浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

杭州二中2024学年第一学期高一年级期中考数学试卷命题桂小兵校对审核本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.选择题部分（共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为，又，所以.故选：C2.若函数的定义域是，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抽象函数定义域求法可直接求出结果.【详解】由题意得函数的定义域是，则，函数中的取值范围应与函数中的取值范围一致；故定义域为故选：A3.不等式的解集为，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案.【详解】由题意得，为的两个根，故，即，开口向下，对称轴，与轴交点纵坐标为故选：B4.已知是偶函数，则（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由f−x=fx，列出方程，求出值，再检验定义域是否关于原点对称即可【详解】由f−x=fx解得，.当时，，定义域为，关于原点对称，故符合题意，故选：B.5.已知命题p：，，则（）A.命题p的否定为，，且p是真命题B.命题p的否定为，，且p是真命题C.命题p的否定为，，且p是假命题D.命题p的否定为，，p是假命题【答案】C【解析】【分析】根据存在性量词命题的否定，结合分式不等式的解法即可下结论.【详解】，则.由，得，即，解得，所以命题假命题.故选：C6.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意可得，解得即可.【详解】因为函数是上的增函数，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：D7.已知为正数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式中“1”的妙用计算即可得出最小值为.【详解】易知，当且仅当时取等号.故选：C8.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先研究函数单调性与奇偶性，再化简不等式得结果.【详解】因为，所以为奇函数，又，所以为R上单调递增函数，因此等价于，，故，则，即.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据题干，利用不等式的性质分别判断每个选项的正误即可.【详解】由，可得，对于A，由于，所以，A错误；对于B，由于，所以，B正确；对于C，由于，所以，则，C正确；对于D，由于，所以，,故D错误.故选：BC10.某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A.三项比赛都参加的有2人 B.只参加100米比赛的有3人C.只参加400米比赛的有3人 D.只参加1500米比赛的有3人【答案】AB【解析】【分析】由题意先分析出3项都参加的人数，再分析只参加某项的人数即可.【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}，{是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}，则且则，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有人，只参加400米比赛的有人，只参加1500米比赛的有人.故选：AB11.设，表示不超过的最大整数，如，记.则下列说法正确的有（）A.，都有B.，都有C.，都有D.若存在实数，使得同时成立，则正整数的最大值为4.【答案】ACD【解析】【分析】根据x的定义，易判断AB；结合，可得，进而结合与均为整数，可得，进而得到，再结合题意可判断C；通过不等式不断夹逼的范围，直至求得满足题意的即可判断D.【详解】对于A，，，故A正确；对于B，当时，，，此时，故B错误；对于C，因为，所以，又与均为整数，所以，即，则，故C正确；对于D，，，，，，当时，，，因为，所以，即当时，，，，因为，所以，当时，，，，，因为，所以，所以若，则，此时，即，故不存在满足，，，，同时成立，所以正整数的最大值为4，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.非选择题部分（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设集合，则中元素的个数为___________【答案】4【解析】【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果.【详解】将满足的整数对列举出来，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4个.故答案为：413.如果，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】根据指数函数的单调性得到，由此求解出结果.【详解】因为，且在上单调递增，所以，解得，故答案为：.14.函数的定义域为D，若对于任意,当时，有，则称函数在D上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①②；③.则__________【答案】##【解析】【分析】先根据题中条件得到，然后因为，得到，然后继续计算即可.【详解】由题意得即.由函数在上为非减函数得，因为，因为，故，因为所以因为所以，即，因此故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A.（1）求集合A；（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意可知有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；(2)结合题意推出，且，讨论是否为空集，列出相应不等式(组)，求得答案.【小问1详解】因为为真命题，所以方程有解，即，所以，即；【小问2详解】因为是的必要不充分条件，所以且，i）当时，，解得；ii）当时，，且等号不会同时取得，解得.综上，的取值范围为.16.已知函数（1）当时，根据定义证明函数上单调递增.（2）若有最小值4，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明；（2）当时，在R上单调递增，无最小值；当时，利用基本不等式求解.【小问1详解】,且,则，，故函数在上单调递增.【小问2详解】当时，在R上单调递增，无最小值；当时，，当且仅当时取等号，故，即.17.某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.（1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围；（2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【答案】（1）（2）当时，才能使鲜花种植的总面积最大【解析】【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果；（2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】设矩形花园的长为，矩形花园的总面积为，，可得，又阴影部分是宽度为的小路，可得，可得，即关于的关系式为.【小问2详解】由（1）知，，则，当且仅当时，即时，等号成立，当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.18.设函数，其中.（1）若，（i）当时，求的最大值和最小值;（ii）对任意的，都有，求实数的取值范围；（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）（i）；（ii）（2）【解析】【分析】（1）当时，（i）由二次函数的性质直接求最大最小值；（ii）解不等式得解集，再根据不等式的解集与集合的关系求的取值范围.（2）转化为二次函数在给定区间的最大最小值问题求解.【小问1详解】（i）当时，，所以;（ii）当时，，由，由题意：，所以.所以的取值范围为.【小问2详解】设函数在区间上的最大值为，最小值为，所以“对任意的，，都有”等价于“”.①当时，，，由，得，又，无解；②当时，，，由，得，因此；③当时，，，由，得，因此；④当时，，，由，得，无解，综上所述，实数的取值范围为区间.19.定义在R上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）当的定义域为（）时，的值域为，求的取值.（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）由奇函数定义可求得函数解析式.（2）讨论定义域和二次函数对称轴的关系，根据函数的最大值和最小值建立等量关系，计算的值.（3）分“”和“”两种情况分析，结合函数的单调性建立等量关系即可得到结果.【小问1详解】当时，，所以所以的解析式为.【小问2详解】当时，，所以.①当时，在上单调递增，此时，解得不合题意.②当时，在上单调递增，在上单调递减，则，即，，即，符合题意；③当时，在单调递减，则，解得，不合题意.综上得，.【小问3详解】由得，，由得，得，故同号.①当时，由于时，，故，则，所以区间上单调递减，所以，即为方程的