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2.2函数无穷小与极限

2.2.1函数在一点极限

在数轴上,常量对应于定点,变量对应于动点.我们用表示自变量x无限接近但不等于

即且动点x到定点的距离无限接近0.考察函数和

当时,

无限接近0,无限接近1,我们说当时函数的极限是

0,是无穷小,也称当时而函数的极限是

1.定义2.2(函数极限的定义)

有定义.有是无穷小.

记作假设当时,

则称当时的极限是0,

或称当时,如果A是常数,且

则称当时的极限是A,

记作由可得其中

C为正数.无穷小比较定理显然,

即当时,是无穷小.例2.3证明证因由有例2.4设证因由

有

证明练习证明证因而所以例2.5证因不妨设,

显然有,

证明即,

故.

对,

有

而所以我们用表示点x从的

右侧无限接近但不等于的过程.我们用表示点x从的

左侧无限接近但不等于的过程;单侧极限在定义2.2中,把分别改为与就得到

的数学定义,

分别称为f(x)在点的左极限与右极限.等价于

定理2.2(极限与左、右极限的关系)

注:也记成

也记成

例2.6证明不存在.由于左、右极限存在但不相等,证所以,不存在.2.2.2函数在无穷远的极限考察函数

我们用表示x无限地远离坐标原点,即无限增大的过程.

当时,无限增大,因此无限接近0,

我们说当时函数的极限是0,也称当时是无穷小.定义2.3(函数极限的定义)

有定义.有是无穷小.

记作假设当时,

则称当时的极限是0,

或称当时,如果A是常数,且

则称当时的极限是A,

记作的几何意义:之内.函数的图形完全落在带型区域比较法的思想同样可以研究自变量趋于无穷时由可得其中

C为常数.例2.7证明证由有函数的极限.其中n为正整数.

不妨设

当时,因例2.8证明证由有当时,不妨设

在定义2.3中,把分别改为与就得到

的数学定义.

等价于

例如,

因此

不存在.

2.2.3极限的性质证设取有即在

的空心邻域内有界.定理2.3(唯一性)若存在,则极限值是唯一的.定理2.4(局部有界性)

若存在,则在x0的某个空心邻域内有界.由极限的定义

于是定理2.5(局部保号性)

证只需证第一部分.

不妨设(1)若因即于是设则在

的某个空心邻域内与A同号.(2)如果在

的某个空心邻域内2.2.4

无穷大考察函数

当时的变化趋势.

任意给定的正数M,无论M多么大,

就有

我们称当时是无穷大量,简称无穷大.是无穷大,

是正无穷大,

定义2.4记作如果则称当时

不会和任意一个固定的常数无限接近,因而极限不存在.注意:当时是无穷大,

如果且

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