江西省抚州市2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

江西省抚州市2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A．60° B．90° C． D．2．两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（

）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合3．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（

）A． B．C．或 D．或4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（

）A． B．C． D．且5．若点在圆：外，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．7．已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列选项正确的是（

）．A．过点且和直线平行的直线方程是B．若直线l的斜率，则直线倾斜角的取值范围是C．若直线与平行，则与的距离为D．圆和圆相交10．方程有两个不等实根，则的取值可以是（

）A． B． C．1 D．11．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点．则下列说法正确的是（

）A．四边形的面积最小值为B．最短时，弦长为C．最短时，弦直线方程为D．直线过定点为三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线的一个法向量是，则它的斜率为．13．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为14．已知直线与直线相交于点，动点在圆：上，且，则的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.(1)当弦AB最长时，求直线l的方程；(2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程.16．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上.(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程.17．已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点.(1)求椭圆的离心率；(2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围.18．已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上．(1)求圆的方程；(2)过点分别作直线，交圆于四点，且，求四边形面积的最大值与最小值．19．已知点是圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足，当点运动时，设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线恒有两个交点、，且（为坐标原点），并求出该圆的方程.

参考答案1．【答案】C【详解】直线的斜率为，设直线倾斜角为，则，，．故选：C．2．【答案】A【详解】不妨设两直线的斜率分别为，则由题意有，所以两直线互相垂直.故选：A3．【答案】D【分析】考虑截距是否为0，分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案.【详解】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为，即，故选D.4．【答案】A【详解】方程，即表示焦点在轴上的椭圆，，解得．故选：A．5．【答案】B【分析】结合点在圆外的代数关系式与圆的一般方程的定义即可.【详解】由于点在圆：外，有，解得，即的取值范围是.故选B.6．【答案】C【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，【详解】记，则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，得k最小，此时设，故，解得或（舍去），即．故选：C.7．【答案】B【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为，由题知，圆的圆心为2,3，半径为，圆的圆心为，半径为，则，由图可知，当且仅当共线时取等号，因为，所以的最小值为.故选：B

8．【答案】B【详解】设点的坐标为，因为，则，即，所以点的轨迹方程为，因为点的轨迹关于直线对称，所以圆心在此直线上，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是.故选：B.9．【答案】AD【详解】对于选项A：设与直线平行的直线方程是，因为直线过点，则，解得，所以过点且和直线平行的直线方程是，故A正确；对于选项B：因为，如图所示，

若，所以，故B错误；对于选项C：若直线与平行，则，解得，可知，即，所以与的距离为，故C错误；对于选项D：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为，且，即，所以圆和圆相交，故D正确；故选：AD.10．【答案】BC【分析】由题意可得，函数的图象和直线有2个交点，数形结合求得的范围．【详解】方程有两个不等实根，即函数的图象和直线有2个交点．而函数是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于轴及轴上方的部分），直线，即的斜率为，且经过点，当直线和半圆相切时，由，求得．当直线经过点时，由求得．数形结合可得的范围为,，故选：BC．.

11．【答案】AB【分析】根据题意可得当取最小值时，的面积最小，四边形的面积取最小值，此时最短，弦长为，弦的直线方程为，即可得AB正确，C错误；易知在以为直径的圆上，设，以为直径的圆的方程可表示为，可得直线方程为，过定点为，D错误.【详解】如下图所示：

由直线分别于圆切于点可得，，又，是公共边，所以，即四边形的面积，对于A，当的面积最小时，四边形的面积取最小值，，所以当取最小值时，即为圆心到直线的距离时面积最小，即，四边形的面积的最小值为，即A正确；对于B，由A可知，当取最小值时，最短，此时，所以B正确；对于C，易知在以为直径的圆上，又，当最短时不妨设，则，且，解得，即，所以，且的中点为，即以为直径的圆的方程为，与圆相减即可得公共弦的直线方程为，即C错误；对于D，设，由C可知，在以为直径的圆上，所以圆心坐标为，半径为，即以为直径的圆的方程可表示为，与圆相减整理得，直线方程为，此时直线过定点为，即D错误.故选：AB12．【答案】【详解】设直线的斜率为，则直线的方向向量为，直线的一个法向量是，，解得.直线的斜率为.故答案为：.13．【答案】/【详解】设椭圆长轴长为，焦距为，即，依题意，，而直线是圆的切线，即，则有，又点在椭圆上，即，因此，，从而有，所以椭圆的离心率为.故答案为：14．【答案】【详解】由直线与直线，知，所以两直线垂直，直线即，故过定点，即，故过定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，该圆圆心为，半径为，即点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，所以点的轨迹方程是，因为圆的方程为，所以圆心，半径，取的中点，连接，则，所以点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，所以，而，且，即圆与点的轨迹外离；则，即，所以的取值范围是，故答案为：.15．【答案】(1)(2)或【详解】（1）圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为.又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为，即.（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得，圆心到直线距离为，即，解得，此时直线l的方程为，经检验k不存在时的直线也符合条件.所以直线l的方程为或.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为，即（2）由，解得点A的坐标为因为矩形ABCD两条对角线的交点为所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又，从而矩形ABCD外接圆的方程为17．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，且，即，解得，所以椭圆的离心率.（2）由题意，得.设，则.所以，.因为，所以当时，；当时，.所以的取值范围为.18．【答案】(1)(2)最大值14，最小值【详解】（1）由，可得其圆心为，半径，点到的距离为，故，圆的圆心在直线上，设圆心，由题意得，所以，解得，即，到的距离，所以的半径，所以圆的方程：；（2）假设点到的距离为，到的距离为，则，因为，所以，所以，所以，所以四边形面积的最大值14，最小值．19．【答案】(1)；(2)证明见解析，.【详解】（1）由题意设，，.因为点满足，所以所以，于是：，因为点在圆上，所以，所以，整理可得.所