中学高三月考（五）理科数学试卷

中学高三月考（五）理科数学试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共11题，共55分）

1、锐角氏曲中，&瓦C为角43,c所对的边，点G为的重心，若ZG_L3G,则cosC的取值

范围为（）

【考点】

【答案】B

【解析】如图，连接CG,延长交AB于D,由于G为重心，故D为中点,

—AB=­c

•.■AG±BG,c=1,，DG=22,由重心的性质得，CD=3DG,即CD=22,由余弦定理得,

AC2=AD2+CD2-2AD•CD«cosZADC,BC2=BD2+CD2-2BD•CD・cosNBDC.

ZADC+ZBDC=n,AD=BD,AC2+BC2=a2+b2=2AD2+2CD2=5c3,则2ab

因为为锐角三角形，则应该满足打2,标+1＞臣将〃2+52=51代入可得

则7516沾由对勾函数性质可得cosC的取值范围为

故选B

2、已知耳，国是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且"*^三，设椭圆和双曲线

的离心率分别为■,则■的关系为（）

AC/+:=4D小4=4

【考点】

【答案】c

^_+^_=192L__Z.=I

【解析】设椭圆与双曲线的方程分别为吊用WM满足°1'心'=%'+鸟'=廿

—b?—/.by=地,二/，—1=3（c^-a｝）2,2-AJL

由焦点三角形的面积公式得3,’17、J所以%+3%=4c

故选C

M

3、设函数/（x）=1+V4-2x的最大值为.，最小值为m,则用等于（）

A,在B.A/2C.3D,2

【考点】

【答案】A

_______________IQ£

［解析］/(x)=&W+^"^五二6"+万,令83'=JE，®110二岳MI

。期所

EP哈而吁冬收嚣咒

g(8)=cos6+y/2^nff=V3sin(^+p)

6,4

以

ff+^ei^+tp所以当e=o时，弁（'）有最小值为廨=1,当“+0一2时,

所以

_竺_q

g（印有最大值.=在所以

故选A

4、执行如图所示的程序框图，则输出$的值为（）

6I.

A.2B,2C,0D,2

【考点】

【答案】A

C-I-2^^2017〃

S=smO^+sin-hsin----h+sin

【解析】由程序框图可知33~T

sinOff+sin--1-sin-----1-...+sin—=0

因为333即一个周期即6个值相加为o,因为

S=xinO+sm—=---

2018=6x336+2,所以32

故选A

5、设等比数列｛4｝的前程项和为国，公比为口，且鸟，s»,耳》成等差数列，则时等于（）

A.-4B.-2C.2D.4

【考点】

【答案】A

..（l句二伞产（1-『）_1

【解析】依题意可知2s9=S6+S3,1-g1-q1-q整理得2q6-q3-1=0,解q3=1或2,

当q=1时，2S9=S6+S3,不成立故排除.所以&/等于-4

故选A

y=sm2x+—y=cos2x—彳

6、为了得到函数<3）的图象，只需把函数I3）的图象（）

乃

A.向左平移万个单位长度

n

B.向右平移5个单位长度

C.向左平移彳个单位长度

n

D.向右平移4个单位长度

【考点】

【答案】C

司2-衿卜而回升“26舅+竽

【解析】所以需把函数

>>=cos2x-——y=sm2x+

I3)的图象向左平移4个单位长度得到函数IT)

故选C

7、如图，网格纸上的小正方形边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()

864

A.8+4^B.3c.8+26D.3

【考点】

【答案】A

【解析】由三视图可知此几何体是三棱锥尸—45C,且底面&四C为等腰直角三角形，腰长AB=BC=2血,

斜边AC=4,面PAC垂直于面4BC,且M/C为等腰三角形，取AC的中点D,则ED=2,则FD1面ABC,

取BC的中点E则，DEI3c且DE=依，连接所则卫£13C,在三角形中，

PE=+DH=向+(可=8

心」x4x2+k(2⑸+L2逝xv'6x2=8+46

所以*22、(2

故选A

8、中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，

每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收

贯数为（）

A.35B.65C.70D.60

【考点】

【答案】C

12x11

【解析】设每个月的收入为等差数列{an}.公差为d.则a3=25,S12=510.；.a1+2d=25,12a1+2d=510,

解得ai=i5,d=5,二%=4+1皿=15+11*5=70

故选C

9、已知平面向量a力满足M"+6）=3,且同='同=2,则卜等于（）

A.抬V百C.万D.2应

【考点】

【答案】A

【解析】因为I।।I1/所以

|日+守=^+苏苫+左=1-2+4=3所以5+同=百

故选A

2

10、已知集合力={Ml°g3（2%-l）K0},B=[x\y=j3x-2x]t全集U=R,则A门（。。口）等于

（）

A,（训B.（叼C.（亨耳D.（司

【考点】

【答案】D

12

【解析】由题意得,可得集合'=3彳<X<1],B=[x\x<0或X>3）

所以'A（，网=（2-3）,故选D。

11、若i为虚数单位，复数z满足z（l+i）=RT+i,则z的虚部为（）

应-1-^4-1.I-应

A.2B.&-lc.2D.2

【考点】

【答案】D

_&_+f_（6+i）（l-i）L+&J-应.1-^2

Z=-=»J

【解析】1+i222故z的虚部为2

故选D

二、填空题（共4题，共20分）

也

12、正四棱锥的体积为3,则该正四棱锥的内切球体积的最大值为.

【考点】

【答案】方

【解析】如图在正四棱锥V-ABCD中，设M,N分别是线段BC和AD的中点，连接AC,BD交于点0,连接V0,

VM,VN,MN,则该正四棱锥内切球的大圆是的内切圆，

=4夕d=冬阳='火=初=atan/A=

设I纭故

^（2a）Jh=4«2A=①4aJtan2^=^2

--4*43»„v2^ftan'。"2后/v2?r„v2

P=_环R=_Xicztsn8=------------=-----tan2zj1—tsn^}—.....tan^=---

333tan%6''24当2时取等号，故该

正四棱锥的内切球体积的最大值为24

故答案为24

13、已知尸是抛物线夕=4x的焦点，点在该抛物线上且位于x轴的两侧，面丽=-4（其中。为

坐标原点），则A。。面积的最小值是

【考点】

【答案】4网

【解析】设直线AB的方程为：x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),

x=ty+m代入y2=4x,可得y2-4ty-4m=0,根据韦达定理有y1*y2=-4m,OA,OB=-4

曹卒仍=-4二-4/M+4=0二掰=2

Z.x1*x2+y1*y2=-4,即44，所以直线AB恒过(2°)且y1

当乂=20时，“BO面积的最小值是4巧

故答案为4正

14、已知(4一百…)

展开式中所有项的系数的和为243,则该展开式中含事项的系数为

【考点】

【答案】20

(4-IT

【解析】令x=l则I展开式中所有项的系数的和为3*=243二暮=5,则1的

…页为…产局"飞疗则当…时,

与=44x^=20x3故该展开式

1

中含X1项的系数为20

故答案为20

x-.y+KO,

{2x+>-42i0,贝!jz=x+2j

15、已知实数x,y满足X2Q的最小值为

【考点】

【答案】5

x->+l<0

{2x+y-420

【解析】作出不等式组x20对应的平面区域如图：

y

1z1z

设z=x+2y,则y=-5x+5平移此直线，由图象可知当直线y=-5x+5经过A时，直线在y轴的截距最

{x-＞+l=O

小，得到z最小，由2x+y-4=Q得到|A（1,2）,

所以z=x+2y的最小值为5

故答案为5

三、解答题（共4题，共20分）

16、已知函数/（x）=x-01nx-1（娓为常数）与％轴有唯一的公关点4.

（I）求函数/（“）的单调区间；

（II）曲线）=/（"）在点d处的切线斜率为M—这一3,若存在不相等的正实数玉巧，满足

|=|/（^）|,证明：玉巧＜1.

【考点】

【答案】（I）当a=l时，函数/㈤的递增区间为递减区间为（°」）；

当a«0时，函数/（x）的递增区间为x0）,无递减区间.（II）证明见解析.

【解析】试题分析：（I）因为函数/（'）=工-疝“-1的定义域为（°，+8）,且=故由题意可知

曲线〃x）与％轴存在公共点4（L。），又/a）=：-,对a进行讨论分心0,°＜呻«=L耳1四

种情况进行可得解（II）容易知道函数〃x）在“（LO）处的切线斜率为/'⑴=l-a=i-〃T,得

«=±2,由（I）可知”一2,且函数〃x）在区间（0,珂上递增.不妨设x1V巧，因为|/（刈=|/（4）|,

则/则有-（5+2叫T）=f+21nxi-1整理得f+vZ-Zln&Xj）,利用基本

不等式构建关于巧巧的不等关系即可证得.

试题解析：

（I）因为函数/（x）=x-01n的定义域为，且

\x-a

故由题意可知曲线/（X）与X轴存在公共点"（L°）,又‘1”一丁，则有

当aVO时，/'（x）＞。，函数〃x）在定义域上递增，满足条件；

当a＞0时，函数/（X）在（。,々）上递减，在（小长°）上递增，

.11

①若0＜。＜1时，则〃同"⑴=°,取，=。8则叫=一£〃/”%-如。-1＞0

故由零点存在定理可知，函数/（X）在（0」）上还有一个零点，因此不符合题意；

②若a=l,则函数/（x）的极小值为符合题意；

③若31,则由函数/（X）的单调性，有/㈤＜/⑴=°,取/=d+1〉。，有

2

/（x0）=a[a-ln（o+l）]

'F'L'/」.下面研允函数

g_0】

00

g（a）=a-M〃+l）,a＞l,因为❷⑷-4+1〉。恒成立,故函数式。）在（L+）上递增，故

gg）＞g（l）=l-ln2＞。，故/&）=砥（同＞0成立，函数/（x）在区间上存在零点

不符合题意.

综上所述：

当媒=1时，函数〃x）的递增区间为（L*0）,递减区间为（°」）；

当a《0时，函数〃x）的递增区间为（。,用），无递减区间.

（II）容易知道函数/㈤在“（L°）处的切线斜率为/’（ihlFni-aT,得以=±2,

由（I）可知。=一2,且函数/（x）在区间（。,+0。）上递增.

不妨设玉＜~,因为17（玉旧/（与1,则，（々）＜°＜/（巧），

则有-G1+2啊-1）=七+25-1,整理得\+5=2_21!1（5f），

由基本不等式得巧+再>2&故Z-Zlnlwg,AZqMW,整理得[巧巧+ln(巧巧)-1<0,即

/(^)</(1)

由函数〃x)在(0,+00)上单调递增，所以日^VI,即/巧<1.

逑年阁

17、已知中心在原点0,焦点在X轴上，离心率为3的椭圆过点I3).

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆与J轴的非负半轴交于点3,过点3作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于尸，。两点，

连接尸Q,求心尸Q的面积的最大值.

【考点】

m上2_127

•—=1—

【答案】(1)9(2)8

c2应

(。3

马+4=依>8>0)餐+4=1

【解析】试题分析：(I)由题意可设椭圆方程为4方，则，9必可求得以，占

(II)由题意可知，直线肿的斜率存在且不为。.故可设直线肿的方程为>=衣+1,由对称性，不妨设

>=fc+l

上>由炉+）消去尸得（户）/加

0,19]―9=01+9+1=0,求弦长|BP|,

\BQ\.S^^\BP\\BQ\=[k+M-p-

将式子中的尢>0换成k,得I配1设k

s二曲

则EA2.皿9P+64利用基本不等式即得解.

试题解析：

c2应

{厂亍

X2V227/=3

———=>b>G)—z-Hz-=1{,,

(I)由题意可设椭圆方程为〃b2,贝I]a29必，故8=1,

+炉=1

所以，椭圆方程为9

（II）由题意可知，直线3P的斜率存在且不为o.

故可设直线肿的方程为丁=衣+1,由对称性，不妨设无＞0,

＞=*x+l

由1/+%】―9=0,消去J得（1+9户）/+1加=0,

网r--颐|=叫+'

则L1+9炉，将式子中的上＞0换成k,得：L£3+9

5小即畋唱**

162,16227

5=畀=凝通而=了％=竺fJ

故59P+64f,取等条件为，即3,

-18L4士近27

即上3,解得3时，》的?取得最大值8.

18、根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过3s微克/

立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某市环保局随机抽取了一居民区2016年20

天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如图表:

蛆印

(I)将这20天的测量结果按表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.

(i)求图中爆的值；

(H)在频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考

虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？井说明理由.

(II)将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合

环境空气质量标准的天数为X,求，的分布列和数学期望.

【考点】

【答案】解析：(I)(i)0.004.(ii)42.5(微克/立方米)，该居民区的环境需要改进.

(IDX的分布列为

£(Z)=2.7

【解析】试题分析：(1)(i)估计频率和为1求出a的值；(ii)利用频率分布直方图求出年平均浓度,

与35比较即可得出结论；(2)由题意得PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9,X

的可能取值为0,1,2,3；计算P(X=k)«0.13-k«0.9k,写出分布列.

试题解析：

(I)(i)。的值为0.004.

(ii)2016年该居民区PM2.5年平均浓度为

12.5x0.15+37.5x0.6+62.5x0.15+87.5xO.1=42.5(微克/立方米).

因为42.5>35,所以2016年该居民区尸M2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环

境需要改进.

(H