山西省太原市2024-2025学年度高二联考上学期10月月考数学试卷含答案

2024-2025学年度高二联考上学期10月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（

）A． B．C． D．3．已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（

）A．B．C． D．4．已知点是圆外的一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（

）A． B． C． D．6．已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．7．已知AC，BD为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为()A．4 B． C．5 D．8．正四面体的棱长为，是它内切球的直径，为正四面体表面上的动点，的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆与直线，下列选项正确的是（

）A．直线与圆必相交B．直线与圆不一定相交C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相切10．下面四个结论正确的是（

）A．已知向量，，则在上的投影向量为B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线11．已知圆C：，以下四个命题表述正确的是（

）A．若圆与圆C恰有3条公切线，则B．圆与圆C的公共弦所在直线为C．直线与圆C恒有两个公共点D．点为轴上一个动点，过点作圆C的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线：，：，若，则实数.13．已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为.14．在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知，.(1)若()∥()，求x，y的值；(2)若，且，求x的值.16．已知直线与直线的交点为．(1)求点关于直线的对称点；(2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程．17．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M为中点.(1)求点M到直线的距离；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值.18．已知圆，直线过点．(1)求圆的圆心坐标和半径；(2)若直线与圆相切，求直线的方程；(3)若直线与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时直线的方程.19．已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点.(1)求的值。(2)若为的中点，求二面角的正弦值；(3)若为线段上一点，且满足，求．

参考答案1．【答案】D【详解】由直线，可得直线的斜率，设其倾斜角为，可得，所以.故选：D.2．【答案】C【详解】由题设，结合，得，故选：C3．【答案】A【详解】直线与直线的交点为，所以圆心为，设半径为，由题意得，即解得，故圆为.故选：A.4．【答案】D【详解】由题意得且，解得.故选：D5．【答案】D【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率，由直线l与线段总有公共点，得直线的斜率，即，当时，而，则；当，得，所以l的倾斜角的取值范围为.故选：D6．【答案】B【解析】，则点到直线的距离为：.7．【答案】C【详解】设圆心O到AC、BD的距离分别为、，则．四边形ABCD的面积为：，当且仅当时取等号，故选C．8．【答案】D【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，则.因为正四面体的棱长为3，所以，所以，设内切球的半径为，则，，解得，是它内切球的直径，此时，，，因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为.故选：D9．【答案】AC【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案.【详解】解：直线过定点，又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，所以A正确，B，D错误，因为圆心与点间的距离为，圆半径为2.所以最短弦长为，故C正确，

故选：AC.10．【答案】ABC【详解】A选项，向量，，则在上的投影向量为，故A选项正确；B选项，因为，所以四点共面，故正确；C选项，因为是空间的一组基底，，所以两向量之间也不共线，所以也是空间的一组基底，故C选项正确；D选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，，则直线或，错误.故选ABC.【方法总结】注意空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP→=xOA→+yOB→+zOC→(x,y,z∈R),则“x+y+z=1”是“P,A,B11．【答案】BCD【详解】A：由题意得：的圆心为，半径为，该圆与圆有3条公切线，则两圆外切，所以，解得，故A错误；B：两圆的圆心分别为，半径分别为和2，则，所以两圆相交，与相减得：，故圆与圆C的公共弦所在直线为，故B正确；C：变形为，令，解得，即直线恒过点，由于，点在圆M内，所以与圆M恒有两个公共点，故C正确；D：如图，圆，半径为2，则圆C与y轴相切，切点为原点，即为，易知直线恒过点，又为的中点，则，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，又，所以MN的最大值为，故D正确.故选：BCD12．【答案】3【详解】故答案为：3.13．【答案】14．【答案】【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为.如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值.设，则解得即，关于轴的对称点为，故周长的最小值为.故答案为：.15．【答案】(1)，(2)【详解】（1）∵，，∴，.又()∥()，∴，解得，.（2）由，得，∴，∴，即，∴，解得.16．【答案】(1)(2)，【详解】（1）当，时，有，.所以两直线的交点为.由于关于直线对称，故直线和直线垂直.而直线即的斜率为，从而直线的斜率为.再由知直线的方程为，即.将与联立，得，.从而直线和直线的交点为，由于关于直线对称，故是的中点.最后由，即知.（2）若是一条经过的直线，则由于，知到的距离不超过.若有一条经过的直线，满足到的距离为，则由，知和垂直.而直线的斜率，故的斜率为.再由经过，即知的方程为，即.综上，点到经过点的直线距离的最大值为，当距离最大时，直线的方程为.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，因为平面，平面，所以且，所以可建立如图所示以B为原点的空间直角坐标系，则由题，所以，所以，所以，又，故点M到直线的距离为.（2）因为，，，平面，所以平面，故是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则，所以，令，则，设平面与平面所成夹角为，所以，所以平面与平面所成夹角的余弦值为.18．【答案】(1)圆心为，半径为2；(2)或；(3)，或【详解】（1）由可得：所以圆心的圆心坐标为，半径为2；（2）①若直线的斜率不存在，则直线：，符合题意；②若直线斜率存在，设直线的方程为y=kx−1，即，由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，即，解得，所求直线的方程是或；（3）方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为，则圆心到直的距离，又∵三角形CPQ面积，当且仅当，即时取等号，三角形CPQ的面积的最大值为2，由，有，或，此时直线方程为，或．方法二：，当时，取最大值2，此时点到的距离为，设：，由，解得或，故所求直线的方程为或.19．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由