江西省赣州市2024−2025学年高二上学期10月检测 数学试卷含答案

江西省赣州市2024−2025学年高二上学期10月检测数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知点，，若直线的斜率为，则（

）A． B． C． D．2．如图，若直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．3．已知点，则以为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．4．已知圆，圆，则圆，的位置关系为（

）A．内切 B．外切 C．相交 D．外离5．已知点，且直线AB与直线CD垂直，则的值为（

）A．−7或0 B．0或7 C．0 D．76．若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（

）A． B．C． D．7．在中，，已知点，，设点到直线的最大距离为，点到直线的最大距离为，则（

）A． B． C． D．8．已知F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，以F₁F₂为直径的圆与E在第一、二象限交于Q，P两点，PF₂与QF₁交于点M，记△PF₁M的面积为S△PF₁M，△QF₁F₂的面积为S△QF₁F₂，若，则E的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．若直线则（

）A．的截距式方程为 B．C．与之间的距离为1 D．与的倾斜角互补10．已知直线被圆心在坐标原点的圆O所截得的弦长为2，则（

）A．圆O的方程是B．直线与圆相离C．过点的直线被圆所截得的弦的长度的最小值是D．已知点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是211．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，，左、右顶点分，，，，设C的离心率为e，则（

）A．若，则B．四边形的面积与的面积之比为C．四边形的内切圆方程为D．设条形阴影部分的面积为，点形阴影部分的面积为，则三、填空题（本大题共3小题）12．直线恒过定点.13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为.14．若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在中，，边上的高所在直线的方程为所在直线的方程为，点A的坐标为.

(1)求直线的方程;(2)求点B的坐标及直线的方程.16．已知圆过，两点，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)过点作圆的切线，求切线方程.17．已知椭圆的上、下焦点分别为，，为坐标原点，是上一动点，，的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)证明：无论动点在上如何运动，恒为一个常数.18．已知圆与圆相外切.(1)求圆的标准方程；(2)若，求的最小值；(3)已知，P为圆上任意一点，试问在x轴上是否存在定点B（异于点A），使得为定值?若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由.19．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（对应图1，对应图2）.(1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”?若是，求出相似比；若不是，请说明理由；(2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；(3)已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）.

参考答案1．【答案】C【详解】若直线的斜率为，则，所以，故选：C.2．【答案】A【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负，倾斜角越大，倾斜程度越小，斜率越大，所以故选：A.3．【答案】D【详解】因为，线段的中点为，，所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，所以线段为直径的圆的方程为.故选：D.4．【答案】A【详解】圆可化为，圆心为，半径；圆可化为，圆心为，半径，则两圆心之间的距离，所以，即两圆相内切，故选：A.5．【答案】B【详解】当时，直线AB的斜率不存在，直线CD的斜率为此时直线AB的方程为x=0，直线CD的方程为，故;当时，则解得，综上，或.故选：B.6．【答案】C【详解】如图，过点C作CD⊥AB于D，依题意，因为故|CD|=3，从而，圆的半径为故所求圆的方程为即故选：C7．【答案】D【详解】由已知，，则，由，再由正弦定理可知，所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为得椭圆，不含左、右顶点，所以当且仅当点是椭圆的上、下顶点时，点到直线的距离最大为，当时，点到直线的距离最大为，所以，故选：D.8．【答案】B【详解】如图，根据圆与椭圆的对称性可知，点M在y轴上，若则设则易得所以易知QF₁⊥QF₂，则△QF₁F₂∽△OF₁M，则即解得且解得所以在中，由勾股定理得所以由椭圆的定义得得即故E的离心率为故选：B.9．【答案】BCD【详解】由得，故的截距式方程为故A错误；因为与的斜率都等于所以故B正确;直线化为一般方程是，则与之间的距离为故C正确；因为的斜率，的斜率与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，故D正确.故选：BCD.10．【答案】ABC【详解】对于A，设圆的方程为，因为直线与圆相交所得的弦长为2，且圆心到直线的距离所以所以圆的方程为故A正确；对于B，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故B正确；对于C，因为圆的圆心是，半径，且，可知点在圆内，过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点，根据垂径定理得弦的最小值是，故C正确；对于D，因为四边形的面积，如图，由数形分析可知：当时，取到最小值，所以四边形面积的最小值为故D错误.故选：ABC11．【答案】AB【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，对于A选项，若，则即所以，故A正确；对于B选项，，又，所以四边形的面积与椭圆的面积之比为故B正确；对于C选项，因为原点到四边形的四条边的距离都相等，都等于即为四边形内切圆的半径，所以四边形内切圆的方程为，即，故C错误；对于D项，由题意，所以所以，而，所以，所以，故D错误.故选：AB.12．【答案】【详解】直线可化为，令，解得，所以直线恒过定点，故答案为：.13．【答案】【详解】设，，根据椭圆定义得，所以，当且仅当时取等号，所以直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为.故答案为：14．【答案】或【详解】

如图所示，圆化为标准方程为，圆心C0,1，半径，过点与圆相切的两条直线的夹角为，所以或，又点到圆心0,1的距离为，则或，即或，解得或，故答案为：或.15．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为因为与互相垂直，所以直线的斜率为结合，可得的方程为即.（2）联立，解得，则点，直线的斜率，因为与互相垂直，所以直线的斜率为，结合，可得的方程为，即.16．【答案】(1)(2)或【详解】（1）由已知，，则其中点为，，所以中垂线的斜率，则中垂线为，所以点在上，又点在直线，联立，解得，即，半径，所以圆的方程为；（2）由（1）得，，当过点的切线斜率不存在时，直线为，与圆相切；当过点的斜率存在时，设切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得，所以直线方程为，即，综上所述，切线方程为或.17．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由已知，则，即，又的周长为，则，，则，即椭圆方程为：；（2）由（1）可知，，设，则，，，，又，即，即，所以无论动点在上如何运动，恒为一个常数.18．【答案】(1)(2)(3)存在定点B，B的坐标为.【详解】（1）圆心圆心因为圆与圆相外切，所以

即解得或

因为，所以舍去，故故圆的标准方程为（2）若，则点在直线上，则表示点到圆心与圆心的距离之和，设如图关于直线对称点，

则得，则点数形结合易知，到圆心与圆心的距离之和的最小值等于

即（3）假设存在定点B，设，则

当即时，为定值，且定值，故存在定点B，且B的坐标为.19．【答案】(1)这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为；(2)证明见解析；(3)【详解】（1）解:这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下：椭圆中，椭圆中，，则所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为（2）证明：必要性：若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等.如图，若，则，，所以，又因