新初三上数学期末基础复习一元二次方程

/初三上数学期末基础复习一元二次方程【中考要求】一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项的系数；了解一元二次方程根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单的变形；会运用一元二次方程解决简单的实际问题第1课时一元二次方程根的判别式及韦达定理【知识点归纳】一.根的判别式1.让学生了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=（2）根的判别式：对于一元二次方程（）当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；（当方程有实数根；）②当方程无实数根；2．常见的问题类型（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况①先计算出判别式（关键步骤）；②用配方法将判别式恒等变形；③判断判别式的符号；④总结出结论.3.一元二次方程的根及系数的关系（韦达定理）(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么，(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1):x2-(x1+x2)x+x1x2=0．【课堂前测】1.若方程的一个根是a，则的值为（）.CA.2 B.0 C.2D.2．不解方程，判定下列各方程根的情况(1)2x2-6x-5=0；（有两个不等实根）(2)2x2-12x+18=0；（有两个相等实根）(3)3x2-5x+4=0；（无实根）(4)ax2+bx=0(a≠0)（当时，有两个相等实根；当时，有两个不等实根）（5）（当时，无实根；当时，有两个相等实根；当时，有两个不等实根）3．关于的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于（A）A．－1 B．0C．1 D．1或－14.(2010年兰州市)已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是．【答案】且m≠15.已知a、b是不相等的实数，且，，求的值.(1)6．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；（答：Δ=36-4k,k＜9，k=9，k>9）7．已知：关于x的方程有两个不相等的实数根（其中k为实数）.（1）求k的取值范围；(答：k<1)（2）若k为非负整数，求此时方程的根.(答：-3,1)8．若关于x的方程有实数根．（1）求a的取值范围；()（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．(，)【典型例题】例1：（1）已知：关于x的方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围．解：且。（2）已知：关于x的方程有实根，求k的取值范围．解：∵或∴例2：已知x2－x－1=0，则－x3＋2x2＋2002的值为（）．CA．2001 B．2002 C．2003 D．2004解：∵x2－x－1=0，∴－x3＋2x2＋2002=(x2-x)+x2+2002=x2-x=2002=1+2002=2003例3．（2010四川南充）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）当k是负整数值，求的值并求出方程的根．解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴＞0．

即，解得，．

（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．

如果k＝－1，原方程为．解得，，．

如果k＝－2，原方程为，解得，，．例4．（2010山东淄博）已知关于x的方程．（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．解:（1）由题意得△＝≥0化简得≥0，解得k≤5．（2）将1代入方程，整理得，解得，.（3）设方程的两个根为，，根据题意得．又由一元二次方程根及系数的关系得，那么，所以，当k＝2时m取得最小值－5例5.（2010重庆）在等腰△ABC中，三边分别为、、，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，求△ABC的周长．解：∵△解得：或（不合题意，舍去）∴（1）当时，，不合题意（2）当时，例6.已知关于的方程有实根.（1）求的值;（2）若关于的方程的所有根均为整数，求整数的值.解：（1）∵关于的方程为为一元二次方程，且有实根.故满足：整理得∴（2）由（1）可知,故方程可化为.①当m=0时，原方程为，根为，符合题意. ②当m≠0时，为关于的一元二次方程，.此时，方程的两根为.∵两根均为整数,∴m=. 综上所述，m的值为，0或1.例7：已知是三角形的三条边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．解：∵∴∴∴三角形是等腰非等边三角形。【课后作业】1.（2011湖北荆州，9，3分）关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是【答案】BA．1B．－1C．1或－1D．22.（2011福建福州，7，4分）一元二次方程根的情况是（）【答案】AA.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3.（2011台湾台北，20）若一元二次方程式的两根为0、2，则之值为何？【答案】BA．2B．5C．7D．84．（2011重庆江津，9，4分）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是()【答案】CA.a<2B,a>2C.a<2且a≠1D.a<－2·5．（1）下列方程中，无论b取什么实数，总有两个不相等实数根的是（B）A．B．C．D．（2）若关于x的二次方程有两个相等实根，则以正数a、b、c为边长的三角形是（）CA．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．任意三角形6．设是一元二次方程的一个实数根，则及的大小关系是（）．BA．B．C．D．不能确定7.（2011四川宜宾,12,3分）已知一元二次方程的两根为a、b，则的值是____________．【答案】8.（2011上海，9，4分）如果关于x的方程（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．【答案】19.（2010年广东省广州市）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。【答案】解：∵有两个相等的实数根，∴⊿＝，即．∵∵，∴10．已知关于x的一元二次方程（k+4）x2+3x+k2+3k-4=0的一个根为0，求k的值．（1）*11.等腰△ABC中，，若AB、AC的长是关于x的方程的根，求m的值．（16或25）12．是一个完全平方式，求a的值．（）13．（1）如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，那么k的最小整数值是．（答：2）（2）已知正整数，且关于的方程有整数解，解这个方程．（答：无整数解）（3）已知关于x的方程有实数根，求k的取值范围．(答：)14．已知关于x的方程．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．答：10。15.已知关于x的方程，其中a、b为实数.（1）若此方程有一个根为2a（a＜0），判断a及（2）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围.(b)第2课时一元二次方程根的应用【课堂前测】1．（2011四川凉山州，6，4分）某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（）【答案】CA．B．C．D．2.（2011江苏扬州，14,3分）某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是【答案】25%3.（2011江苏宿迁,16,3分）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是m（可利用的围墙长度超过6m）．【答案】14.（2011四川宜宾,15,3分）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是_______________．【答案】20%5.（2011上海，14，4分）某小区2011年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．【答案】20%6.（2011安徽芜湖，20，8分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（）cm，正六边形的边长为（）cm.求这两段铁丝的总长.解:由已知得，正五边形周长为5（）cm，正六边形周长为6（）cm.∵正五边形和正六边形的周长相等，∴.整理得,配方得，解得(舍去).故正五边形的周长为(cm).又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.答：这两段铁丝的总长为420cm.【典型例题】例1.（2011山东日照，20，8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，整理，得：x2+3x-1.75=0，解之，得：x=，∴x1=0.5x2=-0.35（舍去），答：每年市政府投资的增长率为50%；（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷（万平方米）．例2.(2009年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1） 若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.

解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，则

64（1+x）

2=100，

解得：x

1=25%，x

2=-2.25（舍去），

∴100（1+25%）=125，

答：该小区到2010年底家庭轿车将达到125辆；

（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，

则，

，

解得：，

由题意得：a=20或21，则b=50或45，

∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个，

方案二：建室内车位21个，露天车位45个．例3.（2009年新疆乌鲁木齐市）有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？（2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用6×（800-20×6）=4080（元），在乙公司购买需要用75%×800×6=3600（元）＜4080（元），∴应去乙公司购买；

（2）设该单位买x台，若在甲公司购买则需要花费x（800-20x）元；若在乙公司购买则需要花费75%×800x=600x元；①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器，则有x（800-20x）=7500，解之得=15，=25．当=15时，每台单价为800-20×15=500＞440，符合题意；当=25时，每台单价为800-20×25=300＜440，不符合题意，舍去．②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器，则有600x=7500，解之得x=12.5，不符合题意，舍去．答：该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台．例4.某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后发现：若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件；若每月销售件数（元）及价格（元/件）满足关系式：。确定及的函数关系式，并指出的取值范围。为了使每月获得利润为1800元，问商品应定为每件多少元？为了获取最大的利润，商品应定为每件多少元？解：（1），∴，∴（16<x<32）（2）∵∴（3）∴当时，利润最大。【课后作业】1.某汽车销售公司2007年盈利1500万元，2009年盈利2160万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（）．AA．B． C．D．2.将一条长20厘米的铁丝剪成两段，并以每段铁丝的长度为周长做一个正方形，要使这两个正方形的面积之和等于17厘米，那么这铁丝剪成两段后的长度是16厘米和4厘米解：设一个正方形边长x，另一个（20-4x）/4=5-x，x²+（5-x）²=17，x=1或4所以剪断后，两端分别长4cm和16cm3.某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）及每件的销售价（元）满足关系：.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）.AA．B．C．D．4.（2011浙江衢州）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？解：平均单株盈利株数=每盆盈利，平均单株盈利=每盆增加的株数，每盆的株数=3+每盆增加的株数设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，平均单株盈利为元，由题意，得.化简，整理，的.解得答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株.解法2（列表法）平均植入株数平均单株盈利（元）每盆盈利（元）33942.510521061.59717………答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株。解法3（图像法）如图，纵轴表示平均单株盈利，横坐标表示株数，则相应长方形面积表示每一盆盈利.从图像可知，每盆植入4株或5株时，相应长方形面积都是10.答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株。解法3(函数法)解：设每盆花苗增加株时，每盆盈利10元，根据题意，得解这个方程，得经验证，是所列方程的解.答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株。5.（2011浙江义乌，19，6分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元.据此规律，请回答：销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？解：由题意得：（50－x）（30＋2x）=2100化简得：x2－35x+300=0解得：x1=15，x2=20∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去.∴x=20答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.6.（2011四川广安，27，9分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。（1）求平均每次下调的百分率。（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？解：（1）设平均每次下调的百分率x，则6000（1－x）2=4860解得：x1=0.1x2=1.9（舍去）∴平均每次下调的百分率10%（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720元，方案②可优惠：100×80=8000元∴方案①更优惠故舍去，∴x＝0.25＝25%.10×（1＋25%）＝12.5答：2011年的年产量为12.5万辆. 6分7.（2011山东东营，22，10分）(本题满分10分)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆。求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年起，该市交通部门拟控制汽车起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得解得（不合题意，