金融数学课件 ch5 随机微分方程概论

金融数学第五章随机微分方程概论中国人民大学出版社PAGE金融数学第五章随机微分方程概论中国人民大学出版社PAGE10/31第五章随机微分方程概论第五章随机微分方程概论金融数学中国人民大学出版社随机微分方程随机微分方程(StochasticDifferentialEquation,SDE)通过对SDE的求解，我们可以更深刻地认识随机过程的演化规律。随机微分方程是微分方程的扩展。随机过程函数本身的导数不可定义，所以一般解微分方程的概念不适用于随机微分方程。随机微分方程多用于对一些多样化现象进行建模，比如不停变动的股票价格，部分物理现象如热扰动等。本章内容本章内容1引言12线性随机微分方程的分类23线性随机微分方程的求解3齐次标量线性SDE的求解狭义线性SDE的求解SDESDE的例子：几何布朗运动引言dS(t)=µS(t)dt+σS(t)dW(t引言其中：S(t)是随机过程；µ和σ均是常数；W(t)是标准布朗运动。该方程在金融领域可以用来刻画股票等金融资产的价格演化。SDE有无穷多个可能的解，为了对解加以限定，需要加入初值条件(initialvaluecondition)，比如：S(0)=S0。普通微分方程普通微分方程dS(t)=µS(t)dt, S(0)=S引言引言采用分离变量法(separationofvariables)，将公式右侧的S(t)提到左侧，即：对公式两侧取积分，可得：

dS(t)S(t)=µdt∫tdS(u)∫0S(u)=0

t∫0µdu ⇒ lnS(t)−lnS(0)=µt∫0将初值条件代入，最终可得：S(t)=S(0)eµt=S·eµt几何布朗运动几何布朗运动SDE的求解引言布朗运动W(t)是处处连续且处处不可微的，这一特征造成了我们不能使用通常求解微分方程的相关方法对SDE引言dS(t)S(t)=µdt ⇒ dln[S(t)]=µdtdS(t)注意：S(t)=µdt+σdW(t) ̸⇒ dln[S(t)]=µdt+σdW(t)注意：上式的原因在于布朗运动上式的原因在于布朗运动W(t)的二次变差不为零，我们需要使用伊藤引理进行求解。几何布朗运动几何布朗运动SDE的求解(cont.)引言2假设f(x)=ln(x)，根据伊藤引理可得：df(S(t))=ftdt+fSdS+1fSS[dS]2引言21 1(

1)22因此：

=0+S[µSdt+σSdW]+2−=µdt+σdW 1σ2dt−2

−S2

oSdt2dln(t)=(µ−1σ2)dt+σW(t)2在此基础上，我们实现了类似于微分方程中的分离变量方法。接下来对上式两端取积分。几何布朗运动几何布朗运动SDE的求解(cont.)引言2dln(t)=(µ−1σ2)t+σW(t引言2∫上式两端取积分可得：∫tdlnS(u)=0

∫t(00

12)µ−22)

du+

t∫odW(u)∫02lnS(t)−ln(0)=(µ−1σ2)t+σ[(t)−(0)]2lnS(t)=ln0+(µ− σ2)t+σ(t)212最终得到：S(t)=0·exp[(µ− σ2)t+σ()]22122几何布朗运动几何布朗运动SDE的解引言几何布朗运动引言dS(t)=µS(t)dt+σS(t)dW(t)S(0)=S0解如下：相应的，

(t)=0·exp[(µ− σ2)t+σW(t)]122lnS(t)∼N(lnS0+[µ− σ2]t,σ2)22122因此，lnS(t)服从正态分布。对应的S(t)则是服从对数正态分布(log-normaldistribution)。对数正态分布的概率密度函数图对数正态分布的概率密度函数图引言0.7引言0.60.50.40.30.20.100 1 2 3 4 5SS(t)期望和方差引言服从对数正态分布的S(t)引言E[S(t)]=exp[lnS0+µt]=S0·eµtVar[S(t)]=exp[2lnS0+2µt][exp(σ2t)−1]=S2e2µt·(eσt−1)00说明：200说明：本章只涉及线性随机微分方程的求解问题。本章只涉及线性随机微分方程的求解问题。一维线性一维线性SDE的基本形式其中：

dX(t)=α(t,X(t))dt+β(t,X(t))dW(t)线性随机微分方程的分类α(t,X(t))=a1(t)X(t)+a2(t), β(t,X(t))=b1(t)X(t)+b2(t线性随机微分方程的分类( ) ( )αtX(t)(driftterm)；βtX(t)(diffusionterm)SDE(initialvaluecondition)，比如：X(0)X0。( ) ( )线性线性SDE的分类线性随机微分方程的分类对于一维线性SDE线性随机微分方程的分类dX(t)=[a1(t)X(t)+a2(t)]dt+[b1(t)X(t)+b2(t)]dW(t)若所有的系数(a1,a2,b1,b2)均是常数，则称为自治(autonomous)线性SDE，即系数不是时变的；若a2=b2=0，则称为齐次(homogeneous)线性SDE；若b1=0，则线性SDE具有加性噪声(additivenoise)；若b2=0，则线性SDE具有乘性噪声(multiplicativenoise)。举例举例1：几何布朗运动线性随机微分方程的分类股票价格S(t)线性随机微分方程的分类dS(t)=µS(t)dt+σS(t)dW(t)其中：µ和σ均是常数，通过比对可以看出：a1=µ, a2=0, b1=b2=0因此，用来刻画股价变动的几何布朗运动属于自治线性SDE，并且具有乘性噪声。举例举例2：瓦西切克（Vasicek）模型线性随机微分方程的分类刻画利率r(t)线性随机微分方程的分类dr(t)=(α−βr(t))dt+σdW(t)其中：α,β,σ均是大于零的常数，通过比对可以看出：a1=−β, a2=α, b1=0, b2=σ因此，用来刻画短期利率变动的瓦西切克模型属于自治线性SDE，并且具有加性噪声。该模型来自于奥伦斯坦-乌伦贝克过程(Ornstein-Uhlenbeckprocess)，简称O-U过程，并且该过程具有均值回复的特征。举例举例3：赫尔-怀特（Hull-White）模型线性随机微分方程的分类刻画利率r(t)变动的赫尔-线性随机微分方程的分类dr(t)=(α(t)−β(t)r(t))dt+σ(t)dW(t)其中：α(t),β(t),σ(t)均是均值大于零的函数，通过比对可以看出：a1=−β(t), a2=α(t), b1=0, b2=σ(t)因此，赫尔-怀特模型属于具有加性噪声的线性SDE。对比瓦西切克模型，此处的模型仍然具有均值回复的特征，只是相应的系数均是时变的。举例举例4：CIR模型线性随机微分方程的分类刻画利率r(t)变动的CIR线性随机微分方程的分类dr(t)=(α−βr(t))dt+σ√r(t)dW(t)√其中：α,β,σ均是大于零的常数。与前面的瓦西切克模型相比，其随机项当中增加了 r(t)。√√通过比对不难发现，该模型无法被归入任何一个线性SDE类别中。正因为该模型中的 r(t)项，该模型也称作平方根过程(square-root√process)。举例举例5：HJM模型线性随机微分方程的分类刻画瞬时远期利率f(t,T)演化的多因子HJM线性随机微分方程的分类∑n∑df(t,T)=α(t,T)dt+ σi(t,T)dWi(t)i=1通过比对可以看出：此模型的a1=b1=0，并且由于模型中包含了n个布朗运动Wi(t),i=1,2,...,n，因此这是一个多维线性SDE。SDESDE的解线性随机微分方程的求解与常微分方程类似，SDE线性随机微分方程的求解SDE往往难以显式的得到相应的解X(t)，也就是说，在通常情况下往往等式的两端均存在X(t)项(类似于微积分中提到的隐函数)。幸运的是，对于一维线性SDE来说，是可以得到其显式解(explicitsolution)的。齐次标量线性齐次标量线性SDE的定义齐次标量线性SDE的求解齐次标量线性SDE的求解线性随机微分方程的求解a(a(t)X(t)+b(t)ddX(t)=

] ∑[ ]kk=1kk=1几何布朗运动就是齐次标量线性SDE的一个特殊形式。注意：mdt+ck(t)X(t)+dk(t)dWk(t)a(·)，b(·)，ck(·)，dk几何布朗运动就是齐次标量线性SDE的一个特殊形式。注意：mdt+ck(t)X(t)+dk(t)dWk(t)回顾：几何布朗运动回顾：几何布朗运动齐次标量线性SDE的求解线性随机微分方程的求解· ·SDEab齐次标量线性SDE的求解线性随机微分方程的求解· ·dS(t)=µS(t)dt+σS(t)dW(t), S(0)=S0(t)=S0·exp[(µ− σ2)t+σ(t)]212求解的基本思路如下：使用分离变量法，将SDE右侧的S(t)项，全部移到等式的左侧；使用伊藤引理，得到dlnS(t)的SDE；SDElnS(t的表达式；lnS(teS(t的解。这里我们所采用的方法，类似于常微分方程求解通常采用的分离变量法。齐次标量线性齐次标量线性SDE的解齐次标量线性SDE的求解线性随机微分方程的求解我们可以利用类似的方法来求解齐次标量线性SDE。假设关于随机过程S(t齐次标量线性SDE的求解线性随机微分方程的求解dS(t)=µ(t)S(t)dt+σ(t)S(t)dW(t)其中：µ(t)和σ(t)均是时间t的连续有界函数，并且在当前时刻，S(0)=S0。则该SDE的显式解为：S(t)=S0exp

{∫t[00

µ(u)−

1σ2(u)]2]

du+

t∫}σ(u)dW(u)∫}0狭义线性狭义线性SDE的定义狭义线性SDE的求解狭义线性SDE的求解线性随机微分方程的求解dX(t)=

[a(t)X(t)+b(t)]

mdt+m

k=1

dk(t)dWk(t)SDE注意：a(·)，b(·)，dk(·(scalar)函数，我们称作狭SDE(linearSDEinthenarrowsense)b(·dSDE注意：举例：瓦西切克模型举例：瓦西切克模型狭义线性SDE的求解线性随机微分方程的求解瓦西切克模型可看作狭义线性狭义线性SDE的求解线性随机微分方程的求解r(0)=r()=[α−βr(t)]t+σdr(0)=求解思路：通过构造函数的方式，将等式右侧的r(t)项消去，进而实现SDE的求解。瓦西切克模型求解瓦西切克模型求解狭义线性SDE的求解线性随机微分方程的求解假设X(t)=eβtr狭义线性SDE的求解线性随机微分方程的求解[( ) ]d(eβtr(t))=eβtdr(t)+r(t)de[( ) ]=eβt α−βr(t)dt+σdW(t)+r(t)eβtβdt=αeβtdt+σeβtdW(t)这样的变换后，等式右侧不再有r(t)的相关项。瓦西切克模型求解瓦西切克模型求解(cont.)狭义线性SDE的求解线性随机微分方程的求解对d(eβtr(t))=αeβtdt+σeβtdW狭义线性SDE的求解线性随机微分方程的求解因此：

eβtr(t)−r0=αr(t)=er(t)=e−βtr0+ββ

t∫eβudu+σ∫01−1−e−βt+e−βtσ

t∫eβudW(u)∫0∫teeβudW(u)00β 0β0结合伊藤积分的期望为零的性质，可得：E[r(t)]=e−βtr0β

(1−e−βt)瓦西切克模型求解瓦西切克模型求解(cont.)狭义线性SDE的求解(αr(t)=e−βt狭义线性SDE的求解(αβ(根据伊藤等距，可得：(

1−e−βt)

+e−βtσ

线性随机微分方程的求解线性随机微分方程的求解∫eβudW(u)∫0因此：

Var[r(t)]=

(e−βtσ)2·

t 2∫σe2βudu=∫σ(0 (

1−e−2βt)r(t)∼N

(e−βtr

0+β

(1−

e−βt σ2,)2β,)

1−e−2βt))瓦西切克模型的特征瓦西切克模型的特征线性随机微分方程的求解β[()]=2β1−E[r(t)]=e线性随机微分方程的求解β[()]=2β1−

+α(1−e−βt