《2.6.2 圆与圆的位置关系》知识清单

《2.6.2圆与圆的位置关系》知识清单圆与圆的位置关系知识清单一、咱们为啥要研究圆与圆的位置关系呢？就像在生活中，我们会看到很多圆形的东西相互之间有不同的关系。比如说，游乐场里的摩天轮和旋转木马，它们就像是两个圆，有时候离得远，有时候离得近，这就是不同的位置关系呢。在数学里研究这个呀，能帮我们解决好多实际问题，比如建筑设计、机械制造之类的。二、圆与圆的位置关系有哪几种呢？1、相离外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部。就像两个不相关的呼啦圈，各自玩各自的，谁也不碰谁。设两圆的圆心距为\（d\），两圆半径分别为\（r_1\）和\（r_2\）（＼（r_1\neqr_2\）），当\（d＞r_1＋r_2\）时，两圆外离。内含：一个圆在另一个圆的内部，并且两圆没有公共点。这就好比小的呼啦圈在大的呼啦圈里面，而且它们之间还有空隙。当\（d＜＼vertr_1r_2\vert\）时，两圆内含（这里要注意\（r_1\neqr_2\），如果\（r_1＝r_2\）且\（d＝0\），那就是两个重合的圆啦，这种情况比较特殊哦）。2、相切外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的外部。就像两个相切的硬币，只有边缘的一个点挨在一起。当\（d=r_1＋r_2\）时，两圆外切。内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，一个圆在另一个圆的内部。这就像是一个小盘子放在大盘子里，刚好边缘有一个点重合。当\（d=＼vertr_1r_2\vert\）时，两圆内切。3、相交：两个圆有两个公共点。这就像两个有部分重叠的披萨，中间有一块是共同的部分。当\（＼vertr_1r_2\vert<d<r_1＋r_2\）时，两圆相交。三、怎么判断圆与圆的位置关系呢？1、几何法首先，我们要知道两圆的圆心坐标\（（x_1,y_1)＼）和\（（x_2,y_2)＼），然后计算圆心距\（d=＼sqrt{（x_2x_1)＾2+（y_2y_1)＾2}＼）。然后再根据前面说的\（d\）与\（r_1\）、＼（r_2\）的关系来判断两圆的位置关系。比如说，有两个圆，圆\（C_1\）的圆心坐标是\（（1,2)＼），半径\（r_1＝3\），圆\（C_2\）的圆心坐标是\（（4,6)＼），半径\（r_2＝2\）。那我们先计算圆心距\（d=＼sqrt{（41)＾2+（62)＾2}＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）。因为\（r_1+r_2=3＋2=5\），所以这两个圆是外切的关系。2、代数法把两个圆的方程联立起来。设圆\（C_1\）：＼（（xa_1)＾2+（yb_1)＾2=r_1^2\），圆\（C_2\）：＼（（xa_2)＾2+（yb_2)＾2=r_2^2\）。将两圆方程相减，得到一个二元一次方程。然后通过这个方程的解的情况来判断两圆的位置关系。如果这个方程有两组不同的解，那两圆相交；如果只有一组解，两圆相切；如果没有解，两圆相离或者内含。四、两圆位置关系中的一些特殊情况1、公切线的条数当两圆外离时，有四条公切线。就像两个离得远远的呼啦圈，从外面可以画四条线把它们连起来，而且这些线都和两个圆相切。当两圆外切时，有三条公切线。那两个相切的硬币，除了切点那条公切线，外面还可以画两条公切线。当两圆相交时，有两条公切线。就像两个有部分重叠的披萨，从它们相交的部分外面可以画两条公切线。当两圆内切时，有一条公切线。小盘子放在大盘子里，只有边缘相切的那一条公切线。当两圆内含时，没有公切线。因为一个圆在另一个圆里面，根本找不到同时和两个圆相切的线。2、圆心距与公切线的关系公切线的长度也和圆心距有关系哦。比如对于外切的两个圆，公切线的长度可以通过直角三角形的关系来计算。设两圆半径为\（r_1\）和\（r_2\），圆心距为\（d\），外切时公切线长\（l=＼sqrt{d^2-（r_1r_2)＾2}＼）（这里是外切情况的公式哦）。五、圆与圆位置关系在实际中的应用1、工程制图在工程制图里，经常会遇到一些零件是圆形或者有圆形的部分。比如说机械零件里的齿轮，有时候会有多个齿轮相互配合。这些齿轮就可以看作是一个个的圆，它们之间的位置关系必须精确设计，不然齿轮就不能很好地运转。如果两个齿轮的圆心距计算错误，可能会导致齿轮无法咬合或者磨损严重。就像我有一次看到一个小的机械模型，里面的齿轮装配得不好，转起来磕磕巴巴的，后来发现就是因为设计的时候没有准确考虑齿轮（圆）之间的位置关系。2、城市规划在城市规划中，圆形的建筑或者区域之间也存在位置关系。比如公园里的圆形花坛和圆形的喷泉池。如果要在它们之间修建小路或者布置景观灯，就需要考虑它们的位置关系。要是两个圆形区域相交，那在相交的部分布置景观可能会有独特的效果；如果是相离，那就要考虑怎样让连接它们的小路设计得更美观合理。六、习题1、已知圆\（C_1\）：＼（（x2)＾2+（y＋3)＾2＝4\），圆\（C_2\）：＼（（x＋1)＾2+（y1)＾2＝9\），判断两圆的位置关系。2、两圆\（x^2+y^22x+4y20＝0\）和\（x^2+y^2+4x8y16＝0\），求它们的圆心距以及公切线的条数。3、一个圆的圆心在\（（3,2)＼），半径为\（5\），另一个圆的圆心在\（（1,4)＼），半径为\（3\），求两圆的位置关系以及公切线的长度（如果有公切线的话）。七、习题答案1、对于圆\（C_1\），圆心坐标\（（2,－3)＼），半径\（r_1＝2\）；圆\（C_2\），圆心坐标\（（1,1)＼），半径\（r_2＝3\）。计算圆心距\（d=＼sqrt{（12)＾2+（1＋3)＾2}＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）。因为\（r_1+r_2=2＋3=5\），所以两圆外切。2、先把圆方程化为标准方程。圆\（x^2+y^22x+4y20＝0\）可化为\（（x1)＾2+（y＋2)＾2＝25\），圆心坐标\（（1,－2)＼），半径\（r_1＝5\）。圆\（x^2+y^2+4x8y16＝0\）可化为\（（x＋2)＾2+（y4)＾2＝36\），圆心坐标\（（2,4)＼），半径\（r_2＝6\）。计算圆心距\（d=＼sqrt{（21)＾2+（4＋2)＾2}＝＼sqrt{9＋36}＝＼sqrt{45}＝3\sqrt{5}＼）。因为\（＼vertr_1r_2\vert=＼vert56\vert＝1\），＼（r_1+r_2=5＋6＝11\），＼（1<3\sqrt{5}＜11\），所以两圆相交，公切线有两条。3、已知圆\（C_1\）圆心\（（3,－2)＼），半径\（r_1＝5\）；圆\（C_2\）圆心\（（1,4)＼），半径\（r_2＝3\）。计算圆心距\（d=＼sqrt{（13)＾2+（4＋2)＾2}＝＼sqrt{16＋36}＝＼sqrt{52}＝2\sqrt{13}＼）。因为\（r_1+r_2=5＋3＝8\），＼（＼vert