义域上单调递增，

而砒+ln(ox)=e"⑻+ln(ot),则有gln(ov)=g(x),

所以x=ln(ov).

依题意，方程x=ln(ox)有两个不等的实根，

即函数网力=x-In(双)在定义域上有两个零点，

显然a/0,当a<0时,网司的定义域为(-8,0),

在(YO,0)上单调递增，网对最多一个零点，不合题意,

所以a>0,可尤)的定义域为(0,+oo),

所以求导，得"(x)=l-工，

X

当0<xvl时，li(%)<0,当％>1时，,(x