吉林省2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章3.2.1.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.2.若直线与直线平行，则（）A.B.C.1D.3.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.4.若构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是（）A.B.C.D.5.空间内有三点，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.6.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（）A.B.C.D.7.如图，在棱长为3的正四面体中，为的中心，为的中点，，则（）A.2B.3C.4D.68.如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在.，则半椭圆的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.若，则是椭圆，其焦点在轴上B.若，则是双曲线，其渐近线方程为C.若，则是椭圆，其离心率为D.若，则是双曲线，其离心率为10.已知球的半径为，则（）A.球的内接正方体的内切球表面积为B.球的内接正方体的内切球体积为C.球的内接正四面体的内切球半径为D.球的内接正四面体的内切球半径为11.如图，正方体的棱长为分别为的中点，为底面内的动点，且，则（）A.动点的轨迹长度为B.存在点，使异面直线与所成的角为C.点到平面的距离的最小值为D.点到平面的距离的最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平行六面体中，设，则__________.（用表示）13.若点在圆的外部，则正实数的取值范围是__________.14.已知圆，直线为直线上一动点，为圆上一动点，定点，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知直线，圆.（1）证明：直线与圆相交.（2）记直线与圆的交点为，求的最小值.16.（15分）已知椭圆的焦距为12，长半轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.17.（15分）如图，在体积为的三棱柱中，平面平面.（1）证明：平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）如图，在三棱台中，平面是棱的中点，为棱上一动点.（1）若，证明：平面.（2）是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由.19.（17分）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为.（1）证明：椭圆在点处的切线方程为.（2）求动点的轨迹的方程.（3）过点作斜率不为0的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上.高二数学试卷参考答案1.B直线的斜率为，所以倾斜角为.2.C因为，所以，所以或.当时，重合；当时，，符合题意.3.A向量在向量上的投影向量为.4.D因为，所以共面；因为，所以共面；因为，所以共面；因为不存在，使得，所以不共面.5.A因为，所以的一个单位方向向量为.因为，所以点到直线的距离为.6.C设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知，所以.当三点共线时，，所以的最小值为.7.B连接（图略）.因为.8.D（解法1）设，因为，所以.，所以.因为，所以.因为，所以解得.（解法2）设，因为，所以，所以.因为，所以.因为存在.，所以在上有解.因为，且，所以在上有解，即在上有解.因为，所以解得.9.ACD若，则的方程可整理成，其表示焦点在轴上的椭圆，所以A正确；若，则的方程可整理成，其表示双曲线，渐近线方程为，所以B不正确；若，则的方程可整理成，其表示椭圆，离心率为，所以C正确；若，则的方程可整理成，其表示双曲线，离心率为，所以D正确.10.BC对于A，B，设球的内接正方体的棱长为，则球的内接正方体的内切球半径，球的半径，所以，所以表面积，体积，故A不正确，B正确.对于C，D，设球的内接正四面体的棱长为，如图，可知.由，解得.因为球的内接正四面体的体积，球的内接正四面体的表面积，所以球的内接正四面体的内切球半径，故C正确，D不正确.11.ACD因为为底面内的动点，且，所以，所以动点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆落在底面内的部分，所以动点的轨迹长度为，故A正确.如图，建立空间直角坐标系，则，设，因为，所以.因为无解，所以不存在满足条件的点，故B错误.设平面的法向量为，因为，所以令，得.因为，所以点到平面的距离，当时，，所以C确.当或时，，所以D正确.12..13.由得.14.设点关于的对称点为，则解得即，所以.故的最小值为.15.（1）证明：将直线的方程整理得，令得即直线经过定点.将点的坐标代入圆的方程得，所以点在圆的内部，所以直线与圆相交.（2）解：圆的圆心为，半径为3.记点到直线的距离为，则.记点为，因为，所以.16.解：（1）由题意可知因为，所以椭圆的方程为.（2）设，则两式相减得，整理可得.因为线段的中点坐标为，所以，所以直线的斜率，故直线的方程为，即.17.（1）证明：取的中点，连接，由为正三角形，得.因为平面平面且交于，所以平面，即为该三棱柱的高.因为三棱柱的体积，且，所以.因为，所以，即.由平面平面且交于，可得平面.因为平面，所以.因为，所以在菱形中，.因为，所以平面.（2）解：如图，以为原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则.设平面的法向量为，因为.所以令，得.设平面的法向量为，因为，所以令，得.因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.解：如图，以为原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则.（1）证明：因为，则，设平面的法向量为，因为，所以令，得.因为，所以，所以平面.（2）解：设平面的法向量为，因为，，所以令，得.设，则，设平面的法向量为，因为，所以令，得.假设平面平面，则.由，解得，所以.设与平面所成的角为，则，所以存在，使平面平面，此时与平面所成角的正弦值为.19.（1）证明：联立方程组消去整理得，即，整理得