微积分第3版课件 2.6 无穷小的比较

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例如,当不可比.下面我们对无穷小趋于零的速度进行比较.观察各极限极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不存在,2.6

无穷小的比较定义2.8

(无穷小的阶的比较)

记作记作等价无穷小;是同阶无穷小;的高阶无穷小;例2.30证明当

证(1)因

(2)因(3)因例2.31常用等价无穷小:证明当

证(1)因

(2)令故(3)

由(2)有

再由(1)有

证因定理2.18

(无穷小的等价代换)意义:利用等价无穷小代换,可以简化极限的计算.

所以故解注意:无穷小的等价代换适用于乘、除情形,代数和的情形需慎用.例2.32用无穷小的等价代换求解解错例2.33

求性质:一个无穷小例如,当特别地,如果当时,是无穷小,习惯将同幂函数进行比较.

例2.34当时,试确定下列无穷小的阶数:

解(1)注:

如果用表示任意一种极限,包括六种情况下函数的极限和数列极限,

则可以用代替定义2.8和定理2.18中的即无穷小的等价代换仍然成立.解分子、分母同乘以因子

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