《二项式定理的推导》学历案

《二项式定理的推导》学历案2023学年下高中数学（北师大版2019选择性必修第一册）学历案班级：[具体班级]姓名：[姓名]学号：[学号]【学习主题】4.1二项式定理的推导【课时】1课时【课标要求】理解二项式定理，能用计数原理证明二项式定理。【学习目标】1、能够说出二项式定理的内容，就像能清楚说出自己最喜欢的歌的歌词一样准确。2、理解二项式定理推导过程中所用到的计数原理，就像理解游戏规则一样透彻。3、会用二项式定理解决一些简单的计算问题，就像会用钥匙开锁一样熟练。【评价任务】(1)完成任务1中的问题1-3指向检测目标1；(2)完成任务2中的问题1-2指向检测目标2；(3)完成任务3中的问题1-3指向检测目标3。【学习过程】一、趣味导入：猜数字游戏同学们，咱们来玩个猜数字游戏。我心里想了一个数，这个数可以写成两个数相加的形式，比如说(a+b)，然后这个数的平方展开后会有好几项呢。你们猜猜展开后会是什么样的？这就和我们今天要学的二项式定理有点关系哦。就像探索一个神秘的宝藏，这个游戏是我们寻找宝藏的第一步。二、复习回顾1、咱们先来复习一下组合数的概念。组合数就是从n个不同元素中取出m个元素的组合的个数，用C(n,m)表示。比如说，从5个不同的球里选2个球的组合数，就是计算有多少种不同的选法。2、再回忆一下乘法原理和加法原理。乘法原理就像是我们搭配衣服，上衣有3件，裤子有4条，那么搭配的总方法数就是3乘以4。加法原理呢，就像是我们从家到学校有两条路可以走，这两条路的走法是相互独立的，那么总的走法就是这两条路走法的和。【任务一】二项式定理的内容指向检测目标11、咱们从一个简单的例子开始探索。比如说(a+b)^2，我们可以根据乘法分配律把它展开：-(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^2+2ab+b^2。-那这里的系数2是怎么来的呢？我们可以这样想，在展开式中a^2是由两个a相乘得到的，也就是从两个(a+b)中都选a，这只有1种选法；而ab是从一个(a+b)中选a，从另一个中选b，根据乘法原理，选法有2种；同理，b^2是从两个(a+b)中都选b，也只有1种选法。这就和组合数有点联系了哦。2、再来看(a+b)^3的展开：-(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)。-展开后是a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。这里的系数3呢？对于a^2b，我们是从3个(a+b)中选2个a和1个b，根据组合数的定义，选法有C(3,2)=3种；同理，对于ab^2，是从3个(a+b)中选1个a和2个b，选法有C(3,1)=3种。3、现在咱们来猜一猜(a+b)^n展开式的样子。根据前面的例子，我们可以推测出展开式应该是这样的形式：-(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n)b^n。这就是二项式定理的内容啦。【任务二】二项式定理的推导原理指向检测目标21、咱们来深入理解一下这个定理的推导原理。还是以(a+b)^n为例。-当我们把(a+b)^n=(a+b)(a+b)...(a+b)(n个(a+b))展开时，每一项都是从这n个因式中选a或者b相乘得到的。-比如说，对于项a^(n-k)b^k，我们是从n个因式中选k个b，剩下的(n-k)个选a。根据组合数的定义，这样的选法有C(n,k)种，所以这一项的系数就是C(n,k)。这就像我们在分糖果，n颗糖果里选k颗某种口味的糖果，有多种不同的选法一样。2、再举个生活中的例子。假设我们有n个不同颜色的球，要把它们分成两组，一组有k个球，另一组有(n-k)个球。那么分法的数量就和二项式展开式中的系数计算是类似的原理。这就帮助我们更好地理解为什么二项式定理的系数是由组合数来确定的。【任务三】二项式定理的简单应用指向检测目标31、计算(2+x)^5。-根据二项式定理，我们有：-(2+x)^5=C(5,0)2^5+C(5,1)2^4x+C(5,2)2^3x^2+C(5,3)2^2x^3+C(5,4)2x^4+C(5,5)x^5-计算各项系数：-C(5,0)=1，C(5,1)=5，C(5,2)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10，C(5,3)=10，C(5,4)=5，C(5,5)=1。-所以展开式为：-(2+x)^5=32+80x+80x^2+40x^3+10x^4+x^5。2、求(1-3x)^4展开式中x^2的系数。-首先根据二项式定理展开：-(1-3x)^4=C(4,0)1^4+C(4,1)1^3(-3x)+C(4,2)1^2(-3x)^2+C(4,3)1(-3x)^3+C(4,4)(-3x)^4。-对于x^2项，是在C(4,2)1^2(-3x)^2这一项中。-计算C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=6。-所以x^2的系数为C(4,2)(-3)^2=6\times9=54。3、咱们再来看一个实际问题。假设有一个投资项目，初始投资为a元，每年的收益率为b（这里b是一个百分数，要写成小数形式哦），投资n年后的总金额可以用二项式定理来近似计算。-根据二项式定理，总金额近似为：-(a+ab)^n=a^n(1+b)^n=a^n(C(n,0)+C(n,1)b+C(n,2)b^2+...+C(n,n)b^n)。这就可以帮助我们估算投资的收益情况啦。【检测与作业】指向检测目标2、31、写出(3+x)^4的展开式。2、求(2-x)^6展开式中x^3的系数。3、在一个化学反应中，某种物质的初始量为100克，每次反应会有20%的转化量，经过3次反应后，剩余量可以用二项式定理来计算。请计算剩余量（精确到0.1克）。4、探索性作业：自己找一个可以用二项式定理解决的实际问题，比如商品的折扣计算等，然后写出计算过程。【学后反思】同学们，今天我们学习了二项式定理的推导。在这个过程中，我们从简单的例子开始，逐步深入理解了定理的内容、推导原理