期中解答压轴题 （四大模块十一大题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版）

第第页特训06期中解答压轴题（四大模块，十一大题型）目录：模块1：全等三角形（题型1：截长补短法）模块1：全等三角形（题型2：倍长中线法）模块1：全等三角形（题型3：情景探究题）模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型4：传统几何解答证明）模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型5：截长补短法）模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型6：定值问题）模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型7：角平分线中作垂线）模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型8：截长补短法）模块4：勾股定理在前两章的应用（题型9：折叠问题）模块4：勾股定理在前两章的应用（题型10：情景探究题）模块4：勾股定理在前两章的应用（题型11：三点共线的最值问题）模块1：全等三角形（题型1：截长补短法）1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，，点为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．(1)如图1，当点在线段上时，过点作于，直接写出，，的关系：______；(2)如图2，连接，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：；(3)当点在射线上时，连接交直线于，若，则的值为______．【答案】(1)(2)见解析(3)或【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质和线段的和差关系进行求解即可；（2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果；（3）分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，推出，，，可求得；二是点在线段上，设，则，推出，得到，，所以，即可．【解析】（1）解：，，，，，，又，，，，，，∴，∴，∵；（2）证明：如图2，过点作，，，，，，，又，，，，，，又，，，；（3）如图，当点在线段的延长线上时，连接交直线于，过点作，交的延长线于，，，设，则，，，，，，，，又，，，，，又，，，，，，，．如图4，点在线段上，过点作，同理可得：，设，则，，，，，，，综上所述，或，故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式，线段的和差关系，难度较大，属于压轴题，解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算．2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．(1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由．(2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．(3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．(4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明．【答案】(1)，理由见解析(2)仍成立，理由见解析(3)210海里(4)，理由见解析【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．（1）延长到，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论；（2）延长到，使，连接，证明，再证明，则结论可求；（3）连接，延长、交于点，利用已知条件得到：四边形中：，且，符合（2）具备的条件，则．（4）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．【解析】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，

在和中，，，，，∵，∴，即，∵，∴，在和中，，，，，；（2）解：仍成立，理由如下：如图2，延长到点，使，连接，

，，，在和中，，，，，，，．，，．在和中，，，，，；（3）解：连接，延长、交于点，如图3，

，，，，，在四边形中：，且，四边形符合（2）中的条件，结论成立，即（海里），答：此时两舰艇之间的距离是210海里．（4）解：结论：．理由：如图4，在延长线上取一点，使得，连接，

，，，即在和中，，，，，∵点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足（1）中的结论，即，∴在和中，，，，，，，即，．模块1：全等三角形（题型2：倍长中线法）3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考：(1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；(2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在中，是的三等分点．求证：．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)见解析【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．（1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可；（2）延长AD到，使得，连接BM，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得AD与的数量关系；（3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【解析】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接．∵AD是的中线，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∴，即，∴，故答案为：．（2），理由：如图2，延长AD到，使得，连接BM，由（1）知，，∴，∵，∴，∵，即，又∵，∴∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．（3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和，∵为中点，为三等分点，∴，∴，在和中，，∴,同理可得:,∴，此时,延长交于点，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．模块1：全等三角形（题型3：情景探究题）4．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）问题提出：．（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，P为上一点，当时，与是偏等积三角形；问题探究：（2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，则的长度为；问题解决：（3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由．【答案】（1）；（2）3；（3）是，理由见解析【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点为中点时，与面积相等，但此时与不全等，所以，与是偏等积三角形，则，于是得到答案；（2）先由与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，得，再证明，得，，由三角形的三边关系得，则，而是正整数，则；（3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点，交的延长线于点，可证明，得，即可证明与面积相等，从而证明与是偏等积三角形．【解析】解：（1）如图1，连接，与在、边上的高相等，当，与面积相等，，，，，，，与不全等，此时与是偏等积三角形，故答案为：．（2）如图2，与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，，，，在和中，，，，，，且，，，，线段的长度为正整数，，故答案为：3．（3）与是偏等积三角形，理由：如图3，，，，，，，，与不全等，作于点，交的延长线于点，则，，，在和中，，，，，与面积相等，与是偏等积三角形．【点睛】此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型4：传统几何解答证明）5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，为边的中点，点分别在射线上，且，连接．(1)如图1，当点分别在边和上时，连接，①判断的形状，并说明理由；②写出、和的关系，并说明理由；(2)探究：如图2，当点分别在边的延长线上时，写出、和的关系，并说明理由；(3)应用：若，，利用上面的结论，直接写出的面积：______．【答案】(1)①是等腰直角三角形，理由见解析；，理由见解析(2)，理由见解析(3)5或17【分析】本题主要等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，根据图形构造全等三角形成为解题的关键．（1）①如图：连接，再证明可得即可判断的形状；②根据，再结合图形即可解答；（2）如图：连接，即同（1）可证明，根据的性质结合图形即可解答；（3）根据（1），（2）中的结论，代入相关数据求解即可．【解析】（1）解：①是等腰直角三角形，理由如下：如图，连接，在中，，为边的中点，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．，∴，∵，∴是等腰直角三角形．②，理由如下：∵，∴，根据图中所示，，∵为边的中点，∴，∴．（2）解：，理由如下：如图，连接，在中，，为边的中点，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．，∴，根据图中所示可得：，∵为边的中点，∴，∴．（3）解：①如（1）中结论，∵，，∴，，∵，∴；②如（2）中结论，∵，，∴，，∵，∴故答案为：5或17．模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型5：截长补短法）6．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在中，，，，点D为外一点，且在右侧，上方，，连接，作，交于点F，(1)图1中与相等的角是________；(2)如图2，延长与射线相交于点E，①求的度数；②过点F作的平行线，交于点G，求的长．【答案】(1)；(2)①；②．【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质．（1）先证明，在和中，，，即可解答；（2）①由（1）证明是等腰直角三角形，即可解答；②过点B作交的延长线于N，连接，过点B作交于点M，证得，进而证得是等腰直角三角形，，即可解答．【解析】（1）解：∵，，∴，∴，设、交于点Q，在和中，，，∴，故答案为：；（2）①由（1）得，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴；②如图，过点B作交的延长线于N，连接，过点B作交于点M，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．7．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知为等腰三角形，，点P在线段上（不与B、C重合），以为腰作等腰直角，如图1，过Q作于E．(1)求证：；(2)连接交于M，探究线段与线段之间存在什么数量关系？并说明理由；(3)如图2．过点Q作交的延长线于点F，过点P作交于点D．连接．当点P在线段上运动时（不与B、C重合）．式子的值会变化吗？若不变，求出该值：若变化，请说明理由．【答案】(1)见详解(2)，理由见解答过程(3)式子的值不会变化，【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识．（1）根据题意得到，，，进而得到，即可证明；（2）根据得到，，进而证明，得到，即可证明，从而证明；（3）作交于点，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到．【解析】（1）证明：∵△为等腰三角形，，点在线段上（不与，重合），以为腰长作等腰直角△，于．，，，，在和中，，；（2）解：；理由如下：∵，，，∵，．在和中，，，，∵，，，；（3）解：式子的值不会变化，，理由如下：如图所示：作交于点，∵，，，，，，∵为等腰直角三角形，，在△和△中，，，，，∵为等腰直角三角形，，∴，∵，，在和中，，，，．模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型6：定值问题）8．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知中，，，为边上一点，点在延长线上，连接．(1)如图1，已知，，当时，求的面积；(2)如图2，过点作的垂线，分别交于点，过点作交于，连接，求的度数；(3)如图3，当点在上运动，且始终为时，过点作，垂足为，则的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若发生改变，说明理由．【答案】(1)(2)(3)不发生改变，2【分析】（1）由，，可得，由，可得，计算求解即可；（2）由，可得，由三角形内角和定理，对顶角相等可得，证明，则，进而可得是等腰直角三角形，；（3）如图，作交于点，同理（2）可证，，则，是等腰直角三角形，是的中点，，由，进而可求得，然后作答即可．【解析】（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的面积为；（2）解：∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，；（3）解：如图，作交于点，同理（2）可证，，∴，是等腰直角三角形，∵，∴是的中点，∴，∴，∴∴的值不发生改变，值为．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线与面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，中线与面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．9．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知等腰和等腰中，，．(1)如图（1），①若，，在等腰可绕点A旋转过程中，线段的最大值为______；②若，当B、D、E三点共线时，则的度数为______；(2)如图（2），若，且C与D重合，．当的大小在范围内之间任意改变，的度数是否随之改变？请说明理由；(3)在（2）的条件下，F是延长线上一点，且，连接，如图3，试探究之间的关系，并证明．【答案】(1)①10；②或(2)的度数不变，理由见解析(3)，理由见解析【分析】（1）①连接，由，得，则线段的最大值为10，于是得到问题的答案；②分两种情况讨论，一是、、三点共线，且点在线段上，设交于点，由，，，得，，可证明，得，所以，则，即可求得；二是、、三点共线，且点在线段上，设交于点，则，，可证明，得，于是得到问题的答案；（2）由，得，，则，所以的度数不变．（3）在线段上截取，连接，可证明是等边三角形，得，，由，得，则，再证明垂直平分，则，所以是等边三角形，则，，可推导出，即可证明，得，所以．【解析】（1）解：①如图（1），连接，，，，，，线段的最大值为10，故答案为：10．②如图（1）①，、、三点共线，且点在线段上，设交于点，，，，，，在和中，，，，，，，，；如图（1）②，、、三点共线，且点在线段上，设交AB于点，，，，，，在和中，，，，故答案为：或．（2）的度数不变，理由：，，，且与重合，，，，，，的度数不变．（3），证明：如图（3），在线段上截取，连接，，，是等边三角形，，，，，，，，点、点都在的垂直平分线上，垂直平分，，是等边三角形，，，，在和中，，，，．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型7：角平分线中作垂线）10．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上．(1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且．①求证：点D在的垂直平分线上；②________；(2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G．①________；②若，，求的长度；(3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________．【答案】(1)①见解析；②1(2)①；②(3)2或6．【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键．（1）①点D在的平分线所在的直线上,过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上；②通过证出，从而有，即可得出；（2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解；②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解；（3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可．【解析】（1）①证明：连接，∵点D在的平分线所在的直线上,过点D作于E，作交的延长线于F，∴，在和中，，∴，∴，∴点D在的垂直平分线上；②由①知：，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：1；（2）①∵平分，平分，，∴，即，∴，∵，即，∴；故答案为：；②延长交于H，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）当点D在内部时，如图：∵，∴，∴，点D到直线l的距离是；当点D在的下方时，如图：设点D到三边的距离为x，由题意得：，∴，∴，点D到直线l的距离是；综上，点D到直线l的距离是2或6．故答案为：2或6．模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型8：截长补短法）11．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．数学实验课上，小颖、小亮、小慧三位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作：(1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论；(2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，则___________．(3)如图3，小慧在的延长线上取一点，连接交延长线于点，延长到，连接交延长于点，测量发现，探究线段与的数量关系；【答案】(1)，证明见解析；(2)(3)见解析【分析】（1）根据垂直平分线的性质，即可得证；（2）设，则，根据折叠的性质，，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，列出方程，即可求解；（3）延长至，连接，使得，证明，即可得证．【解析】（1）证明：∵是的中线，∴，∵，∴垂直平分，∴；（2）解：∵，∴，设，则，∵平分，∴，∵折叠，∴，，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴，解得：，∴，∵是等腰三角形的中线，∴，∴，故答案为：；（3），证明如下，如图所示，延长至，连接，使得∵∴∴∴，又∵∴，∵，∴在中，∴∴【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，折叠问题，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．12．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，如图，在中，的垂直平分线与的角平分线交于点D，

(1)如图1，判断和之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若时，探究线段之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，在（2）的条件下，和的延长线交于点E，点F是上一点且，连接交于点G，若，求的长．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)4【分析】（1）过点D作于点G，于点H，根据角平分线的性质及垂直平分线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质及各角之间的关系即可证明；（2）在上截取，连接，根据各角之间的关系及等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质证明即可；（3）延长至点M，使，证明，可得，，可由得出结果．【解析】（1）解：，理由如下：如图1，过点D作于点G，于点H，

∵的垂直平分线与角平分线的交于点D，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即；（2），理由如下：如图2，在上截取，连接，

由（1）知，∴，∵，，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，又∵，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴．（3）由（2）知，如图3，延长至点M，使，

∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定与性质；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．13．（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．当点M、N分别在直线、上移动时，探究之间的数量关系以及的周长Q与等边的周长L的关系．

(1)如图①，当点M、N在边、上，且时，之间的数量关系式为______；此时的值是______；(2)如图②，当点M、N在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(3)如图③，当点M、N分别在边、的延长线上时，若，试用含x、L的代数式表示Q．【答案】(1)，(2)（1）问的两个结论仍然成立，证明见解析(3)，见解析【分析】（1）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系；（2）在的延长线上截取，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立；（3）在上截取，连接，可证，可得，然后证得，可证，即可得出．据此计算即可求解．【解析】（1）解：、、之间的数量关系，此时，理由如下：，，是等边三角形，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，；（2）解：猜想：结论仍然成立，证明：如图，在的延长线上截取，连接，

，，，，，，，，，，，，的周长为：，；（3）证明：如图，在上截取，连接，

同（2）可证，，，，，，又，，，，，．∵等边的周长为L，∴，的周长．故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法．模块4：勾股定理在前两章的应用（题型9：折叠问题）14．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．【初步感知】数学课上，同学们用纸片进行折纸操作．如图①，在中，，，．将沿着DE翻折，使点A落在AB边上的处，且，则______，______．【方法探索】折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．小明遇到这样一个问题：如图②，在中，，，CD平分，求证：．小明的思路如下：如图③，将沿CD翻折，使点落在边上的处，连接DE，（1）请完成小明的证明过程；（2）如图④，CD是AB边上的高线，其他条件不变，请你用刚刚获得的方法探索、AD、DB之间的数量关系，并直接写出它们之间的数量关系______．【思维拓展】如图⑤，在中，，，，、是边AB上的点，连接CD、CE，先将边沿CD折叠，使点的对称点落在边AB上：再将边沿CE折叠，使点的对称点落在的延长线上，则线段的长为______．【答案】[初步感知]，；[方法探索]（1）见证明：（2）．[思维拓展]0.8．【分析】[初步感知]根据轴对称的性质即可求得，，进一步即可求得，；[方法探索]（1）由，，得，由翻折得，，，则，所以，于是；（2）按照（1）的解题思路求得即可；[思维拓展]由和关于CD对称，和关于CE对称，可以推出是等腰直角三角形，由勾股定理，三角形面积公式可求出BD，CD长，从而可以解决问题．【解析】[初步感知]解：将沿着DE翻折，使点落在AB边上的处，且，则，，，，故答案为：，；[方法探索]（1）证明：如图③，将沿CD翻折，使点落在BD边上的处，由翻折得，，，，，，，，，，．（2）证明：如图④，由翻折得，，，，，，，，，，．故答案为：．思维拓展解：由题意可知：和关于CD对称，和关于CE对称，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，．故答案为：0.8．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．15．（23-24八年级上·江苏·期末）在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片，，，点是底边上一点．【换作探究】(1)如图，若，，连接，求的长度；(2)如图，若，连接，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点若所在的直线与的一边垂直，求的长；(3)如图，将沿所在直线翻折得到，边与边交于点，且，再将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点，与、分别交于，，若，请直接写出边的长．【答案】(1)(2)或或(3)【分析】（1）作于，求得，从而得出，，进而得出，进一步得出结果；（2）当时，连接，作于，依次得出，，，，，，从而，进一步得出结果；当时，设交于点交于，可推出，，从而，进一步得出结果；当时，可推出，从而，进一步得出结果；（3）可推出和及是直角三角形，且，，，进一步得出结果．【解析】（1）解：如图1，作于，，，，，，，，；（2）解：如图2，当时，连接，作于，由翻折得：，，，，，，，，，，由（1）知：，，；如图3，当时，设交于点交于，，，，，，，，，，，，如图4，当时，，，，，，综上所述：或或；（3）解：如图5，∵，，，，，，，将沿所在直线翻折得到，，，，，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．模块4：勾股定理在前两章的应用（题型10：情景探究题）16．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．(1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．(2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．(3)能力提高：如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为．【答案】(1)见解析(2)成立，理由见解析(3)24【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形．（）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解；（）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证；（3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可．【解析】（1）解：如图，延长到点，使，连接，在和中，，∴，∴，，，即，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）解：（）中的结论仍然成立．证明：如图中，延长至，使，连接，∵，，∴，在与中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在与中，，∴，∴，∵，∴；（3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、．∵，∴∵，∴，在和中∵∴∴，∴，∴，在和中∵，∴∴，，∴．故答案为：24．17．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到，依据是____________．A．

B．

C．

D．（2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（3）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．（4）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段三者之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）A（2）（3）（4）【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答；（2）根据三角形的三边关系计算；（3）延长到M，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答；（4）延长到点G，使，连接，证明，得到，根据勾股定理解答．【解析】问题情境：解：（1）在和中，，，故选：A；（2）由（1）得：，，在中，，即，，故答案为：；（3）解：延长到M，使，连接，如图②所示：，，是中线，，∵在和中，，，，，，，，；（4）解：线段之间的等量关系为：．理由如下：延长到点G，使，连接，如图③所示：，，∵D是的中点，，在和中，，，，，，，，，即，中，由勾股定理得：，．【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用等知识；熟练掌握三角形的三边关系和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．18．（23-24八年级上·江苏南京·期中）解决问题常常需要最近联想，迁移经验，例如研究直角三角形边的关系时需要想到……【经验积累】（1）如图①，中，，，则与的数量关系为_____．

【问题解决】用问题（1）中结论解决以下问题

（2）如图②，中，，，，求的长；（3）如图③，中，，，，，求长；【拓展提升】（4）如图④，中，，，，，，则______．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）10【分析】（1）由含角的直角三角形的性质可得出答案；（2）由含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理，则，再利用勾股定理可得出答案；（3）设，含角的直角三角形的性质得，由，，可知，进而可知，结合，求出即可得出答案；（4）过点作，使得，得等腰直角，证明，由全等三角形的性质得出，，由三角形的外角的性质得，求得，延长交于，证出，由勾股定理可得出答案．【解析】（1）解：∵，，∴；故答案为：；（2）过点A作于D，则，

中，∵，，∴则：中，∴（3）设，∵，，则，∴则，∵，，∴，∴，∴∴，∴．

（4）如图所示，过点C作，使得，得等腰直角，则，∴，∴，∵，，∴，∴，，三角形的外角的性质可得：，延长交于，，

则，在中，，，∴，则，∵，∴，中，，∴，故答案为：10．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，勾股定理，熟记直角三角形的性质及三角形全等的判定方法是解题的关键．19．（23-24八年级上·江苏扬州·期中