34函数的单调性（精讲）

3.4函数的单调性（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考法一无参函数单调区间【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）函数f

(x)＝1－（）A．在(－1，＋∞)上单调递增B．在(1，＋∞)上单调递增C．在(－1，＋∞)上单调递减D．在(1，＋∞)上单调递减（2）（2021·云南昆明市）函数的单调增区间是（3）（2021·天津南开区）函数的单调递增区间是________（4）（2020·全国高三专题练习）函数的单调减区间是【答案】（1）B（2）（3）（4）【解析】（1）f

(x)图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．故选：B（2）要使函数有意义则，即函数定义域为，又，由一次函数的单调性可知函数在上单调递增.（3）当时，单调递减，而也单调递减，所以单调递增，故答案为：（4）直接通过解析式，结合二次函数图象得：递增，在递减【一隅三反】1．（2021·天津静海区）函数的单调减区间为___________【答案】【解析】,当,即时原函数为减函数.故函数的单调减区间为.故答案为：2．（2021·九龙坡区·重庆市育才中学高三月考）已知，则的单调增区间为【答案】【解析】因为对数函数在上是增函数，反比例函数在上也是增函数，所以在定义域上单调递增；又是由向左平移两个单位得到，所以的单调增区间为.3．（2020·全国高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】因为在上为减函数，所以只要求的单调递减区间，且.由图可知，使得函数单调递减且满足的的取值范围是.因此，函数的单调递增区间为、.故选：C.4．（2021·上海）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】A:因为为减函数，所以为增函数；B:对称轴为，图象开口向上，所以在上为增函数；C:因为在定义域上为减函数，所以在定义域上为增函数；D:当时，为减函数，当时，为减函数，且，所以在定义域上为减函数.故选:D.考法二利用单调性求参数【例2】（1）（2021·陕西宝鸡市）“”是“函数单调递减”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（2）（2021·济南）已知函数f（x）＝，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（）A． B．（0，1） C． D．（0，3）【答案】（1）A（2）A【解析】（1）由，若函数单调递减，必有当时，恒成立，可化为，可得．故“”是“函数单调递减”的充分不必要条件.故选：A.（2）∵f（x）对任意的x1≠x2都有成立，∴f（x）＝为R上的减函数，∴解得0＜a≤.故选：A.【方法总结】【方法总结】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围【一隅三反】1．（2021·黑龙江）如果函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是。【答案】【解析】解：当时，，在区间上为增函数，符合题意，当时，要使函数在区间上为增函数，则需满足且对称轴为，解得：，即，综上所述：实数的取值范围是：.2．（2021·金华市曙光学校）已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是【答案】【解析】因为函数满足对任意，都有成立所以在上单调递减所以，解得3．（2020·广东中山市）已知函数，对任意且，都有，则实数的取值范围是【答案】【解析】因为，所以函数为偶函数，又对任意，且，都有，可知在上单调递增，又时，，则在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，当时，，单调递增，当时，单调递减，故当时，取得极小值也是最小值，所求即．故答案为：，．4.（2020·湖南常德市一中）函数在上是减函数，则实数的范围是【答案】【解析】由得定义域为，又，因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，因此，解得.考法三利用单调性解不等式【例3】（2021·全国高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．(2)．（2021·河南）已知函数的定义域为，则不等式的解集为（）A． B． C． D．（3）（2021·江西高三）已知函数则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】(1）D（2）C（3）A【解析】的定义域为，由所以在上递减，又，所以不等式的解集是．故选：D（2）因为，可知在上单调递减，所以不等式成立，即.故选：C.（3）易得函数在R上单调递增，则由可得，解得，故不等式的解集为.故选：A．【方法总结】【方法总结】考查了解不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为的模型；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.【一隅三反】1．（2021·海南海口市·高三）已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得由，即，解得，，得所以在上单调递减，在上单调递增.由，又，，函数的图像如图.所以不等式的解集是故选：A2．（2021·安徽安庆市·高三二模）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为，∴，解得，∴的取值范围是．故选：A．3．（2021·西藏拉萨市·高三二模）已知函数，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】易知为上的奇函数，且在上单调递减，由，得，于是得，解得．故选：C．4．（2021·山东潍坊市·高三三模）设函数则不等式的解集为________．【答案】【解析】由函数解析式知在R上单调递增，且，则，由单调性知，解得故答案为：5．（2021·浙江）已知偶函数在上是减函数，且，则的解集__________【答案】【解析】因为是偶函数，且，所以，又在上是减函数，所以在上是增函数，①当时，由得，又由于在上为减函数，且，所以，得；②当时，由得，又，在上是增函数，所以，所以.综上，原不等式的解集为：.故答案为：.6．（2021·广东佛山市·高三二模）已知函数，则不等式的解集为____________.【答案】（1，1）【解析】根据题意，对于函数，都有，则函数为偶函数，函数，其导数，当时，则为增函数；又，由可得，所以，解得，即不等式的解集是（1，1）故答案为：（1，1）考法四利用单调性比较大小【例4】（1）（2021·江苏淮安市·高三二模）已知函数，设，，，则（） B． C． D．（2）（2021·四川资阳市）设曲线在处切线的斜率为，则（）A．B．C．D．【答案】（1）C（2）B【解析】（1），，∴，由函数解析式知：，即，又在上单调递增，∴.故选：C.（2），依题意可得.因为，，所以，从而.故选：B.【一隅三反】1．（2021·四川攀枝花市·高三三模）已知，，，且，则（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，，且，化为：，，，令，，，可得函数在上单调递增，在上单调递减，，且，∴，同理可得．可得，故选：D．2．（2021·江苏苏州市）若且，且，且，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】令()，则.由得：.∴函数在上单调递增，在上单调递减.∵，，，∴，，，∴，，.∵，∴，∴，又∵，，，∴c，a，b都小于e，∴.故选：B.3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得，∴，∴，即.由此可