2020-2021学年高中数学-第一章-推理与证明-1.3-反证法课时素养评价北师大版选修2-2

2020-2021学年高中数学第一章推理与证明1.3反证法课时素养评价北师大版选修2-22020-2021学年高中数学第一章推理与证明1.3反证法课时素养评价北师大版选修2-22021学年高中数学第一章推理与证明1.3反证法课时素养评价北师大版选修2-22020-2021学年高中数学第一章推理与证明1.3反证法课时素养评价北师大版选修2-2年级：姓名：课时素养评价五反证法(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾.其中正确的为 ()A.①② B.②③ C.③④ D.①②③④【解析】选D.利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.①与已知条件矛盾；正确.②与假设矛盾；正确.③与定义、公理、定理矛盾；正确.④与事实矛盾.正确.2.小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一名.根据以上信息可以判断出得第一名的人是 ()A.小明 B.小马 C.小红 D.小方【解析】选A.假设第一名是小方，则小方、小明、小马说的都是真话，小红说的是假话，不合题意；假设第一名是小明，则只有小明说的是真话，另外三人说的都是假话，符合题意；假设第一名是小马，则小方、小红说的都是假话，小马、小明说的是真话，不合题意；假设第一名是小红，则小方、小明说的是假话，小马和小红说的是真话，不合题意.3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么直线c与b的位置关系为()A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线【解析】选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.4.已知x1>0，x1≠1且xn+1=QUOTE(n=1，2，…)，试证：数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn+1，当此题用反证法否定结论时应为 ()A.对任意的正整数n，有xn=xn+1B.存在正整数n，使xn=xn+1C.存在正整数n，使xn≥xn+1D.存在正整数n，使xn≤xn+1【解析】选D.任意的否定为存在，xn>xn+1的否定为xn≤xn+1.二、填空题(每小题5分，共10分)5.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________.

【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.答案：没有一个是三角形或四边形或五边形6.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是__________________.

【解析】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角.答案：“三角形中最少有两个内角是直角”三、解答题(每小题10分，共20分)7.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数.求证f(x)=0无整数根.【证明】设f(x)=0有一个整数根k，则ak2+bk=-c.①又因为f(0)=c，f(1)=a+b+c均为奇数，所以a+b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k=2n+1(n∈Z)，则ak2+bk=(2n+1)·(2na+a+b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)=0无整数根.8.已知函数f(x)=ax+QUOTE(a>1)，用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.【证明】假设方程f(x)=0有负数根，设为x0(x0≠-1).则有x0<0，且f(x0)=0.所以QUOTE+QUOTE=0，所以QUOTE=-QUOTE.因为a>1，所以0<QUOTE<1，所以0<-QUOTE<1.解上述不等式，得QUOTE<x0<2.这与假设x0<0矛盾.故方程f(x)=0没有负数根.(15分钟·30分)1.(5分)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要作的假设是 ()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.结论“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根.”2.(5分)设x，y，z均为正数，a=x+QUOTE，b=y+QUOTE，c=z+QUOTE，则a，b，c三个数()A.至少有一个不大于2 B.都小于2C.至少有一个不小于2 D.都大于2【解析】选C.假设a，b，c都小于2，则a+b+c<6，而a+b+c=x+QUOTE+y+QUOTE+z+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥2+2+2=6，与a+b+c<6矛盾，所以a，b，c都小于2错误.所以a，b，c三个数至少有一个不小于2.3.(5分)若a，b，c，d都是有理数，QUOTE，QUOTE都是无理数，且a+QUOTE=b+QUOTE，则a与b，c与d之间的数量关系为_________.

【解析】假设a≠b，令a=b+m(m是不等于零的有理数)，于是b+m+QUOTE=b+QUOTE，所以m+QUOTE=QUOTE，两边平方整理得QUOTE=QUOTE.左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此a=b，从而c=d.答案：a=b，c=d4.(5分)某班有49位学生，用反证法证明：至少有5位学生的生日在同一个月.完善下列证明过程：【证明】假设至多只有_________位学生的生日在同一个月，即生日同在1，2，3，…，12月的学生人数都不超过_________人，所以该班学生总数m≤_________人，与该班有49位学生的条件矛盾，所以假设不成立，原命题成立.

【解析】“至少有5位学生的生日在同一个月”的否定为“至多只有4位学生的生日在同一个月”，即生日同在1，2，3，…，12月的学生人数都不超过4人，所以该班学生总数m≤4×12=48人.答案：44485.(10分)已知f(x)=x2+px+q.(1)求证：f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于QUOTE.【证明】(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于QUOTE不成立，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于QUOTE，则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2，而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2，这与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2相矛盾，从而假设不成立，原命题成立，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于QUOTE.1.某市在今年高中学生足球联赛分组中，通过抽签方式，把甲、乙、丙、丁四支队伍分到编号为1，2，3，4的四个小组中作为种子队(每组有且只有一个种子队).A，B，C，D四位学生进行如下预测：A预测：乙队在第1小组，丙队在第3小组；B预测：乙队在第2小组，丁队在第3小组；C预测：丁队在第4小组，丙队在第2小组；D预测：甲队在第4小组，丙队在第3小组.如果A，B，C，D四位学生每人的预测都只对了一半，那么在第3小组和第4小组的种子队分别是 ()A.丁在第3小组，丙在第4小组或甲在第3小组，丁在第4小组B.丙在第3小组，丁在第4小组或甲在第3小组，丁在第4小组C.丁在第3小组，丙在第4小组或丁在第3小组，甲在第4小组D.丙在第3小组，丁在第4小组或丁在第3小组，甲在第4小组【解析】选D.A，B，C，D四位学生每人的预测都只对了一半，假设丁在第3小组，由B的预测可得乙不在第2小组，由C的预测可得丙在第2小组，由A的预测可得乙在第1小组，由D的预测可得甲在第4小组，符合题意，可得甲在第4小组，乙在第1小组，丙在第2小组，丁在第3小组；假设丁在第4小组，由B的预测可得乙在第2小组，由C的预测可得丙不在第2小组，由A的预测可得丙在第3小组，由D的预测可得甲不在第4小组，符合题意，可得甲在第1小组，乙在第2小组，丙在第3小组，丁在第4小组.2.设{an}是公比为q的等比数列.(1)推导数列{an}的前n项和公式.(2)设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列.【解析】(1)设数列{an}的前n项和为Sn，当q=1时，Sn=a1+a1+…+a1=na1.当q≠1时，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn，②由①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn所以Sn=QUOTE，综上所述，Sn=QUOTE(2)假设