1.3.1函数的单调性 (上课用)

1.3.1函数的单调性(上课用)复习函数如图为某市某日24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：情景引入24681012141618202224246810t/hw/

CO–2区间定义下列函数有哪些变化规律思考xO50100y24-2-4-50-100xOy12-1-2-2-4-6246xOy12-1-212334-4-35-1645-5新课引入考察图象的升降规律练习观察下列函数的图象，回答当自变量x的值增大时,函数值f(x)是如何变化的？学习新课xyO-111xOy124-1-21(1)f(x)=x,(2)f(x)=x2课本例题在(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小当x增大时f(x)随着增大函数在R上是增函数函数在(-∞,0]上是减函数在(0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大函数在(0,+∞)上是增函数O2xy114-1-2xyO-111f(x)=xf(x)=x2这些性质如何从表达式反映出来补充练习

对于函数

f(x)=x2则f(x1)=

,f(x2)=

.x12x22就说函数

f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数.任意

x1＜x2,都有x12＜x22.任意

x1＜x2,都有f(x1)＜f(x2)xOyx1x2f(x1)f(x2)在(0,+∞)上任取x1、x2,补抽象函数的定义域如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1

、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.1.定义一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1

、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.任意x1、x2的三大特征：①属于同一区间②任意性③有大小:通常规定x1＜x2某个区间D某个区间D任意xOyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)xOyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)课本例题如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.解:函数y=f(x)的单调区间有[–5,–2),[–2,1),[1,3),[3,5].逗号隔开其中y=f(x)在区间[–2,1),[3,5]上是增函数；说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.在区间[–5,–2),[1,3)上是减函数.例1如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数？-432154312-1-2-1-5-3-2xyOy=f(x)补抽象函数的定义域分析：利用定义进行证明，思考书写步骤证:任取V1,V2∈(0,+∞),且V1＜V2，则∴

即p(V1)＞p(V2).∴p(V1)–

p(V2)＞0,作差变形判断差符号下结论∵0＜V1＜V2，且k＞0设值例2证明函数(k为正常数)在区间(0,+∞)上是减函数.∴

在区间(0,+∞)上是减函数.V2–V1＞0,V1V2＞0,课本例题在(-∞,0)上是____函数在(0,+∞)上是____函数减减问:能否说在(–∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?画出反比例函数的图象.-2yOx-11-112(1)这个函数的定义域是

.(-∞,0)∪(0,+∞)(2)如何证明这个结论？探究课本例题2.证明函数单调性的步骤：判断并证明函数在(0,2)上的单调性练习(1)设值设任意x1,x2属于给定区间,且x1＜x2(2)作差变形作差f(x1)–f(x2)并适当变形；(3)判断差符号确定f(x1)–f(x2)的正负；(4)下结论由定义得出函数的单调性.在区间(–

,–

)上是增函数;在(–,0)上是减函数;在区间(0,)上是减函数;在(,+

)上是增函数.对勾函数f(x)=x

+(a＞0)的单调性：补抽象函数的定义域

1.结合下列各函数的图象,完成填表:函数参数单调区间单调性y=kxk>0k<0y=kx+b

k>0k<0课堂练习增函数增函数减函数减函数补抽象函数的定义域2.结合下列各函数的图象,完成填表:函数参数单调区间单调性k＞0k＜0y=ax2+bx+ca＞0a＜0课堂练习减函数减函数增函数增函数增函数减函数减函数增函数课本例题3.设函数f(x)=(2a

–

1)x+b是R上的减函数,则有()BA.a＞B.a＜C.a≥D.a≤4.已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,那么,

f(a2–a

+1)与f(

)的大小关系为()A.f(a2

–a+1)≥f(

)

B.f(a2

–a+1)≤f(

)

C.f(a2

–a+1)＝f(

)D.不能确定B课本例题补例已知函数f(x)是定义在[–1,1]上的增函数,且f(x–2)＜f(1–x)，求实数x的取值范围.

解：∵函数f(x)是定义域在[–1,1]上的增函数,且f(x–2)＜f(1–x)，∴实数x的取值范围是.即时训练已知函数f(x)是定义在[0,2]上的递减函数