陕西省安康市2024−2025学年高二上学期10月诊断性测试数学试题含答案

陕西省安康市2024−2025学年高二上学期10月诊断性测试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．设复数满足，则=（

）A． B．C． D．22．直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（

）A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合3．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为（

）A． B． C． D．4．如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（

）A．5 B．3 C． D．5．堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（

）A． B． C． D．7．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（

）A． B． C． D．8．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列命题中，正确的命题有（

）A．是，共线的充要条件B．若，则存在唯一的实数，使得C．对空间中任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底10．某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（

）A．图中的值为0.016B．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间C．该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人D．该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于8011．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层是正四棱柱，下层底面是边长为4的正方形，在底面的投影分别为的中点，若，则下列结论正确的有（

）A．该几何体的表面积为B．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为C．直线与平面所成角的正弦值为D．点到平面的距离为三、填空题（本大题共3小题）12．设，向量，且，则．13．已知=，则的值是.14．设函数是从1，2，3三个数中任意取一个数，是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则的概率是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线过点，且与以和为端点的线段相交.(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围.16．某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分(百分制)按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在中的市民有200人心理测评评价标准调查评分[0，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]心理等级EDCBA（1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率；（3）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100)17．在中，角所对的边分别为.已知.（1）若，求的周长；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.18．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．(1)若，求的斜坐标；(2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．

①若，求向量的斜坐标；②若，且，求．

参考答案1．【答案】C【分析】求出即得解.【详解】由题意可得，所以，所以.故选C.2．【答案】D【分析】求出直线的斜率，根据，的斜率关系，即可求解.【详解】由点，，可求得直线的斜率，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，则有，则直线与直线平行或重合.故选D.3．【答案】D【分析】汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的，遇红灯停车的事件也是相互独立的；遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件，先分别汽车在这三处遇红灯停车一次的情况的概率，最后计算出汽车在这三处遇红灯停车一次的概率【详解】因为汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的，遇红灯停车的事件也是相互独立的；遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件，因此汽车在这三处遇红灯停车的概率分别为：所以.所以汽车在这三处遇红灯停车一次有三种情况，概率分别为：（1）甲红灯，乙丙绿灯：；（2）乙红灯，甲丙绿灯：；（3）丙红灯，甲乙绿灯：；所以汽车在这三处遇红灯停车一次的概率为.故选D.4．【答案】C【分析】，然后平方可算出答案.【详解】在平行六面体中，，，，，，，.故选C.5．【答案】A【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】由分析题意得，平面如图所示，以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以.设异面直线与所成的角为，则.故选A.6．【答案】D【分析】先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果.【详解】因为设平面的法向量为，则，即，所以令，可得，，则，所以.设与平面所成的角为：则.因为，所以到平面的距离为，即四棱锥的高为.故选D.7．【答案】C【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可．【详解】为奇函数，；，，，，故选C．8．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值即可.【详解】以题意，以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为正方体棱长为1，，所以,,设,则,而,所以点到直线的投影数量的绝对值为,所以点到直线的距离为，当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为，故选：C.9．【答案】CD【分析】对于A选项，向量，同向时不成立；对于B选项，为零向量时不成立；对于C选项，根据空间向量共面的条件判定；对于D选项，根据能成为基底的条件判定.【详解】对于A选项，向量，同向时，，只满足充分性，不满足必要性，故A错误；对于B选项，应该为非零向量，故B错误；对于C选项，，，若共线，则三向量共线，故，，三点共线，与已知矛盾，故不共线，由向量共面的充要条件知共面，而过同一点，，，，四点共面，故C正确；对于D选项，若为空间的一个基底，则，，不共面，假设，，共面，设，，无解，，，不共面，构成空间的另一个基底，故D正确．故选CD．10．【答案】BCD【分析】根据频率分布直方图性质可得，判断A错误；计算出得分介于60至90之间的频率，判断B正确；利用1500乘以得分不小于90频率，判断C正确；计算得分介于50至80之间的频率判断D正确.【详解】由频率分布直方图性质可得：，解得，故A错误；得分介于60至90之间的频率为，故B正确；得分不小于90的人数估计为，故C正确；得分介于50至80之间的频率为，故D正确.故选BCD.11．【答案】ACD【分析】根据垂直关系可求解三角形的边长，结合面积公式即可求解A，根据外接球的性质，结合体积公式即可求解B，建立空间直角坐标系，根据向量法即可求解夹角和距离，进而可判断CD.【详解】设在平面的投影分别为的中点，因为，，所以到平面的距离为,因为上、下两层等高，所以到平面的距离为2，因为，,所以,所以,同理可得，，则点B到FG的距离为，则的面积为，的面积为．对于A选项，故该几何体的表面积，故A正确．对于B选项，将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上，且均在球面上，设球心到下底面的距离为x，由于四边形为边长为的正方形，四边形为边长为4的正方形，则其对角线长度分别为4，，则，解得，则该球体的半径为，体积为．故B错误．对于C选项，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，平面的一个法向量为，则，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为，故C正确．对于D选项，设平面的法向量为，则，令，得，则点到平面的距离为，故D正确．故选ACD.12．【答案】【分析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出，再由向量的坐标运算及模的坐标表示求解．【详解】因为，所以，解得，则．因为，所以，解得，则．所以．故答案为：.13．【答案】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】，.故答案为：.14．【答案】【分析】由题意得出基本事件总数，在由古典概型计算出的概率.【详解】,当且仅当时，等号成立，，恒成立就转化为成立.设事件“恒成立”，则基本事件总数为个，即，，事件包含事件：共个，由古典概型得.故答案为：.15．【答案】(1)(2).【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围；（2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围．【详解】（1）根据题意，在平面直角坐标系中画出图象如图：因为直线过点，且与以和为端点的线段相交.所以，所以直线的斜率的取值范围.（2）因为由（1）可知，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以可得此时直线的倾斜角的取值范围，由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角，综上所述，直线的倾斜角的取值范围.16．【答案】（1），；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.【分析】（1）利用公式求的值，利用矩形的面积和为1求的值；（2）设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为”，利用对立事件的概率公式求解；（3）利用频率分布直方图的平均数求出平均数即得解.【详解】(1)由分析题中已知条件，可得，因为每组的小矩形的面积之和为1.所以，解得，(2)因为由(1)知：，所以调查评分在[40，50)中的人数是调查评分在[50，60)中人数的，若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人，设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为”.因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以所以故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率为，(3)因为由频率分布直方图可得，,估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，所以市民心理健康指数平均值为，所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.17．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理将已知条件边化角，化简后求得，再利用余弦定理求得，可得周长，（2）利用正弦定理将化为角的三角函数，化简后利用的范围及正弦函数的性质求解范围.【详解】（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，且，所以，即，则的周长为，（2）因为，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，所以，则，所以.故的取值范围是.18．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证；（2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案；（3）设，表示点，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【详解】（1）因为平面，平面，平面，所以，，因为，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为由题中已知可得，，，，，所以，，.因为,.所以,,因为，平面，平面.所以平面.（2）设平面的法向量，由（1）可知,设平面的法向量