310零点定理（精讲）

3.10零点定理（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考点一求零点【例1】（2020·福鼎市第二中学高三学业考试）函数的零点为（）A．0 B． C．2 D．【答案】C【解析】令，解得，故选：C【一隅三反】1．（2021·河南高三月考）已知函数的图象关于直线对称，则下面不是的零点为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，所以代入选项验证可知.都是函数的零点，不是函数的零点，故选：C.2．（2021·上海高三二模）函数的零点为___________．【答案】【解析】令，得，两边平方得：，解得，所以函数的零点为1.故答案为：1.3．（2021·黑龙江大庆市）函数是奇函数，则函数的零点是______.【答案】【解析】由奇函数知：，∴当时，则，故，∴，令，∴当时，；当时，；故答案为：.考点二零点区间【例2】（2021·北京清华附中高三）函数的零点一定位于区间（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得为连续函数，且在单调递增，，，，根据零点存在性定理，，所以零点一定位于区间.故选：C【方法总结】【方法总结】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断【一隅三反】1．（2021·宁夏高三）函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由为增函数，为增函数，故为增函数，由，，根据零点存在性定理可得使得，故选：B.2．（2021·全国高三专题练习）函数，则函数的零点所在区间是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数的图象在上连续，且函数在上单调递增，因为，，所以，，，因此，函数的零点所在的区间为.故选：C.3．（2021·新疆高三三模）函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上是增函数，，，，，，根据零点存在定理可知，零点在区间.故选：C.4．（2021·陕西西安市·西安中学）函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】：函数，画出与的图象，如下图：当时，，当时，，函数的零点所在的区间是．故选：D．考点三零点个数【例3】（1）（2021·全国高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6(2)（2021·上海市控江中学高三三模）方程在区间上的解的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】（1）C（2）C【解析】（1）因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图象，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图象，由y＝f(x)－log5|x|＝0，得f(x)＝log5|x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图象，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图象有5个交点，所以零点的个数为5.故选：C（2）原方程化为，在同一坐标系内作出函数图象与直线，如图：观察图象知：在时函数的图象与直线有8个公共点，所以方程在区间上8个解.故选：C【方法总结】【方法总结】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．【一隅三反】1．（2021·全国高三）函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由，得，作出函数与的图形如图，由图可知，函数的零点个数是2．故选：C．2．（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，由题设知，在上的图象如下图示，∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.故选：D.3．（2021·辽宁高三月考）已知的定义域为，且满足，若，则在内的零点个数为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，当时，，则，当时，，则，以此类推，当时，，且函数在区间上为增函数，，所以，函数在区间上有且只有一个零点，且，因此，在内的零点个数为.故选：B.4．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）已知函数是定义域为的奇函数.当时，，则函数在上的零点个数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，而函数是定义域为的奇函数，所以，故，又为R上的奇函数，故在与时零点个数相同，故只需研究时的情形，对，,在同一直角坐标系中作出与的图象，由图可知，时，函数图象有2个交点，所以总共有个零点故选：C考点四零点之和【例4】（1）（2021·全国高三）函数在上的所有零点之和为（）A． B． C． D．（2）（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考）已知函数，若函数与的图像相交于，两点，且，两点的横坐标分别为，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）D【解析】（1）令，得．分别画出函数的图象，由图可知，的对称轴为，的对称轴为．所以所有零点之和为．故选：B．（2）作出函数，的图象如图，不妨设，当经过点时，，联立得，所以；因为与的图象关于直线对称，而与垂直，所以，且.令，且，则易知为增函数，所以，因为，所以.故选：D.【一隅三反】1．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）函数在区间上的所有零点之和为（）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】由得，作出和的图象，如图，它们关于点对称，由图象可知它们在上有8个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以8个点的横坐标之和为．故选：D．2．（2021·贵州贵阳市）函数在区间上所有零点的和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】，令，则，则函数的零点就是和交点的横坐标，可得和的函数图象都关于对称，则交点也关于对称，画出两个函数的图象，观察图象可知，和在有8个交点，即有8个零点，且关于对称，故所有零点的和为.故选：D.3．（2021·全国高三）已知关于的方程有三个不同的根，分别为，则＝（）A．3 B．5 C． D．【答案】B【解析】令，如图所示：令，要使有不同的零点，则有2个不同的根，则或，或，或，故当时，，当时，，故关于的方程的其中1个根必须为2或﹣2，此时直线或直线时刚好与函数相切，当时，不合题意，由，得，若，则该方程无解，不合题意，由，得：，当，此时，不合题意，当，此时，解得：，由，当，解得：，当，整理得，故，故，故选：B．4．（2021·全国高三）已知函数则方程的所有实根之和为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以函数的图象关于点对称．显然不是方程的根，当时，原方程可变为，画出函数和的图象(如图所示)，由图知，二者仅有两个公共点设为，因为函数和的图象都关于点对称，所以关于点对称，所以，即故选：A考点五已知零点求参数【例5】（2021·浙江台州市·高三二模）若函数在上有两个不同的零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数在上有两个不同的零点等价于方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解.此问题等价于与有两个不同的交点.由下图可得.故选：D.【一隅三反】1．（2021·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）【答案】B【解析】因为为开口向上的抛物线，且对称轴为，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，所以，即，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B2．（2021·河南高三月考）已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】画出的函数图象，设，该直线恒过点，结合函数图象，可知若方程有四个不同的实数根，则且直线与曲线，，有两个不同的公共点，所以在内有两个不等实根，令，实数满足，解得，又，所以实数的取值范围是.故选：D.3．（2021·河南新乡市·高三三模））已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，故不是方程的根，当时，由得，，方程恰有两个不同的实根等价于直线y=a与函数的图像有两个不同的交点，作出函数的大致图像如图所示，由图可知，或.故选：C.4（2021·江西师大附中高三三模）已知同时满足以下条件：①当时，最小值为；②；若在有2个不同实根m，n，且，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数，的最大值为2，最小值为.当时，则分别在取得最大值和最小值.所以的最小值为，∴，函数．由，则的图象关于直线对称，故有，即，．由，则，函数．在有2个不同实根，，且，设，则在有2个不同实根则，由，则作出在的图象，如图.，且所以当时，直线与的图象有两个交点即方程有两个不等实根，且.所以当时，有两个不等实根，，且所以，故选：D．考点六二分法【例6】（2021·六盘山高级中学）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（）（参考数据：，，，，）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知：，，又因为函数在上连续，所以函数在区间上有零点，约为故选：C.【一隅三反】1．（2020·长沙市·湖南师大附中）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】根据题意，原来区间的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过n次操作后，区间的长度为，若，即.故选：B．2．（2020·海口市第四中学高三期中）用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，在上单调递增.∵，.∴根据函数的零点存在性定理得出：的零点在区间内；方程的解所在的区间为，故选：B.3．（2021·全国高三专题练习）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]【答案】C【解析】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C4．（2020·湖北黄冈市·高三）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】不是单调函数，，不能用二分法求零点；是单调函数，，能用二