《高等数学（经济类）下册 第2版》习题及答案 第12、13章 微分方程、差分方程

习题12—1（A）1.指出下列各微分方程的阶数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；答案：（1）一阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）三阶；（5）五阶；（6）二阶；（7）四阶.2.验证下列各函数是否为所给微分方程的解.如果是解，请指出是通解，还是特解？（1）函数，微分方程；（2）函数，微分方程；（3）由确定的函数，微分方程；（4）函数（其中是给定的实数），微分方程．解：（1）因为，左式右式，所以函数是微分方程解．又因为函数不包含任意常数，所以是特解．（2）因为，即，所以函数是微分方程解，但是由于中只有一个任意常数，又因为微分方程是二阶的，所以既不是微分方程的通解，也不是特解，只是解．（3）等式两边同时对求导，有，整理得，所以由确定的函数是的解，又中含有一个任意常数，而是一阶微分方程，所以是通解．（4）因为，则有，所以．当时，，则是微分方程的解，并且是特解；当时，，则不是微分方程的解．3.若函数是微分方程的解，求的值．解：由得，，，将它们代入微分方程，得，所以，或．4．验证下列所给的各函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解.（1）函数，微分方程，初始条件；（2）函数，微分方程，初始条件；（3）函数，微分方程，初始条件，.解：（1）因为，所以．又中含有一个任意常数，是一阶微分方程，所以函数是微分方程的通解．由，可得，所以微分方程满足初始条件的特解是．（2）对隐函数的两边求关于的导数，得，即．又中含有一个任意常数，是一阶微分方程，所以隐函数是微分方程的通解．由，可得，所以微分方程满足初始条件的特解是．（3）因为，，所以．又因为函数中含有两个独立的任意常数，而是二阶微分方程，所以是微分方程的通解．由初始条件，，有得，，所以微分方程满足初始条件，的特解是．习题12—1（B）1．给定微分方程，（1）求过点的积分曲线方程；（2）求出与直线相切的积分曲线方程．解：易验证是微分方程的通解．（1）由曲线过点，有，得，所求积分曲线为．（2）若曲线与直线相切，则有（斜率相等），得．当时，，所以切点为，将其代入，有，得，所求曲线为．2．将积分方程（其中是连续函数）转化为微分方程，给出初始条件，并求函数．解：将两边同时对求导，有，即，这就是所求的微分方程，容易得到其通解为．将代入到原方程中，有，得初始条件为，所以有，得，所求函数为．

习题12—2（A）1.求下列可分离变量的微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）分离变量，两边积分，整理得通解为．（2）分离变量，两边积分，整理得通解为，或写作．（3）分离变量，两边积分，整理得通解为，进而原方程通解为：．（4）分离变量有，整理得，两边积分，整理得通解为，进而原方程通解为：．2.求下列齐次方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）将方程改写为，令，则，于是原方程化为，即，积分得，即，所以原方程通解为．（2）将方程改写为，令则，于是原方程化为，即，积分得，即，所以原方程通解为．（3）将方程改写为，令，则，于是原方程化为，即，积分得，即，所以原方程通解为．（4）将方程改写为，令，则，于是原方程化为，即，积分得，即（其中，所以原方程通解为，或写作．3.求下列一阶线性微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）法一：相应齐次方程为，即，积分得，即（其中．令，代入原方程，有，即，得，所以原方程通解为．法二：、，方程通解为．（2）、，方程通解为．（3）、，方程通解为．（4）方程化为，则有、，方程通解为．4．求下微分方程满足所给初始条件的特解：（1），；（2），；（3），；（4），．解：（1）这是可分离变量方程，分离变量为，积分得，即方程通解为．由，有，方程特解为．（2）这是齐次方程，令，则，于是原方程化为，即，积分得，即方程的通解为（其中．由，可得，所以方程特解为．（3）这是一阶线性方程，，因此，方程通解为．由，有，得，方程特解为．（4）原方程可化为，这是一阶线性方程，、，方程通解为．由，有，得，所以方程特解为．习题12—2（B）1．求下列伯努利微分方程的通解：（1）；（2）．解：（1），令（），则原方程化为，即，该方程通解为．所以，原方程通解为．（2），令（），则原方程化为，即，该方程通解为．所以，原方程通解为．2．用适当的变量代换求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）令，则，于是，分离变量有，积分得，原方程通解为．（2）令，则，于是，即，分离变量得，或，积分得，所以原方程通解为．（3）令，则，于是，分离变量得，积分得，即，所以原方程通解为．（4），即，则，原方程化为，分离变量有，该方程通解为，即，所以原方程通解为．3．求微分方程的通解．解：将方程改写为这是以为未知函数的齐次方程，为此令，则，于是方程化为，分离变量有，积分得，即，进而原方程通解为．4．求微分方程的通解．解：方程改写为，即，这是一阶线性微分方程，通解为．５．设函数连续，且不恒为零，若，求函数．解：方程两边同时对求导，有，分离变量有，得通解为．记，则，令，得初始条件．用代入到之中，有，所以．由，得，所以．６．设连续函数满足，求函数．解：方程两边同时对求导，有，令，则方程可以改写为，即，这是一阶线性微分方程，通解为．用代入到方程之中，得初始条件，于是，故，于是，即所以函数为（注：根据初始条件，所以不能取）．

习题12—3（A）1.求下列各微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：（1），．（2），，．（3）方程不显含，令，则，于是，分离变量为，积分得，即（其中，于是原方程降阶为，原方程通解为．（4）方程不显含，令，则，于是，这是一阶线性微分方程，其通解为，于是原方程降阶为，所以原方程的通解为．（5）方程不显含，令，则，于是，即，这是可分离变量的方程，先分离变量，再两边积分，并整理可得．所以，解得，这就是原方程的通解．2.求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1），，，；（2），，；（3），，．解：（1），由，得，所以；，由，得，所以；，由，得，所以方程满足初始条件的特解为．（2）方程不显含，令，则，原方程化为，此方程通解为，即，由，得，从而，此方程通解为，由，得，所以方程满足初始条件的特解为．（3）方程不显含，令，则，于是，分离变量有，积分得，即，由，可知道，所以，再由，，得，所以．分离变量有，积分得，由，得，于是，化简为，这就是方程满足初始条件的特解．习题12—3（B）1.求下列各微分方程的通解：（1）（，为常数）；（2）；（3）．解：（1）由于，，故原方程的通解为．（２）方程不显含，令，则，于是，即，这是齐次方程，令，则，原方程化为，分离变量有，积分得，即，原方程降阶为，原方程通解为．（３）方程既不显含，也不显含．（方法1）令，则，则，分离变量有，积分得，即，原方程降阶为，所以原方程的通解为．（方法2）令，则，于是，分离变量有，积分得，即原方程降阶为，分离变量为，积分得，化简为，这就是原方程的通解．2.求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1），，；（2），，；（3），，．解：（1）按不显含的方程求解，（注：本题按不显含方程求解困难）．令，则，于是，分离变量有，积分得，即，由，得，于是，积分得，由，得，所以方程满足初始条件的特解为．（2）令，则，得，因为不满足初始条件，所以，分离变量有，积分得，即．由初始条件，，有，得，故．分离变量，积分并整理得．再由初始条件，得，所以原方程满足初始条件的特解为．（3）这是不含的二阶可降阶微分方程，令，则，则方程化为．因为不满足初始条件，所以，分离变量有，积分得，解得．由初始条件，，有，得，故，分离变量有，积分得，再由初始条件，得，所以原方程满足初始条件的特解为，即．

习题12—4（A）1．指出下列各对函数在其定义区间内的线性相关性：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与；（5）与；（6）与；（7）与；（8）与（）．解：（1）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关．（2）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关．（3）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关．（4）因为恒为常数，所以与在区间内线性相关．（5）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关．（6）因为恒为常数，所以与在区间内线性相关．（7）因为不恒为常数，所以与在区间内线性无关．（8）因为恒为常数，所以与在区间内线性相关．2．验证函数，是微分方程的两个线性无关的解，并写出该方程的通解．解：因为，所以，因此，所以是的解；同理，是的解．又因为不恒为常数，所以函数，是微分方程的两个线性无关的解．因此二阶线性齐次微分方程通解为．3．通过观察给出微分方程的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解．解：是二阶线性齐次微分方程，改写为，二阶导数与自身呈相反数的函数有，，它们是的两个解，又不恒为常数，于是，线性无关，所以方程的通解为．4．写出下列各二阶常系数线性齐次微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）特征方程为，即，特征根为、（不相等实根），所以方程的通解是．（２）特征方程为，即，特征根为（两个相等实根），所以方程的通解是．（3）特征方程为，由二次代数方程求根公式，得特征根为（一对共轭复根），所以方程的通解是．（4）特征方程为，特征根为、（不同实根），所以方程的通解是（注意是自变量，是因变量）．5．求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1），，；（2），，；（3），，．解：（1）特征方程为，即，特征根为、，所以方程的通解是，且．由初始条件，，有得所以方程满足初始条件，的特解是．（2）特征方程为，即，特征根为，所以方程的通解是，且．由初始条件，，有得所以方程满足初始条件，的特解是．（3）特征方程为，由二次代数方程求根公式，得特征根为，所以方程的通解是，且．由初始条件，，有得所以方程满足初始条件，的特解是．

6．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）相应齐次方程为，特征方程，特征根为，相应齐次方程通解为．这里，不是特征根，因此设，将其代入到原方程之中，有，比较系数得，于是原方程的一个特解为．原方程的通解为．（2）相应齐次方程为，特征方程，即，特征根为，相应齐次方程通解为．这里，是二重特征根，因此设，将其代入到原方程之中，化简有，得，于是原方程的一个特解为，原方程的通解为．（3）相应齐次方程为，特征方程，即，特征根为，相应齐次方程通解为．这里，不是特征根，因此设，代入到原方程之中，有，比较系数有得，于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解为．（4）相应齐次方程为，特征方程，特征根为，相应齐次方程通解为．这里，，是单重特征根，因此设，将其代入到原方程之中，化简有，比较系数得，于是原方程的一个特解为，所以原方程的通解为．7．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解：（1），，；（2），，；解：（1）相应齐次方程为，特征方程，特征根为、，相应齐次方程通解为．这里，、是单重特征根，因此设，代入到原方程之中，有，得，，于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解为．，由初始条件，，有得、，所以方程满足初始条件，的特解为．（2）相应齐次方程为，特征方程，特征根为，相应齐次方程通解为．这里，不是特征根，因此设，代入到原方程之中，有，得于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解为．，由初始条件，，有得、，所以方程满足初始条件，的特解为．8.求常系数线性非齐次微分方程的通解.解：相应齐次方程为，特征方程，特征根为，相应齐次方程通解为．这里，将其分为，、．对，这里是单重特征根，因此设，代入到之中，有，比较系数得，于是方程的一个特解为；对，不难观察得一个特解．于是，原方程的一个特解为．所以，原方程的通解为．.习题12—4（B）1．若，是二阶线性非齐次微分方程的两个解，证明是相应线性齐次微分方程的解．证：因为，所以．所以是相应线性齐次微分方程的解．2．已知函数，，都是微分方程的解，写出该方程的通解．解：是二阶非齐次线性微分方程，由函数，，都是它的解，根据上题，则是相应齐次线性微分方程的两个解，而它们之比不恒等于常数，于是它们是线性无关的解，所以的通解为，根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，得方程的通解是．3．若二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是，写出该微分微分方程及其通解．解：由二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是，则该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根是，于是特征方程是，即，所以微分方程为，通解为．4．若二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解，写出该微分微分方程及其通解．解：由二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解，则该二阶常系数线性齐次微分方程有一个特征根，并且是二重根，于是特征方程是，即，所以微分方程为，通解为．5．求下列各常系数线性非齐次微分方程的通解：（1）；（2）．解：（1）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为．这里，最高多项式次数，是单重特征根，为此设，代入到原方程之中，有，比较系数有得，于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解是．（2）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为．对原方程，这里是单重特征根，为此设，代入到原方程之中，有，即，得，于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解是．6．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解：（1），，；（2），，．解：（1）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为．对原方程，这里多项式最高次数是单重特征根，为此设，代入到原方程之中，有，比较系数有，得，于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解是．，由初始条件，，得，所以方程满足初始条件的特解为．（2）相应齐次方程为，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为．对原方程，这里多项式最高次数不是特征根，为此设，代入到原方程之中，有，比较系数有得于是原方程的一个特解为，原方程的通解是．，由初始条件，，有得，所以原方程满足初始条件的特解是．7．若连续函数满足，求的表达式．解：，，，于是函数满足微分方程，初始条件是．是二阶常系数线性非齐次微分方程，相应齐次方程是，特征方程为，特征根为，应齐次方程通解为．对原方程，这里不是特征根，为此设，代入到原方程之中，得，于是原方程的一个特解为．所以，原方程的通解是．因为，由初始条件，有得，所以所求函数是．8.证明：若满足方程，则必满足方程，并求方程的解．解：先证必满足方程．由于，则求导可得，故证明了必满足方程．下面求解方程．由于方程的通解为，且，所以，令可得，则，从而方程的解为．

习题12—5（A）1.设在冷库中存储的某种新鲜水果500吨，放置一段时间之后开始腐烂，腐烂率是未腐烂数量的0.001倍，设腐烂的数量为吨，则显然它是时间的函数，求此函数的表达式．解：由题意知 ，分离变量得， ，两边积分，并整理得 （为任意常数），再结合，容易求出，所以水果腐烂数量与时间的函数关系式为．2.已知某商品的需求量（单位：kg）对价格（单位：元）的弹性为，且当时，需求量Kg.（1）求该商品对价格的需求函数；（2）求当价格元时，市场对该商品的需求量；（3）当时，需求量是否趋于稳定？解：（1）由已知条件知，，分离变量得，所以有（为任意常数）．再由得，，所以．（2）由（1）可知，当元时，（kg）．（3）由可知，当时，，即随着商品价格的无限增大，需求量将趋于零，是稳定的．3.记某型号小轿车的运行成本为，转让价值为，其中为自购买开始计的时间．设运行成本与转让价值满足的方程为 ，，其中，为已知的常数，且，（购买成本），求和．解：先考虑微分方程，易求得此方程的通解为，再结合购买成本，得小轿车的转让价值函数．将其代入微分方程，得，因此运行成本满足的函数为．4.考虑在某池塘里养鱼，一开始放养200条，鱼可以自然繁殖，鱼塘最多能容纳2000条鱼．设在时刻池塘内鱼的数量为，经验表明，池塘内鱼数量的变化率与池内鱼数和池内还能容纳的鱼数的乘积成正比．又知第3个月末池塘内鱼的数量为500条，求放养个月末时池塘内鱼数的表达式和放养半年后池塘内鱼的条数．解：由题意，个月末时池塘内鱼数满足 ，，，这是一个可分离变量微分方程，分离变量并两边积分，得 ，将，代入上式，解得，．因此，个月末时池塘里的鱼数与时间的函数关系式为 ，即 ．于是，当放养6个月后池塘里的鱼数为 （条）．习题12—5（B）1.设市场上某商品的需求函数为 ，供给函数为 ，这里假定初始值分别为，．试求在市场均衡条件（）下该商品的价格函数．解：由题意，市场供需平衡时有，整理得 ，这是一个常系数的二阶非齐次线性微分方程．其特征方程为，易求得，，所以其对应的齐次线性微分方程的通解为．又由于右端函数为，所以可假设特解形式为，将其代入方程，得，因此非齐次线性微分的通解为．再结合初始条件，，可求得，，所以商品的价格函数为．2.某公司的办公用品成本与公司员工人数相关，如果办公用品的边际成本为 ，且，求办公用品成本函数．解：由题意，成本函数满足的方程可化为 ，这是一个伯努利方程，令，即，则上面的方程可化为 ，由一阶线性微分方程的通解公式，得 ，所以 ，再由可得，因此办公用品成本函数为 ．

总习题十二1．填空题：（1）若函数是微分方程的解，则.（2）若一阶线性微分方程有两个特解，则该方程通解为.（3）以为一个特解的二阶常系数线性齐次微分方程为.（4）过点，且在点的切线斜率为的曲线方程为.（5）微分方程的特解形式为．解：（1）填．理由如下：将代入到方程中，有，得.（2）填.理由如下：根据据线性方程解的性质，是相应齐次方程的一个特解，相应齐次方程的通解是，由于线性非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与相应齐次方程的通解之和，所以原方程的通解是．（3）填．理由如下：通过二阶常系数线性齐次微分方程有特解，可以看到该微分方程有特征根，从而也是特征根，于是特征方程为，即，所以该微分方程是.（4）填（）．理由如下：设曲线方程为，根据已知有，分离变量为，积分得，即，由初始条件，得，所以所求曲线为（），（5）填．理由如下：非齐次方程对应齐次方程为，特征方程为，特征根为．对，这里不是特征根，因此；对，这里是单重特征根，因此；对，这里是单重特征根，因此，所以方程有形如的特解.2．单项选择题：（1）微分方程是（）；(A)变量可分离方程(B)齐次方程(C)关于的一阶线性方程(D)关于的一阶线性方程（2）已知是二阶线性齐次微分方程的两个解，则（其中是任意常数）（）；(A)是方程的通解(B)是方程的一个特解(C)是方程的解(D)不是方程的解（3）微分方程的特解形式是（）；(A)(B)(C)(D)（4）曲线在点处的切线方程为，如果满足，则函数（）；(A)(B)(C)(D)（5）若连续函数满足关系式，则（）．(A)(B)(C)(D)解：（1）选D，事实上：将方程改写为，具有（其中）的形式，所以是关于的一阶线性方程.（2）选C，事实上：根据定理4.1，是方程的解，则D被排除；而由中可能有任意常数，则B被排除；而可能线性相关，这时可以合并为一个任意常数，则A被排除，因此符合条件的只有C.（3）选B，事实上：相应齐次方程为，特征方程，特征根为，，对微分方程，这里是单重特征根，因此；对方程微分，这里不是特征根，因此，原方程有特解形式.（4）选C，事实上：由，有，根据条件曲线在点处的切线方程为，得初始条件是，于是，，所以.（5）选B，事实上：等式两边同时对求导，得，初始条件，由分离变量有，积分得，即，由初始条件，得，所以．3．求下列微分方程的通解：（1）；（2）（）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：（1）方程改写为，分离变量有，积分得，即，记则原方程通解为.（2）方程改写为，令，则，于是，分离变量有，积分得，通解为，即.（3）方程改写为，这是一阶线性微分方程，通解为.（4）方程改写为，这是关于的线性方程，通解为.（5）这是不显含的二阶可降阶微分方程，令，则，原方程化为，分离变量为，积分得，即，所以原方程的通解是.（6）这是不含的二阶可降阶微分方程.（方法1）令，则，原方程化为，分离变量有，即，积分得，化简为，所以原方程通解为．（方法2）令，则，原方程化为，分离变量有，积分得，即，分离变量有，积分得，化简为，这就是原方程的通解.（7）相应齐次方程为，特征方程为，即，特征根为，相应齐次方程的通解为.对原方程，这里，是单重特征根，为此设，将其带入原方程之中，化简有，比较系数得，于是原方程的一个特解为.所以，原方程的通解是.（8）相应齐次方程为，特征方程为，即，特征根为，相应齐次方程的通解为.对方程，这里不是特征根，为此设，代入到方程之中，有，比较系数得，所以方程的一个特解为；对方程，这里是二重特征根，为此设，将其带入原方程之中，化简有，即，所以方程有一个特解为．方程的一个特解为．所以原方程的通解是.4．求下列微分方程满足初值条件的解：（1），；（2），．解：（1）将方程改写为标准线性方程，其通解为.由初值条件，有，即，所以方程满足初值条件的特解是.（2）相应齐次方程为，特征方程为，特征根是，相应齐次方程的通解为.下面用求非齐次方程的特解：对方程，这里多项式最高次数、是单重特征根，为此设，代入到方程之中，有，比较系数得，于是方程的一个特解为.所以原方程的通解是．，由初值条件，有得，所以方程满足初值条件的特解是．5．已知函数满足，求．解：当时，，即，得，当时，对积分作变量代换，则，于是，该式两边同时对求导，有，即，这是一阶线性微分方程，通解为，综上，所求函数为．6．对于，过曲线上点处的切线在轴上的截距等于，求函数．解：用表示切线上点的坐标，则切线方程为，令，得切线在轴上的截距，根据题意有，即，两边同时对求导，得方程，改写为，积分的，即，再积分得，这就是所求函数．（注：方程一般用变量代换求解）7．设函数在区间内连续，由（）及轴围成平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积，求函数所满足的微分方程，并求该微分方程满足初始条件的特解．解：一方面根据旋转体体积公式，另一方面，得，两边同时对求导，有，用取代，并由，得微分方程．令，则，于是方程化为，分离变量有，积分得，即，所以原方程通解是．由初始条件，有，得，所以满足初始条件的特解是．8．设函数有二阶导数，且，，过曲线上任意一点作该曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形的面积记为，并且恒为1，求此曲线方程．解：如图，用表示切线上点的坐标，则切线方程为，令，得点的横坐标，于是，而，根据恒为1，有，两边同时对求导，有，即，用到代入到中，并注意，得．对方程，令，则，方程化为，分离变量有，积分得，即，由此初始条件、，得，于是，分离变量有，积分得，所以，再由此初始条件，得，所以所求曲线方程为．9．某容器内盛有（L）含盐（kg）的浓盐水，若以（L/min）的均匀速度向容器内注入净水，同时以（L/min）的均匀速度放出混合均匀的溶液，问开始1h后，容器中还有多少盐？解：设时刻（从注入净水开始起）时容器内含盐为，这时盐水的浓度为，从时刻到时刻容器内含盐改变了（放出了），则，初始条件．分离变量有，积分得，即通解是，由初始条件，得，所以时刻时容器中含有盐为．一小时后容器中含盐为kg．习题13—1（A）1.求下列函数的一阶差分和二阶差分：（1）；（2）；（3）；（4）设阶乘函数，.解：（1），.（2），.（3），.（4），.2.判断下列差分方程的阶数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：（1）一阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）二阶；（5）二阶；（6）三阶；（7）四阶；（8）二阶.3.已知差分方程，（1）证明函数（，是任意常数）是差分方程的通解；（2）当初始条件为，时，求差分方程的特解.解：（1）这是一个二阶差分方程，将函数代入差分方程的左边，整理得左边右边，又因为，是两个相互独立的任意常数，所以函数是差分方程的通解.（2）由初始条件，，有解得，，因此所求的特解为.4.如果，，，,，……，根据以上数据的规律，写出和表示的差分方程.解：根据数列的取值，可知后一项比前一项的二倍还多一，所以有，这是一个一阶差分方程，也可以化为.5.某个地区，若每年现有的汽车中有需报废，同时每年新购辆汽车，试建立年后汽车总数的差分方程.解：第年的汽车总量与前一年汽车的报废数量和新购置数量相关，根据题意，它们之间的关系式为，这是一个一阶线性差分方程.习题13—1（B）1.求，，.解：设，那么，，2.一辆油耗指标是每加仑英里，建立一个以为英里，为汽车油箱内汽油加仑数的差分方程.解：由题意，一英里耗油的加仑数为，则差分方程为.3.某植物第一天长高cm，之后每天长的高度是前一天的，建立一个描述天后植物高度的差分方程.解：，或，.4.某种树年后可成才，若表示第年植入的树数，表示第年时已成才的树数，试写出与，有关的差分方程.如果表示每年要砍伐的树数，差分方程应如何修正？解：考虑时的情形，差分方程为；如果每年砍伐的树数为，则此时的差分方程为.

习题13—2（A）1.求下列差分方程的通解：（1）；（2）；（3）.解：（1）特征方程为，解得特征根，故所求的通解为（为任意常数）.（2）原方程可改写为，特征方程为，解的特征根，故所求的通解为（为任意常数）.（3）原方程可改写为，特征方程为，解的特征根，故所求的通解为（为任意常数）.2.求下列差分方程在给定初始条件下的特解：（1），；（2），；（3），.解：（1）特征方程为，解得特征根，故所求的通解为（为任意常数）.由，得，故原方程满足初始条件的特解为.（2）原方程可改写为，特征方程为，解得特征根，故所求的通解为（为任意常数）.由，得，故原方程满足初始条件的特解为.（3）原方程可改写为，特征方程为，解得特征根，故所求的通解为（为任意常数）.由，得，故原方程满足初始条件的特解为.3.求下列差分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.解：（1）原方程可化为，特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.（2）特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.令，代入原方程得，这是一阶非齐次线性差分方程，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.综上可得，原方程的通解为.（3）原方程可化为，特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.令，代入原方程得，这是一阶非齐次线性差分方程，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.综上可得，原方程的通解为.（4）特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于是不是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.（5）特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于不是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得，，.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.（6）特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于是不是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得，，.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.（7）原方程可化为，特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于是不是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得，.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.4.求下列差分方程在给定初始条件下的特解：（1），；（2），；（3），；（4），.解：（1）特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得，.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.由初始条件，得，因此所求的满足初始条件的特解为.（2）原方程可化为，特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于不是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.由初始条件，得，因此所求的满足初始条件的特解为.（3）原方程可化为，特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.令，代入原方程得，这是一阶非齐次线性差分方程，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.综上可得，原方程的通解为.由初始条件，得，因此所求的满足初始条件的特解为.（4）特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.令，代入原方程得，这是一阶非齐次线性差分方程，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.综上可得，原方程的通解为.由初始条件，得，因此所求的满足初始条件的特解为.习题13—2（B）1.求下列差分方程的通解或特解：（1）；（2）（）；（3）；（4），.解：（1）由于，所以如果，则有.（2）特征方程为，特征根为，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为.令，代入原方程得，这是一阶非齐次线性差分方程.（i）当时，是特征方程的根，且原方程的右端函数为，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.此时，原方程的通解为.（ii）当时，不是特征方程的根，且方程的右端函数为，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.此时，原方程的通解为.（3）原方程对应的齐次差分方程的特征方程为，特征根为，所以对应的其次差分方程的通解为.又由于原方程的右端函数为，可令特解为，代入原方程，并比较两端同类项的系数，得，，所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.（4）原方程对应的齐次差分方程的特征方程为，特征根为，所以对应的其次差分方程的通解为.又由于原方程的右端函数为，可令特解为，代入原方程，并比较两端同类项的系数，得，，所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.根据初始条件，可得，所以原方程满足初始条件的特解为.2.设，为非零常数且，验证：通过变换，可将非齐次差分方程化为齐次差分方程，并求解.解：由得，所以方程可化为，即，这是一个齐次差分方程，其通解为.所以方程的通解为.3.已知差分方程，其中，，均为常数，为给定的初始条件．（1）证明：，；（2）证明：在变换下，原方程可化为关于的线性差分方程，并求出的通解；（3）求差分方程在初始条件时的特解及．解：（1）因为，，，，所以．由数学归纳法，假设，那么有，因此对应任意的，可知．（2）作变换，即，代入原方程，得．这是一个一阶非齐次线性差分方程，下面分情况讨论它的解．（i）当时，方程变为，是此方程的特征根，可得通解，所以．结合初始条件，得，则有．（ii）当时，不是方程的特征根，求得通解为，所以．结合初始条件，得，则有．综合（i）和（ii），在初始条件下，原方程的解为（3）由上面的结论可知，方程在初始条件时的解为，所以．

习题13—3（A）1.求下列差分方程的通解或特解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），，；（6），，.解：（1）原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程的通解为（，为任意常数）.（2）原方程的特征方程为，解得两个相等的实特征根为，所以原方程的通解为（，为任意常数）.（3）原方程可化为的特征方程为，解得两个共轭的复特征根为，经计算得，，所以原方程的通解为（，为任意常数）.（4）原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程的通解为（，为任意常数）.（5）原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程的通解为（，为任意常数）.由初始条件，，可得，，于是原方程满足初始条件的特解为.（6）原方程的特征方程为，解得两个共轭的复特征根为，经计算得，，所以原方程的通解为（，为任意常数）.由初始条件，，可得，，于是原方程满足初始条件的特解为.2.求下列差分方程的通解或特解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），，；（6），，.解：（1）原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.再求原方程的一个特解.由于不是特征根，可令，代入原方程，并比较同次幂的系数，得，所以.于是原方程的通解为.（2）原方程的特征方程为，解得两个相等的实特征根为，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.再求原方程的一个特解.由于不是特征根，可令，代入原方程，并比较同次幂的系数，得，所以.于是原方程的通解为.（3）原方程的特征方程为，解得两个共轭的复特征根为，经计算得，，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.再求原方程的一个特解.由于不是特征根，可令，代入原方程，并比较同次幂的系数，得，，所以.于是原方程的通解为.（4）；原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.再求原方程的一个特解.令，代入原方程得，这是一阶非齐次线性差分方程，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.综上，原方程的通解为.（5），，；原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.再求原方程的一个特解.由于不是特征根，可令，代入原方程，并比较同次幂的系数，得，所以.于是原方程的通解为.再由初始条件，，可得，，所以原方程满足初始条件的特解为.（6）原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.再求原方程的一个特解.由于是单重的特征根，可令，代入原方程，并比较同次幂的系数，得，，，所以.于是原方程的通解为.再由初始条件，，可得，，所以原方程满足初始条件的特解为.习题13—3（B）1.求下列差分方程的通解：（1）；（2）.解：（1）这是一个二阶非齐次线性差分方程，其对应的齐次线性差分方程为，特征方程为，解的特征根，，所以齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.由于原方程的右端函数可写作，其中，．对于方程，可求得特解；对于方程，可求得特解．由线性差分方程的叠加原理，可知原方程的一个特解，于是得到原方程的通解为．（2）这是一个二阶非齐次线性差分方程，其对应的齐次线性差分方程为，特征方程为，解的特征根，所以齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.由于原方程的右端函数可写作，其中，．对于方程，可求得特解；对于方程，可求得特解．由线性差分方程的叠加原理，可知原方程的一个特解，于是得到原方程的通解为．

习题13—4（A）1.某人在岁时将万元钱存入某基金会，约定固定月利率为，每月从中提取元作为日常生活费，试通过建立差分方程计算（1）他每月末在基金会里还有多少钱？（2）在他多少岁时将存入基金会里的钱用完？（3）如果他想用到岁，那么在岁时应存入多少钱？解：设个月后存在基金会的钱还有元，每月支取元，约定固定月利率为，则有，这是一个一阶非齐次线性差分方程，通解为.当时，，所以通解也可表示为.（1）当，，初始条件为时，求解上述差分方程，得，从而.由此可计算出第个月末的余额.（2）用完存入基金会里的钱时，也就是对应于时，即，解得，即到岁零个月时用完基金里的钱.（3）如果他想用到岁，即时，.设在岁时应存入元钱，则有，可得（元）.2.假设一水库中开始有万条鱼，由于繁殖导致鱼的年增长率为，而每年的捕鱼量为万条.（1）列出每年末