2024-2025学年山东省淄博四中高二（上）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省淄博四中高二（上）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系Oxyz中，点(3,−1,−4)关于平面Oxy的对称点为(

)A.(−3,−1,−4) B.(−3,1,−4) C.(3,−1,4) D.(−3,1,4)2.对空中移动的目标连续射击两次，设A={两次都击中目标}，B={两次都没击中目标}，C={恰有一次击中目标}，D={至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是(

)A.A⊆D B.A∪C=B∪D C.A∪C=D D.B∩D=⌀3.O为空间任意一点，若AP=−14OA+18OB+tOC，若A，A.1 B.12 C.18 4.《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》是我国著名的四大古典小说，某学校图书室将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》各一本赠送给三个不同的同学，每人至少一本，则《西游记》和《红楼梦》被分给同一个同学的概率为(

)A.16 B.13 C.1125.袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件M=“第一次摸得偶数”，N=“第二次摸得2”，Q=“两次摸得数字之和大于8”，R=“两次摸得数字之和是6”，则(

)A.M与Q相互独立 B.N与R相互独立 C.N与Q相互独立 D.Q与R相互独立6.已知点A(2,−6,2)在平面α内，n=(3,1,2)是平面α的一个法向量，则下列点P中，在平面α内的是(

)A.P(1,−1,1) B.P(1,3,32) C.P(1,−3,7.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件A=“取出的两球同色”，事件B=“取出的2球中至少有一个黄球”，事件C=“取出的2球至少有一个白球”，事件D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是(

)A.P(A)=15 B.P(B∩C)=13 C.8.如图，在多面体A1B1C1D1ABC中，侧面四边形A1B1C1D1，AA1B1A.13B.789

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于空间向量，以下说法正确的是(

)A.非零向量a，b，若a⋅b=0，则a⊥b

B.若对空间中任意一点O，有OP=15OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面

C.设{a,b,c10.已知A，B是随机事件，若P(AB−)=P(A−B)=A.P(A)=P(B) B.A，B为对立事件

C.A，B相互独立 D.P(B)=11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，若一点P在底面ABCD内(包括边界A.D1E与平面CC1D1D的夹角的正弦值为13

B.A1点到D1E的距离为42三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量a=(2,−2,1)，b=(3,0,4)，向量a在向量b上的投影向量坐标为______．13.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是

．14.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制(有球队先胜三局则比赛结束).第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1.则独孤队不超过四局获胜的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知空间向量a=(2,4,−2)，b=(−1,0,2)，c=(x,2,−1)．

(1)若a//c，求|c|；

(2)若b16.(本小题15分)

新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，技照成绩为[90,100)，[100,110)，…，[140,150]分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于90分)．

(1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于[120,140)的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求[130,140)这组中至少有1人被抽到的概率．17.(本小题15分)

某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人在该停车场临时停车，两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时．

(1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车付费之和为6元的概率；

(2)若甲、乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为14,13，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为18.(本小题17分)

空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i,j,k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量n=xi+yj+zk，则n与有序实数组(x,y,z)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x,y,z]，记作n=[x,y,z]．

(1)若a=[1,2,3]，b=[−1,1,2]，求a+b的斜60°坐标；

(2)在平行六面体ABCD−ABC1D1中，AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，19.(本小题17分)

如图1，在△MBC中，BM⊥BC，A，D分别为边MB，MC的中点，且BC=AM=2，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB，如图2，连接PB，PC．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)若E为PC的中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)线段PC上一动点G满足PGPC=λ(0≤λ≤1)，判断是否存在λ，使二面角G−AD−P的正弦值为1010，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案1.C

2.B

3.C

4.A

5.B

6.A

7.C

8.B

9.AD

10.AD

11.ABD

12.(613.1914.0.236

15.解：(1)空间向量a=(2,4,−2)，c=(x,2,−1)，b=(−1,0,2)

∵a//c，

∴存在实数k，使得c=ka，

所以x=2k2=4k−1=−2k，则x=1，

则|c|=12+216.解：(1)由频率分布直方图得：

(0.005+0.03+0.03+x+0.01+0.005)×10=1，

解得x=0.02．

平均分为95×0.05+105×0.3+115×0.3+125×0.2+135×0.1+145×0.05=116.5．

(2)由频率分布直方图得到成绩位于[120,130)和[130,140)上的人数比为0.20.1=2，

抽取的6人中成绩位于[120,130)上的有4人，编号为1，2，3，4，

位于[130,140)上的有2人，编号为a，b，

从这6人中任2人的基本事件有12，13，14，1a，1b，23，24，2a，2b，34，3a，3b，4a，4b，ab，共15个，

其中[130,140)这组中至少有1人被抽到的基本事件有1a，1b，2a，2b，3a，3b，4a，4b，ab，共9个，

∴[130,140)这组中至少有1人被抽到的概率为P=17.解：(1))设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b∈{0,3,6}，

则甲、乙两人的停车费用的所有可能结果为：

(0,0)，(0,3)，(0,6)，(3,0)，(3,3)，(3,6)，(6,0)，(6,3)，(6,6)，共9种，

其中事件“甲、乙两人停车付费之和为6元”含(0,6)，(3,3)，(6,0)这3种结果，

故甲、乙两人停车付费之和为6元”的概率为39=13．

(2)设甲、乙两人停车的时长不超过半小时分别为事件A1，B1，

停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件A2，B2，

停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件A3，B3，

则P(A1)=1−P(A18.(1)解：由a=[1,2,3]，b=[−1,1,2]，得a=i+2j+3k，b=−i+j+2k，

所以a+b=(i+2j+3k)+(−i+j+2k)=3j+5k，所以a+b=[0,3,5]；

(2)解：设i，j，k分别为与AB，AD，AA1同方向的单位向量，

则AB=2i，AD=2j，19.解：(1)∵A，D分别为MB，MC的中点，∴AD//BC，

∵BM⊥BC，∴BM⊥AD，∴PA⊥AD，

又PA⊥AB，AD∩AB=A，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴PA⊥平面ABCD；

(2)由于AP，AB，AD两两垂直，于是以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)，

∴PC=(2,2,−2),DE=(