微积分 第3版 课件 8第二节 常数项级数的审敛法_第1页
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则称该级数称为正项级数.8.2.1正项级数及其审敛法由单调有界数列必有极限,

可得下面重要定理.显然,正项级数部分和数列单调增加.定理8.1正项级数收敛当且仅当它的部分和数列有界.8.2

常数项级数的审敛法定理8.2(比较审敛法)证即部分和数列有界,则收敛;(1)若收敛,(2)若发散,所以

收敛.且则发散.(2)

用反证法

若收敛,则由(1)可知也收敛,矛盾.故发散.解p-级数的部分和为由调和级数发散,例1讨论p-级数的敛散性(常数p>0).证明部分和数列有上界,有

发散.从而收敛.

等比数列

而重要参考级数:

几何级数,p-级数,

调和级数.通常取是敛散性已知的级数作为比较的标准,用于判断的收敛性.重要结果:例2

讨论下列级数的敛散性:解

(1)因由比较审敛法,级数(1)发散.(2)因

由比较审敛法,级数(2)收敛.定理8.3(p—级数审敛法)解(1)因故级数(1)发散.例3讨论下列级数的敛散性:(2)因故,级数(2)收敛.故,级数(4)收敛.(3)因(4)因故,级数(3)发散.定理8.4(达朗贝尔比值审敛法)

(1)当时级数收敛;设是正项级数,如果则(2)当时级数发散.证有即故原级数收敛.所以,当时,原级数发散.当时,比值审敛法的优点:不必找参考级数.注意:

当时,级数可能收敛也可能发散.2.若用比值判别法判定级数发散注:级数的通项un不趋于零.1.适用于或关于n的若干连乘积(或商)形式.例如,级数级数收敛3.条件是充分的,而非必要的.例如,所以,级数所以,不存在.解因例4判别级数的敛散性.故,原级数收敛.例5判别级数的敛散性.解当0<a<1时,收敛;当a>1时,发散;当

a=1时,原级数为收敛.正、负项相间的级数称为交错级数.8.2.2交错级数定理8.5(莱布尼兹定理)则级数收敛,即形如如果交错级数满足条件:分析:证证毕例如,都是收敛的交错级数.也是收敛的交错级数.余项注:比较un与un+1大小的方法有三种:(1)比值法,

??(3)由un找出一个连续可导函数考察?(2)差值法,

用莱布尼茨定理判别交错级数是否收敛时,要考察un与un+1大小.使得解所以,交错级数收敛.例6

判别级数

的敛散性.及交错级数满足条件例如,均条件收敛;定义

若

收敛,则称

为绝对收敛;而级数绝对收敛.正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.8.2.3绝对收敛与条件收敛任意项级数思想:正项级数若

收敛,而

发散,则称

为条件收敛.证又因注:

一个条件收敛的交错级数的所有奇数项所成的级数是发散的,所有偶数项所成的级数也是发散的.定理8.6

若级数绝对收敛,则级数一定收敛.通常先考查它若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项不趋对于交错级数,利用无穷级数的性质将级数拆开为如不是绝对收敛的,再看它是否条件收敛.便可断言级数发散.莱布尼茨定理.然后讨论敛散性也是常用手段.两个级数,讨论任意项级数的收敛性时,是否绝对收敛(用正项级数的审敛法),于零),

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