河南省信阳市罗山县2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 含解析

2024-2025学年普通高中高一上学期期中教学质量检测数学2024年11月11日本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置．2．选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用交集概念计算.【详解】因为，，所以．故选:B．2.设，则“”关于的方程“有实数根”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】以为条件，判断有实数根是否成立；以有实数根为条件，判断是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时，，此时有实数根；当有实数根时，，即.故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若，则是的充分条件；若，则是的必要条件.3.下列函数中，值域为的偶函数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数奇偶性的判断与值域的求法，逐一分析判断各选项即可.【详解】对于A，因为的定义域为，所以此函数不是偶函数，故A错误；对于B，因为，即的值域为，故B错误；对于C，当时，，显然值域不为，故C错误；对于D，因为的定义域为，且，又，所以是值域为的偶函数，故D正确.故选：D.4.在同一坐标系内，函数和的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断.【详解】对于A，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故A错误；对于B，由函数的图象可知，由的图象可知且，相符，故B正确；对于C，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故C错误；对于D，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故D错误.故选：B.5.已知函数，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据换元法求函数解析式.【详解】令，可得.所以，因此的解析式为.故选：D.6.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性列式求解即可.【详解】由是上的增函数，得，解得．所以实数的取值范围为．故选：C7.设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用可得，根据基本不等式最值成立的条件可得，代入可得关于的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数，，满足，．，当且仅当时取等号，此时．，当且仅当时取等号，即的最大值是1．故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.8.已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系结合韦达定理即可求出，再分类得到不等式组，解出即可.【详解】因为不等式的解集为，所以的两实数根分别为和，所以解得所以．令，解得或；令，解得．由，可得或即或则所求解集为．故选:D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.命题“，”的否定是“，”B.设，则“”是“”的必要不充分条件C.命题“”的否定是“，”D.“且”是“且”的充分不必要条件【答案】BCD【解析】【分析】根据量词命题的否定可判断AC；根据为的真子集可得为的真子集，由充分条件与必要条件的概念可判断B；根据不等式的性质及充分条件与必要条件的概念可判断D.【详解】对于A，命题“，”为全称量词命题，所以其否定是“，”，故A错误．对于B，由为的真子集得为的真子集，则“”可以推导出“”，但“”不能推导出“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确．对于C，“”的否定是“，x2>x”，故C对于D，由“且”可推导出“且”，而对于“且”，取，不满足“且”，所以“且”是“且”的充分不必要条件，故D正确．故选:BCD．10.若，，且，下列结论中正确的有（）A.的最大值是 B.的最大值是C.的最小值是8 D.的最小值是【答案】ABD【解析】分析】根据基本不等式，逐项计算判断即可.【详解】由题意，得，，且．对于A，由，解得，当且仅当，时等号成立，则的最大值为，故A正确．对于B，，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，故B正确．对于，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，故C错误．对于D，由，得，当且仅当，时等号成立，则的最小值是，故D正确．故选:ABD．11.设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”.若函数，则下列结论正确的是（）A. B.的值域为C.在上单调递减 D.函数为偶函数【答案】BCD【解析】【分析】令求出不等式的解，即可求出的解析式，即可判断A、B、C，再求出的解析式，画出图象，即可判断D.【详解】根据题意，由，解得，，所以，故A错误；当时，且在上单调递减，在上单调递增，，，所以，即的值域为，故B、C正确；因为，则的图象如下所示：由图可知的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故D正确；故选：BCD第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.为了提高同学们的学习兴趣，学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为_______.【答案】20【解析】【分析】用韦恩图进行求解，设集合，集合，全集，再根据题意进行求解【详解】如图所示设两科均未取得优秀的人数为，则所以两科均未取得优秀的人数为20人【点睛】本题考查根据韦恩图求解具体集合元素的个数问题，方法相对简单，关键是能正确表示各集合中元素个数13.已知幂函数的图象过点，若，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】先将点代入求出的值，再根据幂函数的单调性和奇偶性求解即可.【详解】由幂函数的图象过点，得，解得，则，定义域为．由可得偶函数．由幂函数的单调性可知，函数在上单调递减．所以等价于，等价于，解得或．所以实数的取值范围是．故答案为：．14.已知函数，存在直线与的图象有4个交点，则_____，若存在实数，满足，则的取值范围是_______________．【答案】①.1②.【解析】【分析】作出分段函数的图象，结合图象进行分析,第一个填空：当时，直线与的图象有4个交点；第二个填空：当时，存在实数，满足，进而可得取值范围，再结合函数对称性从而可得结论.【详解】当时，令，解得或；令，解得；故可作出的图象，如图：由图可知，当时，，当时，，所以若存在直线与的图象有4个交点时，如图：当时，直线与的图象有4个交点；若存在实数，满足，如图：可知当时，存在实数，满足，令，解得，则可得；因为关于对称，；同理关于对称，；所以，又因为，所以，所以的取值范围是.故答案为：1；.【点睛】关键点睛：作出分段函数的图象是关键，本题考查数形结合思想，以及空间想象能力，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合满足_________时，求实数的取值范围．（2）若，求实数的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选择①②③，都有，分类讨论集合是否为空集，限定出不等式范围即可得实数的取值范围；（2）分类讨论集合是否为空集，得出不等关系即可得实数的取值范围；【小问1详解】选择①，由可得，当时，，解得当时，，解得．综上，实数的取值范围为．选择②，由可得，当时，，解得当时，，解得．综上，实数的取值范围为．选择③，由可得．当时，，解得；当时，，解得，综上，实数取值范围为.【小问2详解】当时，由，解得，符合题意当时，或，解得；综上，实数的取值范围为．16.已知命题“，方程有实根”是真命题.（1）求实数m的取值集合A；（2）关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）利用判别式大于等于0可求解；（2）根据题意可得是的真子集，讨论的范围求解即可.【小问1详解】因为命题“，方程有实根”是真命题，所以方程有实根，则有，解得，所以实数m的取值集合.【小问2详解】若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，当即时，不等式组无解，所以，满足题意；当即时，不等式组的解集为，由题意是的真子集，所以，所以.综上，满足题意的a的取值范围是或.17.已知．（1）求函数的解析式；（2）判断函数的奇偶性，并证明；（3）若对任意的，都有，求实数的最小值．【答案】（1）（2）奇函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用方程组法构造方程组即可得的解析式；（2）根据函数奇偶性的定义直接判断即可得出结果；（3）利用基本不等式求出两函数的最值，再根据恒成立问题即可得出结果.【小问1详解】因为，①所以，②联立①2-②得．【小问2详解】函数是奇函数．因为函数的定义域为，且满足，所以是奇函数.小问3详解】当时，，当且仅当，即时取等号，所以．易知当时，，且．由（2）知，是奇函数，则是奇函数．所以当时，,所以函数的值域为，即，．因为对任意的都有，所以．所以的最小值是．18.某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品，已知该企业日加工处理量x（吨）最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y（元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本=）（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300元；方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为40x元.如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？为什么？.【答案】（1）80吨，该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态（2）答案见解析【解析】【分析】（1）列出平均成本后，根据基本不等式即可判断；（2）分别算出两种方案的最大利润，进行比较即可.【小问1详解】由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为当且仅当，即时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.【小问2详解】若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为，因为，所以当吨时，企业获得最大利润，为850元.若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为，因为，所以当吨时，企业获得最大利润，为1800元.结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润850元；选择方案二，当日加工处理量为100吨时，获得最大利润1800元；所以选择方案二进行补贴..19.已知二次函数满足，且．（1）求函数的解析式；（2）若，当时，不等式有解，求实数取值范围；（3）当时，函数的图象恒在函数的图象下方，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法根据函数值以及关系式即可