《12.3 一次函数与二元一次方程》知识清单

《12.3一次函数与二元一次方程》知识清单初中沪科版（2012）八年级上册第12章12.3一次函数与二元一次方程知识清单一、一次函数与二元一次方程的联系1、从方程到函数我们先来看一个二元一次方程，比如说2x＋y=5。我们可以把这个方程变形为y＝2x+5。这时候你发现没，这个式子就变成了一次函数的形式。就好像把一个藏在幕后的演员拉到了台前，换了个身份一样。真实体验：我有一次在整理旧书的时候，发现一本数学练习册，里面有很多这种二元一次方程的题目。我就突发奇想，把这些方程都试着变成函数形式，就像给它们换了一身新衣服。结果发现这样看问题的角度完全不一样了，以前觉得很复杂的方程，变成函数后好像变得更直观了。2、解的联系二元一次方程的解呢，就和一次函数图象上的点是对应的。比如说方程xy＝3，它的一个解是x＝4,y＝1。那在一次函数y=x3的图象上，点（4,1)就在这个图象上。这就像是一对对的小伙伴，方程的解和函数图象上的点手拉手。举个例子，就像我们在教室里给每个同学安排座位一样。方程的解就像是同学的名字，函数图象上的点就像是座位的坐标。一个同学只能坐在一个对应的座位上，方程的一个解也只能对应函数图象上的一个点。二、一次函数图象与二元一次方程组1、方程组的解与图象交点对于二元一次方程组，比如说＼（＼begin{cases}y＝2x+1\＼y=x＋4\end{cases}＼），这个方程组的解就是这两个一次函数y＝2x+1和y=x＋4图象的交点坐标。你可以想象成两条小路在某个地方交汇了，这个交汇点的坐标就是方程组的解。我记得有一次去爬山，山上有很多小路。我从一条小路往上走，我的朋友从另一条小路往上走，最后我们在一个观景台相遇了。这个观景台就像是函数图象的交点，我们的出发点和路线就像是两个不同的函数，而我们相遇的这个点就是方程组的解。2、用图象法解方程组我们先画出两个一次函数的图象。比如上面那个方程组，画出y＝2x+1和y=x＋4的图象。然后找到它们的交点。这个交点的横纵坐标就是方程组的解。不过呢，这种方法有时候不太精确，就像你用眼睛估计距离一样，可能会有一点小误差。就像我们在做手工的时候，想要把两根纸条交叉粘在一起，我们得先找到它们交叉的位置。画函数图象解方程组就有点像这个过程，我们要在坐标纸上找到两个函数图象交叉的那个小方格的坐标。三、一次函数与二元一次方程（组）的应用1、实际问题中的方程与函数在实际生活中，很多问题既可以用二元一次方程来解决，也可以用一次函数来解决。比如说，有个商店卖两种文具，铅笔和笔记本。铅笔每支2元，笔记本每本5元。我们知道一共卖了30元，设铅笔卖了x支，笔记本卖了y本，那么就可以列出方程2x＋5y=30。如果我们把这个方程变形为y=＼frac{302x}｛5}，这就成了一次函数。我曾经去文具店买东西，就遇到类似的情况。我想买一些笔和本子，我知道我带了多少钱，也知道笔和本子的单价，我就在心里算着，怎么搭配才能把钱正好花完呢。这就像在解那个二元一次方程一样。2、用函数图象解决实际问题还是上面文具店的例子，我们可以把这个函数y=＼frac{302x}｛5}的图象画出来。然后根据图象来分析不同情况下铅笔和笔记本的销售数量。比如说，从图象上我们可以很直观地看到，当x＝0时，y＝6，这就表示如果不买铅笔，可以买6本笔记本。就像看地图一样，图象就像是一张特殊的地图，上面标记着不同情况下的信息。我们可以通过看这张“地图”，找到我们想要的答案。四、重点知识点总结1、方程与函数的转换二元一次方程可以通过变形转化为一次函数。这个过程很重要哦，就像变形金刚一样，一个东西可以变成另一个样子，但本质还是有联系的。重点记住变形的方法，把方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，就得到了函数形式。例如，对于方程3x2y＝6，我们可以变形为y=＼frac{3x6}｛2}。2、解的对应关系二元一次方程（组）的解与一次函数图象上的点（交点）是一一对应的。这就像钥匙和锁的关系，一把钥匙只能开一把锁。在解题的时候，要能灵活地在方程的解和函数图象的点之间转换思维。比如，对于方程组＼（＼begin{cases}y＝3x1\＼y=－2x＋4\end{cases}＼），先求出函数y＝3x1和y=－2x＋4的交点，这个交点的坐标就是方程组的解。3、图象法解题用图象法解二元一次方程组的时候，要准确地画出函数图象。这就需要我们掌握好一次函数图象的画法，比如确定两个点就能画出一条直线。但是要注意图象法可能存在误差，有时候需要用代数法来精确求解。像画y＝x+2和y＝2x+5的图象来解方程组，我们可以先找到y＝x+2上的两个点，比如当x＝0时，y＝2；当x＝2时，y＝0。然后画出直线，同样画出y＝2x+5的图象，找到交点。五、相关习题1、已知二元一次方程4x3y＝9，将其转化为一次函数形式。2、对于方程组＼（＼begin{cases}y＝2x3\＼y=x＋3\end{cases}＼），用图象法求解，并与代数法求解的结果进行对比。3、在一个应用题中，甲种商品单价为3元，乙种商品单价为4元，一共花费50元，设甲种商品买了x件，乙种商品买了y件。列出二元一次方程并转化为一次函数形式，然后画出函数图象，分析当x＝10时，y的值是多少。习题答案：1、对于方程4x3y＝9，变形为一次函数形式为y=＼frac{4x9}｛3}。2、代数法：将方程组＼（＼begin{cases}y＝2x3\＼y=x＋3\end{cases}＼）中的两个方程联立，即2x3=x＋3，移项可得2x+x＝3＋3，3x＝6，解得x＝2，把x＝2代入y=x＋3得y＝1。图象法：先画出y＝2x3和y=x＋3的图象。对于y＝2x3，当x＝0时，y=－3；当y＝0时，x=＼frac{3}｛2}。对于y=x＋3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时