《材料力学》附录I截面的几何性质习题解

...wd......wd......wd...附录I截面的几何性质习题解[习题I-1]试求图示各截面的阴影线面积对轴的静积。〔a〕解：〔b〕解：〔c〕解：〔d〕解：[习题I-2]试积分方法求图示半圆形截面对轴的静矩，并确定其形心的坐标。解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如以以下列图。；微分面积的纵坐标：；微分面积对轴的静矩为：半圆对轴的静矩为：因为，所以[习题I-3]试确定图示各图形的形心位置。〔a〕解：习题I-3(a):求门形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYc离顶边上4002080001601280000左15020300075225000右15020300075225000140001730000123.646.4Ai=Li*BiYc=∑AiYci/∑Ai(b)解：习题I-3(b):求L形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYcXciAiXciXc下1601016005800080128000左90109005549500545002500575002313250053Ai=Li*BiYc=∑AiYci/∑AiXc=∑AiXci/∑Ai(c)解：习题I-3(c):求槽形与L形组合截面的形心位置型钢号Ai(cm2)Yci(cm)AiYci(cm3)Yc(cm)Xci(cm)AiXci(cm3)Xc(cm)槽钢2032.83710328.37-1.95-64.03等边角钢80*1015.1262.3535.5462.3535.54647.963363.927.6-28.49-0.6Yc=∑AiYci/∑AiXc=∑AiXci/∑Ai[习题I-4]试求图示四分之一圆形截面对于轴和轴的惯性矩、和惯性积。解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如以以下列图。；微分面积的纵坐标：；微分面积对轴的惯性矩为：四分之一圆对轴的惯性矩为：由圆的对称性可知，四分之一圆对轴的惯性矩为：微分面积对轴、轴的惯性积为：[习题I-5]图示直径为的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为的弓形，试用积分法求余下阴影局部对其对称轴的惯性矩。解：圆的方程为：如图，作两条平行轴的、相距为线段，截圆构成微分面积，微分面积为：切去之后，剩下局部对轴的惯性矩为：[习题I-6]试求图示正方形对其对角线的惯性矩。解：正方形四条边的直线方程如以以下列图〔设水平坐标轴为，竖坐标轴为〕。=故正方形对其的对角线的惯性矩为：。[习题I-7]试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴的惯性矩。(a)解：(b)[习题I-8]试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。解：三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩所以再次应用平行轴定理，得[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1m。解：半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩[习题I-10]试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是上面一个圆的圆心到轴的距离是。利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下：[习题I-11]试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。解：〔a〕22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩〔b〕等边角钢的截面积是，其形心距外边缘的距离是28.4mm，求得组合截面对轴的惯性矩如下：习题I-11〔b〕图图形bhIxcaAIx中间矩形1060018000000006000180000000上矩形25010208333052500232583333下矩形25010208333052500232583333左上L形1795100271.61926143869495右上L形1795100271.61926143869495左下L形1795100271.61926143869495右下L形1795100271.619261438694951220644645[习题I-12]试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。解：形心轴位置及几何尺寸如以以下列图。惯性矩计算如下：[习题I-12]试求图示各截面对其形心轴的惯性矩。习题I-13(a)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上矩形100010010000065065000000225833333335145833333下矩形3006001800003005400000012554000000008212500000全图28000011900000042513358333333习题I-13(b)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上图(3)2515037502751031250148703125089601489中图(2)20015030000125375000025625000056328044以以下列图(1)10050500025125000102104166752667577全图387504906250127198597110习题I-13(c)图形bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm4)矩形2140115024610005751415075000271222708333159333213698275半圆790-980333335-32869266742750202791399198820222116全图14806671086382333734134393476159半圆：半圆：习题I-13(d)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxciIx(mm4)从下往上2201635208281603747509349243861318014252023579603594116032482128016674107843673957728040824269940824269922014308071121898803295030733343258744594005722.52893613341270344643677352390991273413822023302914[习题I-14]在直径圆截面中，开了一个的矩形孔，如以以下列图。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩和。解：先求形心主轴的位置截面图形对形心轴的静矩〔面积矩〕等于零：〔y轴向下为正〕〔组合图形对过圆心轴x1的惯性矩〕〔组合图形对形心轴x的惯性矩〕习题I-14b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)IxcaiIx(a4)矩形42-8.001-82.6671.189314.0圆450.2700201.062-0.1893202.942.27-8-0.1893188.9[习题I-15]正方形截面中开了一个直径为的半圆形孔，如以以下列图。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。解：习题I-15图形bihirAiYciAiYciYcIxciaiIx正方形2002004000010040000001333333332133546801半圆50-392779-309365685977242860346全图360733690635102130686455形心位置：X〔0，102〕。对水平形心轴的惯性矩：。对竖直形心轴的惯性矩：习题I-15图形arIy〔mm4〕正方形200133333333.3半圆502454367全图130878966[习题I-16]图示由两个号槽钢组成的组合截面，假设欲使截面对两对称轴的惯性矩和相等，则两槽钢的间距应为多少解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是，；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离是。根据惯性矩定义和平行轴定理，组合截面对，轴的惯性矩分别是；假设即等式两边同除以2，然后代入数据，得于是所以，两槽钢相距[习题I-17]试求图示截面的惯性积解：设矩形的宽为b高为h，形心主惯性轴为，则由平行移轴公式得：故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为：习题I-17图形bhIxy左矩形10100250000下矩形:10010250000重复加的矩形10102500全图上图+以以下列图-重复图=497500[习题I-18]图示截面由两个的等边角钢及缀板〔图中虚线〕组合而成。试求该截面的最大惯性矩和最小惯性矩。解：从图中可知，该截面的形心C位于两缀板共同的形心上。过C点作水平线，向右为轴正向；过C点，垂直于轴的直线为轴向上为正。把坐标绕C点逆时针转后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴。主惯性矩，查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下：，，，角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：〔注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计〕[习题I-19]试求图示正方形截面的惯性积和惯性矩，并作出对比。解：〔为形心主惯性轴〕结论：1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。[习题I-20]确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。〔a〕解：截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。IxIyIxy575146666.5183146666.6-259200000Ix0=704109187575146666.5183146666.6-259200000Iy0=54184146(b)解：以20号槽钢〔图I〕的下边缘为x轴，左边缘为y轴，建设坐标系。8号槽钢编号为图II。则组合截面的形心计算如下：习题I-20(b)长度单位:cm图形AiXciYciAiXciAiYciXcYcI32.81.951064328.3II10.2-1.416-15163.8全图43.149.4492.11.1511.4习题I-20〔b〕图形AiIxci'Iyci'IxciIyciIxciyci'Ixciycitan2a0a0Ix0Iy0I32.8-1.430.8041913.7143.619811650-37.635II10.24.573-2.58101.316.6315.584.60-120.66全图43.122962490-158.290.15474.42308.2237.2[习题21]试用近似法求习题I-4所示截面的，并与该题得出的准确值相对比。已矩该截面的半径。解：圆的方程为：把y轴的半径10等分，即。过等分点，作x轴的平行线。从下往上，每个分块的中点的y坐标与x坐标如下表所示。习题I-21599.87510249691598.8715102224542596.8225106051543593.67351011