2025版新教材高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语与不等式1.3等式不等式的性质与基本不等式学案新人教A版

1.3等式、不等式的性质与基本不等式必备学问预案自诊学问梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a(2)作商法a2.不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a.(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c.(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d.(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.(5)可乘方:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2).(6)可开方:a>b>0⇒na>nb(n∈N,3.基本不等式:ab(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当时,等号成立.

(3)其中a+b2叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,4.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,则(1)当积xy等于定值p时,那么当且仅当时,x+y有最值2p(简记:积定和最小).

(2)当和x+y等于定值s时,那么当且仅当时,xy有最值s24(简记:和定积最大)1.若a>b>0,m>0,则ba<b+ma+m;ba>2.a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.3.ab≤a+b22(a,b∈R),当且仅当a=b4.a2+b22≥a+b22(a5.ba+ab≥2(a,b同号),当且仅当a=b考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)a>b⇔ac2>bc2.()(2)a>b>0,c>d>0⇒ad>bc.(3)若a<b<0,则a2>ab>b2.()(4)两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的(5)y=sinx+4sinx(0<x<π)的最小值为4.(2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是()A.M>N B.M=NC.M<N D.与x有关3.设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论中正确的是()A.ad>bC.ac>bd D.a+c>b+d4.(2024山东潍坊临朐模拟一,3)设p:a,b是正实数,q:a+b>2ab,则()A.p是q的充分条件但不是必要条件B.p是q的必要条件但不是充分条件C.p是q的充要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件5.(2024山东淄博4月模拟,14)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为关键实力学案突破考点比较两个数(式)的大小【例1】(1)已知a,b∈(0,1),且a≠b,下列各式中最大的是()A.a2+b2 B.2abC.2ab D.a+b(2)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采纳配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.对点训练1(1)已知a>b>0,m>0,则()A.bB.bC.bD.ba(2)已知a,b是实数,且e<a<b,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是.

考点不等式的性质及应用【例2】(1)(2024北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是()A.b-a<c+a B.c2<abC.cb>c(2)(2024山西太原三模,理3)已知a>b>1,c<0,则()A.ca<cb B.C.ac<bc D.loga(b-c)>logb(a-c)解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;2.不等式两边都乘以一个负数时要变更不等号的方向;3.当不等式两边异号时,两边同时平方后不等号不确定;4.当ab>0时,对不等式a>b两边取倒数,即两边同乘以1ab,化简得1对点训练2(1)已知1a<1b<0,给出下列三个结论:①a2<b2;②ba+ab>2;③lga2>lgA.①② B.①③C.②③ D.①②③(2)(多选)(2024山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式中正确的是()A.log2(ab)>log2b2 B.ac2>bc2C.ba<1<ab D.12a>12b考点基本不等式及其应用(多考向探究)考向1利用基本不等式证明不等式【例3】已知a,b,c>0,且a+b+c=1,求证:(1)1a+(2)1a-11b-11c-1≥8.解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先视察题中要证明的不等式的形式,若不能干脆运用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能运用基本不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先视察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要留意1的代换.另外,解题中要时刻留意等号能否取到.对点训练3已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1+1a1+考向2求不含等式条件的最值问题【例4】(1)已知x>0,则函数y=4x2-xA.1 B.3 C.6 D.8(2)(2024山西运城期末,理15)对随意的θ∈0,π2,不等式1sin2θ+4cos2θ≥2x-解题心得1.应用基本不等式应留意:(1)在应用基本不等式求最值时,推断是否具备了应用基本不等式的条件,即“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”.2.在利用基本不等式求不含条件等式的最值时,先依据式子的特征敏捷变形,配凑出积或和为常数的等式,再利用基本不等式求最值.对点训练4(1)设x≥0,则函数y=(x+5)(x(2)若a,b∈R,ab>0,则a4+4b4考向3求含有等式条件的最值问题【例5】(1)若x>0,y>0,x+2y=1,则xy2x+yA.14 B.15 C.19(2)(2024天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+1解题心得1.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即依据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件敏捷变形,利用常数代换的方法构造积或和为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.求最值时要留意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.2.多次运用基本不等式求最值时,要留意只有同时满意等号成立的条件才能取得等号.对点训练5(1)(2024江西名校大联考,理11)若x>0,y>-1且满意2x+y=1,则2x2+1x+A.3 B.32+2 C.22(2)(2024辽宁试验中学五模,文9)已知实数x,y满意x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4考向4基本不等式的实际应用【例6】某厂家拟定在2024年实行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满意x=3-km+1(k为常数).假如不搞促销活动,那么该产品的年销量是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品须要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金(1)将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先细致阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.2.在求所列函数的最值时,当用基本不等式时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.3.在求函数的最值时,肯定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.对点训练6为改善实体店经营状况,某童装专卖店拟实行促销活动,经调查,该品牌童装的年销量x万件与年促销费用t(t≥0)万元满意x=4-32t+1,已知每年该专卖店的固定投入为7万元,每件童装进价为12元,销售价格定为212x+(1)将该专卖店2024年的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;(2)该专卖店2024年的年促销费用投入多少万元时,利润最大?1.3等式、不等式的性质与基本不等式必备学问·预案自诊学问梳理1.(1)>=<(2)>=<3.(2)a=b4.(1)x=y小(2)x=y大考点自诊1.(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×2.AM-N=x2+x+1=x+122+34>0,所以M>N.故选A.3.D因为a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,依据不等式的同向可加性,得a+c>b+d,故选D.4.D由a,b是正实数,不肯定得到a+b>2ab,如a=b=1;反之,由a+b>2ab,不肯定得到a,b是正实数,如a=1,b=0.所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.故选D.5.142a+18b=2a+2-3b≥22a-3b=22-6=2×2-3=2-2=14.当且仅当2a=2-3b关键实力·学案突破例1(1)D(2)B(1)∵a,b∈(0,1),且a≠b,则明显有a+b>2ab,a2+b2>2ab.下面比较a2+b2与a+b的大小.由于a,b∈(0,1),∴a2<a,b2<b,∴a2+b2<a+b.故各式中最大的是a+b.(2)(方法1)易知a,b,c都是正数,ba=3ln44ln3=log8164<1,所以a>b;bc=所以b>c.故c<b<a.(方法2)对于函数y=f(x)=lnxx,y'=1-lnxx2,易知当x>e时,因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即c<b<a.对点训练1(1)C(2)ab>ba(1)ba因为a>b>0,m>0,所以b-a<0,a+m>0,所以m(b-a)a(a+(2)令f(x)=lnxx,则f'(x)=1-lnxx2,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为e<a<b,所以f(a)>f(b),即lnaa>lnb例2(1)D(2)C(1)(方法1)依据数轴可得c<b<a<0,且|c|>|b|>|a|,对于A:因为c<b,a<0,所以c+a<c,b-a>b,则c+a<c<b<b-a,即c+a<b-a,故A错误;对于B:因为c<b<a<0,|c|>|b|>|a|,所以c2>b2>a2,且b2>ab,所以c2>b2>ab,即c2>ab,故B错误;对于C:因为b<a<0,所以1b>1a,则cb<ca,故C错误;对于D:因为|b|>|a|,且c<(方法2)不妨令c=-5,b=-4,a=-1,则c+a=-6<b-a=-3,故A错误;c2=25>ab=4,故B错误;cb=54<ca=5,故C错误;|b|c=-20<|a|c=-5,(2)由于a>b>1,所以0<1a<1b,又c<0,故ca>cb,选项A错误;当c=-2,a=4,b=3时,ca>cb,故选项B错误;由于a>b>1,c<0,故ac<bc,选项C正确;由于a>b>1,c<0,所以a-c>b-c,故loga(b-c)<logb(a-c对点训练2(1)A(2)AC(1)(方法1)∵1a<1b<∴a2<b2;∵ab>0,ba>0,∴ba+ab>2ba·ab=2;∵a<0,a-b>0,∴a2-ab=a(a-b)<0,∴(方法2)不妨设a=-1,b=-2,满意1a<1b<0.代入验证①(-1)2<(-2)2成立,代入②-2-1+-1-2=52>2成立,代入③lg(-1)(2)由a>b>0,得ab>b2,所以log2(ab)>log2b2,故A正确;因为c2≥0,当c2=0时,选项B不成立,故B不正确;由a>b>0,两边同乘1b,得ab>1,由a>b>0,两边同乘1a,得ba<1,由a>b,函数y=12x为减函数,得12a<12b,故D不正确.故选AC.例3证明(1)∵a,b,c>0,且a+b+c=1,∴1a+1b+1c=1a+1b+1c(a+b+c)=3+ba+ab+cb+bc+c当且仅当a=b=c=13时,等号成立(2)1a-11b-11c-1=a+b+ca-1a+b+cb-1a+b+cc-当且仅当a=b=c=13时,等号成立对点训练3证明(方法1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+1a=1+a+ba=2+ba.同理,1+1∴1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab≥5+4=9,当且仅当ba∴1+1a1+1b≥9,当且仅当a=b=(方法2)1+1a1+1b=1+1a+1b∵a,b为正数,a+b=1,∴ab≤a+b22=14,当且仅当a=b=12时,等号成立.于是1ab≥4,2因此1+1a1+1b≥当且仅当a=b=12时,等号成立例4(1)B(2)(-∞,5](1)因为x>0,所以函数y=4x2-x+1x=4x+1x-1≥当且仅当4x=1x,即x=12时,等号成立,即函数y取得最小值3.故选(2)不等式1sin2θ+4cos2θ≥2x-1恒成立,因为1sin2θ+4cos2θ=1sin2θ+4cos2θ·(sin2θ当且仅当cos2θ=2sin2θ=23时取得等号.则2x-1≤9,解得x≤5,故x的取值范围为(-∞,5]对点训练4(1)9(2)4(1)令x+1=t,则t≥1,y=(x+5)(x+2)x+1=(t+4)(t+1)t=t2+5t+4t=t+4(2)∵a,b∈R,且ab>0,∴a4+4b4+1ab当且仅当a2=2b2,4ab例5(1)C(2)4(1)由题意知xy2x+y=12y+1∴2y+1x=2y+1x(x+2y)=2xy+2yx+5当且仅当2xy=2yx,即x=y=13时,等号成立,所以(2)∵ab=1,∴b=1a∴12令1a+a=t>0,则原式=t2+8t≥当且仅当t2=16,即t