微积分 第3版 课件 4第四节 函数图形_第1页
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文档简介

4.4.1曲线的凹凸性及拐点左图中的曲线弧是向下凸的,它具有两个特征:

(1)连接曲线上任意两点的弦(2)曲线切线的斜率单调递增.

4.4

函数图形总位于这两点间的曲线弧的上方;

右图中的曲线弧是向上凸的,它具有两个特征:

(1)连接曲线上任意两点的弦(2)曲线切线的斜率单调递减.

有时把向下凸的弧称为凹的,而把向上凸的弧总位于这两点间的曲线弧下方;

称为凸的.曲线的这种性质称作曲线的凹凸性.

恒有设在区间I上连续,如果

恒有如果

定义1如果单调递增,

定义2设在区间I可导,如果单调递减,

在区间I是向上凸的,或称凸的.定理4.9

设解例4.30

判断曲线的凹凸性.解例4.31

判断曲线的凹凸性.解定义4.2连续曲线上凹凸性发生变化的点称为练习判断曲线的凹凸性.曲线的拐点.定理4.10(拐点的第一充分条件)

设函数在x0的某邻域内连续，在空心邻域内存在,(1)(2)定理4.11(拐点的第二充分条件)

曲线的拐点.解凹的凸的凹的拐点不是拐点例4.32求曲线的拐点及凹凸区间.

函数在其定义域内连续.不存在练习

证明证所以曲线在上是严格向下凸的.有即令1.垂直渐近线

(垂直于x轴的渐近线)4.4.2曲线的渐近线一条渐近线.移向无穷点时,如果点P到某定直线L的距离趋向于零,如果例如有两条垂直渐近线:2.水平渐近线

(平行于x轴的渐近线)例如有两条水平渐近线:如果3.斜渐近线斜渐近线求法如果或若且注意:解如果定义域为练习求的渐近线.不存在;不存在;可以断定不存在斜渐近线.所以,是曲线的垂直渐近线.所以,是曲线的一条斜渐近线.(1)确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.和拐点.(2)确定曲线的渐近线,把握函数的变化趋势.

确定曲线的凹凸性(4)适当计算曲线上一些点的坐标,如极值,拐点的坐标,注意曲线是否与坐标轴是否有交点.函数作图的具体步骤可归纳如下:

(3)求出函数的单调性和极值,例4.33描绘函数的图形.解函数非奇非偶.定义域为水平渐近线:垂直渐近线:无斜渐近线.极大值拐点列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:作图拐点极大值补充点水平渐近线:垂直渐近线:极大值拐点练习描绘函数的图形.解函数非奇非偶.定义域为水平渐近线:不存在拐点极小值间断点无斜渐近

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