《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 9-1 多元函数的基本概念

第九章多元函数微分学如：圆柱的体积V与底面积S和高h有关：经济学中著名的科布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数Q与资金K和劳动力数量L相关：在实际问题中，常常涉及多个变量的情形。因此，我们需要引入多个自变量的函数，即多元函数的概念。第一节多元函数的基本概念一、平面区域二、二元函数三、二元函数的极限四、二元函数的连续性五、小结一、平面区域1、邻域设为一实数，在xoy平面上与点的距离小于的点的全体，称为点的邻域，记作：即：为点的去心邻域,去心邻域：称点集xy0P0

δxy0P0

δ2、点、集和区域定义2

都是什么点？定义3

D

P2

P11xy01xy01xy0定义4

2xy02xy012xy0定义5

如果一个平面点集D可以包含在以原点O为中心、某一正实数r为半径的圆盘内，即则称D为有界集；否则称它是无界集．12xy00yx二、二元函数定义6

设D是R2中的一个非空子集，如果对于D中的任意一点(x,y)，按照一定的对应法则f，都有唯一的实数z与之对应，则称f

是一个定义在D上的二元函数．记作其中x,y为自变量，

z为因变量；D称为函数的定义域，与(x,y)相对应的实数z也称为函数值，全体函数值的集合称为f的值域.二元函数的定义域为R2的一个子集，值域为实数集的子集.二元函数的图形对于二元函数，三维空间中的点集称为二元函数的图形.它在几何上是三维空间中的一张曲面.二元函数的图形比如：二元函数，定义域为圆域：图形为中心在原点的上半球面.二元函数的图形为一张曲面.三元函数的定义域为图形则是四维空间中的超平面.例1求的定义域．解：所求定义域为三、二元函数的极限设函数f(x)在x0的某一个去心邻域内有定义，若存在常数A,存在对任意的,当

时,恒有,则称时,f(x)以A为极限，记作或复习：一元函数极限的定义接下来将讨论二元函数z=f(x,y)，当时，二元函数z=f(x,y)极限的情况.

定义7

设在平面点集D内有定义，为的一个聚点,A为一实常数．若对于任意给定的正数总存在正数对任意的当时，恒有，则称当时，z=f(x,y)以A为极限，记作与一元函数的极限定义有何区别？（2）定义中的方式是任意的；（3）二元函数的极限也叫二重极限（4）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（1）定义中是任意给定的正数，用来刻画f(x,y)与A

接近的程度；随而定，用来刻画接近

说明：例2证明：在时，函数以零为极限．证

由于因此，对任给的，取，当时，恒有所以例3证明：极限不存在．解

定义域为xoy面去掉坐标原点，当P沿x轴趋近于O(0,0)时，有当P沿y轴趋近于O(0,0)时，有当P沿y=kx趋近于O(0,0)时，有xOy内，点p(x,y)可以以多种方式趋近于O(0,0).该极限值依赖于直线y=kx的斜率k．或说当P(x,y)沿斜率不同的直线y=kx

趋近于点O时，所得的极限不同.因此极限不存在．极限为0？说明：例4求极限．解

例5求极限解

例6证明极限．证

当充分小时，有由于由夹逼准则，得

有关一元函数极限的主要结论，如关于极限的四则运算、有关不等式的结果、夹逼准则等对多元函数都适用．四、二元函数的连续性复习：若或

则称一元函数y=f(x)在点处连续.定义8设二元函数z=f(x,y)在区域内D有定义，P0(x0,y0)为D的一个聚点，且,分别为x,y的改变量，．若或则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续．如果函数f(x,y)在区域D的每一个点处都连续，则称它在区域D上连续，f(x,y)是区域D上的连续函数．（1）如果二元函数z=

f(x,y)在区域D上连续，则它的图形

是一张连续的曲面；说明：（2）如果z=f(x,y)在不连续，则称为的间断点．如：点(0,0)是函数的间断点；

由于，且则函数在点(0,1)处连续；（3）二元函数的间断点可以组成平面中的一条曲线，称为间断线．如：y轴是函数的间断线；圆周

是函数

的间断线．说明：二元初等函数：由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的式子所表示的函数，称为二元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．如均为二元初等函数.例7求极限与一元函数相同，求初等函数在其定义域内某点处的极限可以归结到计算函数在该点处的函数值．时函数的极限，即等于该函数在点(2,0)处的值.解

由于函数除点外皆连续，因此又故例8求极限解分析:点(0,0)为函数的“可去”间断点.求二元函数“可去”间断点处的极限时，可通过作变

换、整理“去掉”间断点，化为另外一个在该点连续

的函数，这样就可以把求极限的问题转化为求函数值

的问题．与闭区间上的一元函数所具有的性质相类似，在有界闭区域上连续的二元函数有如下的性质：性质1在有界闭区域D上连续的二元函数，必在区域D上

有界，且一定取得最大值与最小值．性质2（介值定理）在有界闭区域D上连续的二元函数，

在该区域上一定取得介于最大值与最小值之间的任

何一个值．

以上对二元函数研究的结果，可以推广