《数学（下册）（第二版）》 课件 第３章　导数的应用

导数的应用第3章112目录3.1拉格朗日中值定理及函数单调性的判定3.2

函数的极值与最值3.3

函数图像的凹凸和拐点3.4

曲率3.5

洛必达法则113教学要求：1.了解拉格朗日中值定理及其几何解释.2.掌握用导数判断函数的单调性的方法.3.理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法.4.掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.5.会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点.6.会求曲线的水平、垂直渐近线，会比较准确地描绘函数的图像.*7.理解曲率、曲率半径的定义，掌握曲率的计算方法．8.会用洛必达法则求

型与

型未定式的极限.1143.１拉格朗日中值定理及函数单调性的判定115拉格朗日中值定理定理（拉格朗日中值定理）如果函数y＝f（x）满足：（1）在闭区间

[a，b]上连续，（2）在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得或f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）．拉格朗日中值定理准确地表达了函数在一个区间上的增量和函数在这个区间内某点处的导数之间的关系．116利用拉格朗日中值定理，还可以得到下面的两个推论．推论1如果函数f（x）在区间（a，b）内可导，且恒有f′（x）＝0，则函数f（x）在区间（a，b）内恒为常数．推论1是“常数的导数等于零”的逆定理．推论2如果函数f（x）和g（x）在区间（a，b）内均可导，且恒有f′（x）＝g′（x），则函数f（x）和g（x）在区间（a，b）内满足f（x）＝g（x）＋C（C为任意常数）．117函数单调性的判定由下图可以看出，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线，这时曲线上各点处的切线的倾斜角都是锐角，因此，切线的斜率都是正的，即f′（x）＞0；同样地，由下图可以看出，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调减少，那么它的图像是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点处的切线的倾斜角都是钝角，因此切线的斜率都是负的，即f′（x）＜0．118119120由此可见，函数的单调性与导数的符号有关．定理设函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导．（1）如果在（a，b）内f′（x）＞0，那么函数y＝f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果在（a，b）内f′（x）＜0，那么函数y＝f（x）在[a，b]上单调减少．如果将定理中的闭区间[a，b]改为开区间、半开半闭区间、无穷区间（在其任一有限子区间上满足定理的条件），结论同样成立．如果将定理中的条件“f′（x）＞0（＜0）”改为“f′（x）≥0（≤0），且只在有限个点处的导数值等于零”，结论同样也成立．我们注意到x1＝－1，x2＝1是函数f（x）＝3x－x3单调区间的分界点，此时f′（x）＝0．习惯上，我们把f′（x）＝0的点称为函数的驻点（或稳定点）．由此可见，驻点可能是单调区间的分界点．特别地，导数不存在的点也可能是单调区间的分界点．因此，确定函数的单调性的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出函数f（x）的导数f′（x）；（3）求出函数f（x）的全部驻点及f′（x）不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间；（4）列表讨论f′（x）在各个子区间内的符号，从而确定函数f（x）的单调性或单调区间．1213.２函数的极值与最值122函数的极值函数极值的定义由下图可以看出，函数y＝f（x）在点c1，c4处的函数值f（c1），f（c4）比它们附近各点的函数值都大，而在点c2，c5处的函数值f（c2），f（c5）比它们附近各点的函数值都小．123对于具有上述这种性质的点和对应的函数值，我们给出如下的定义．124关于函数的极值作以下几点说明：（1）函数的极值是指函数值，而极值点是指自变量的值，两者不应混淆．（2）函数的极值概念是函数的局部性质，它只是在与极值点附近的所有点的函数值相比较为最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内为最大或最小．因此，函数的极大值不一定比极小值大．（3）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而函数的最大值或最小值点可能在区间内部，也可能是区间的端点．125函数极值的判定和求法由上图可以看出，在函数取得极值点处，曲线的切线是水平的，即极值点是驻点．反过来，曲线上有水平切线的地方，即驻点处，函数不一定取得极值．由此，我们得到函数取得极值的必要条件．定理1设函数f（x）在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f′（x0）＝0．定理只说明可导函数的极值点必定是驻点．实际上，导数不存在的点也有可能是函数的极值点．126如图所示，函数f（x）在点x0处取得极大值，在点x0左侧单调增加，有f′（x）＞0；在点x0右侧单调减少，有f′（x）＜0．如图所示，函数f（x）在点x0处取得极小值，在点x0左侧单调减少，有f′（x）＜0，在点x0右侧单调增加，有f′（x）＞0．由此，我们得到函数在某点处取得极值的充分条件．127定理2设函数f（x）在点x0的某个邻域内连续，在点x0的去心邻域内可导，则（1）如果当x＜x0时，f′（x）＞0，而当x＞x0时，f′（x）＜0，那么函数f（x）在x0处取得极大值；（2）如果当x＜x0时，f′（x）＜0，而当x＞x0时，f′（x）＞0，那么函数f（x）在x0处取得极小值；（3）如果在x0的两侧，函数f（x）的导数f′（x）符号相同，那么f（x0）不是f（x）函数的极值．128根据上面两个定理，我们可以得到求函数的极值点和极值的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出函数f（x）的导数f′（x）；（3）求出函数f（x）的全部驻点及f′（x）不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间；（4）列表讨论f′（x）在各个子区间内的符号，从而确定函数f（x）的极值点，并判定其是否为极大值点或极小值点，由此求出函数的极值．129定理3设函数f（x）在点x0处具有二阶导数，且f′（x）＝0，f″（x）≠0，则（1）当f″（x）＜0时，函数f（x）在x0处取得极大值；（2）当f″（x）＞0时，函数f（x）在x0处取得极小值．注意：如果函数f（x）在驻点x0处的二阶导数f″（x）≠0，那么该驻点x0一定是极值点，且可以由二阶导数的符号来判定f（x0）是极大值还是极小值．但是如果f″（x）＝0，定理3就失效了．130函数的最值及应用函数最值的求法函数的极值是函数的局部性质，而最值是函数的整体性质．在第1章中，我们已经知道，函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在[a，b]上必有最大值和最小值．函数的最值可能出现在区间内部，也可能在区间端点处取得．如果最值在区间（a，b）内部取得，则这个最值一定是函数的极值．因此，求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的方法如下：（1）求出函数f（x）在开区间（a，b）内所有可能的极值点的函数值；（2）求出闭区间[a，b]上端点处的函数值f（a），f（b）；（3）比较以上函数值，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．131函数最值的应用举例（1）建立数学模型，列出函数关系式．分析问题的实际意义，分清并找出已知量和未知量．在实际问题中常常是这样提出问题的：当x为何值时，函数y取得最大值（最小值）?这时要以x为自变量y为因变量，建立函数关系y＝f（x）．（2）求函数的导数等于零的点．求出函数y＝f（x）的导数，令f′（x）＝0，解出函数导数等于零的点．（3）确定最值．结合所求问题的实际意义，如果函数的导数等于零的点只有一个，则该点对应的函数值就是所求问题的最大值（最小值）．如果函数导数等于零的点有多个，则将它们分别代入函数y＝f（x）求出对应的函数值．在这些函数值中最大的数即为函数的最大值，最小的数为函数的最小值．1323.３函数图像的凹凸和拐点133函数图像的凹凸和拐点曲线的凹凸及其判定法如图所示，曲线弧OP在区间（0，x0）内是向下凹的，此时曲线总在其上任一点处切线的上方；而曲线弧PQ在区间（x0，＋∞）内是向上凸的，此时曲线总在其上任一点处切线的下方．134一般地，对于曲线的上述特性，我们给出如下定义：135如果曲线是凹的，曲线上各点处的切线的倾斜角随着自变量x的增大而增大，切线的斜率也是单调增加的．由于切线的斜率就是函数y＝f（x）的导数f′（x），因此，若曲线是凹的，导数f′（x）必定是单调增加的．同样，如果曲线是凸的，曲线上各点处的切线的倾斜角随着自变量x的增大而减小，切的斜率也是单调减少的，因此，若曲线是凸的，导数f′（x）必定是单调减少的．由此可见，曲线y＝f（x）的凹凸，可以由导数f′（x）的单调性来判定，而导数f′（x）的单调性又可以用它的导数，即y＝f（x）的二阶导数f″（x）的符号来判定．136137定理设函数y＝f（x）在开区间（a，b）内具有二阶导数f″（x）．（1）如果在（a，b）内，f″（x）＞0，则曲线在（a，b）内是凹的；（2）如果在（a，b）内，f″（x）＜0，则曲线在（a，b）内是凸的．一般地，在连续曲线y＝f（x）的定义域的区间内，除在有限个点处f″（x）＝0或f″（x）不存在外，若在其余各点处的二阶导数f″（x）均为正（或负）时，曲线y＝f（x）在这个区间上就是凹（或凸）的，这个区间就是曲线y＝f（x）的凹（或凸）区间；否则就以这些点为分界点划分函数y＝f（x）的定义区间，再在各个区间上讨论曲线的凹凸性．138曲线的拐点我们可以按下面的步骤来确定曲线y＝f（x）的拐点：（1）确定函数y＝f（x）的定义域；（2）求出f″（x）；（3）求出使f″（x）＝0和f″（x）不存在的点，并以这些点为分界点把定义域分成若干个子区间；（4）列表讨论f″（x）在各个子区间内的符号，从而确定曲线f（x）的拐点．139函数图像的描绘曲线的渐近线先看下列的例子．（1）如图所示，当x→－∞时，曲线y＝arctanx无限接近于直线y＝－

；当x→＋∞时，曲线y＝arctanx无限接近于直线y＝

．140141（2）如图所示，当x→∞时，曲线y＝

无限接近于x轴（y＝0）；当x→0时，曲线y＝

无限接近于y轴（x＝0）．一般地，对于曲线的上述特性，我们给出如下定义：142函数图像的描绘描绘函数图像的一般步骤如下：（1）确定函数y＝f（x）的定义域，考察函数的奇偶性和周期性，判断曲线的对称性；（2）求出函数的一阶导数f′（x）和二阶导数f″（x），并解出方程f′（x）＝0和f″（x）＝0在定义域内的全部实根以及f′（x）和f″（x）不存在的点，用这些点把定义域分成若干个子区间；（3）列表讨论f′（x）和f″（x）在各个子区间内的符号，从而确定函数f（x）的单调性和极值、曲线f（x）的凹凸性和拐点；（4）确定曲线的水平渐近线和垂直渐近线；（5）需要时，取一些辅助点（例如曲线与坐标轴的交点等）；（6）结合上述讨论结果，描绘出函数y＝f（x）的图像．1433.４曲率144曲率的概念如图所示，相切于M点的两条曲线弧MN1和MN2，长度相等且弯曲程度均匀．它们两端的切线的夹角（简称切线转角）分别为Δα1和Δα2．从直观判断，Δα2大于Δα1，曲线弧MN2比曲线弧MN1更弯曲．实际上，对于长度一定且弯曲程度均匀的曲线弧，切线转角越大，其弯曲程度就越大．由此可以衡量曲线弧的平均弯曲程度．145我们将曲线弧的切线转过的角度Δα与其弧长Δs之比的绝对值称为该曲线弧的平均曲率，记为

，即曲线在其上各点附近的弯曲程度往往不同．因此，曲线弧越短，其平均曲率就能越真实地反映曲线上某一点附近的弯曲程度．于是，我们给出如下定义：146上式表明，曲线的曲率是曲线切线倾斜角关于弧长的变化率的绝对值，它是一个非负数．利用定义计算曲线的曲率是很不方便的，但可以引入坐标系和导数来处理．下面给出平面直角坐标系中曲线y＝f（x）上任意点处的曲率计算公式（推导略）：147曲率圆在研究一般曲线某点的曲率时，往往可以用一个圆弧代替该点附近的曲线．对于这样的圆弧所在的圆，我们给出如下的定义：148如图所示，曲率圆的中心C称为曲线在点M的曲率中心；曲率圆的半径R称为曲线在点M的曲率半径．149如果曲线在点M的曲率是K，则该点曲率圆的曲率同样也是K，则曲线在点M的曲率半径R的计算公式为与之相对应的曲率圆的中心C（a，b）坐标为1503.５洛必达法则151函数连续性的概念当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）和g（x）都趋于零（或都趋于无穷大），则极限可能存在，也可能不存在通常把这种形式的极限称为未定式，并简称为对于未定式，不能直接用极限运算法则求极限．下面介绍求这类未定式极限的一种有效简便的方法———洛必达法则．152

型未定式定理如果函数f（x）和g（x）满足条件：（1）（2）f（x）和g（x）在点x0的某个去心邻域内可导，且g′（x）≠0；（3）存在（或为无穷大）．则153这个定理告诉我们，当