2024-2025学年上海市宝山中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市宝山中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在以下四个图中，直线a与直线b平行的位置关系只能是(

)A. B.

C. D.2.已知△ABC的直观图是直角边长为a的等腰直角三角形△A1B1C1,∠BA.24a2 B.223.已知直线l、m和平面α、β，下列命题中的真命题是(

)A.若m⊥l，l//α，则m⊥α B.若l//α，α⊥β，则l⊥β

C.若l⊥α，α//β，则l⊥β D.若l⊥α，m⊥β，则l//m4.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有(

)A.3个 B.4个 C.6个 D.7个二、填空题：本题共12小题，共54分。5.用集合符号表述语句“平面α经过直线l”：______．6.若圆柱底面半径为2，高为3，则其侧面积为______．7.已知直线a⊥c，b⊥c，则直线a与直线b的位置关系有______种(填数字)．8.若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为9.已知圆锥的侧面展开图为一个半径为3，且弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积等于______．10.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3cm11.下来命题中，真命题的编号为______．

(1)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l垂直的直线；

(2)若直线l⊥平面M，则M内不存在与l不垂直的直线；

(3)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l平行的直线；

(4)若直线l//平面M，则M内不存在与l不平行的直线．12.在正方体ABCD−A1B1C13.已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=60°，△ABC所在平面α外一点P到此三角形三个顶点的距离都是6，则点P到平面α的距离是______．14.在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为______．15.点A是二面角α−l−β内一点，AB⊥α于B，AC⊥β于C，设AB=3，AC=2，∠BAC=60°，则点A到棱l的距离是______．16.两个边长为2的正方形ABCD和ADEF各与对方所在平面垂直，M、N分别是对角线AE、BD上的点，且EM=DN，则M、N两点间的最短距离为______．

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，BC=2，∠ABC=90°，AA1=3．

(1)求四棱锥A118.(本小题14分)

如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，

(1)求证：B1D1//平面19.(本小题16分)

如图(图中单位：cm)是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱(底面是正六边形，侧面是全等的矩形)，上部是实心的圆柱．

(1)已知铁的密度为7.86g/cm3，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？(结果精确到0.1g)；

(2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌0.11g，求需要用锌的总量(结果精确到0.01g)20.(本小题16分)

如图，三棱锥P−ABC中，侧面PAB⊥底面ABC，PA=PB，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且∠ABC=30°，记O为AB的中点，E为OC的中点．

(1)求证：PC⊥AE；

(2)若AB=2，直线PC与底面ABC所成角的大小为60°，求二面角P−AC−B的大小．21.(本小题18分)

如图，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，

(1)若∠OAB=π6，斜边AB=2，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC=90°，D是AC的中点，求：直线BD与平面BOC所成的角的大小(用反三角函数表示)；

(2)若圆锥底面的半径为10，母线长为60，求底面圆周上一点P沿侧面绕两周回到点P的最短距离；

(3)若圆锥的母线长为4，S为圆锥的侧面积，V为体积，求VS取得最大值时圆锥的体积

参考答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.l⊂α

6.12π

7.3

8.29.210.3211.(2)(3)

12.arccos113.3314.3

15.216.217.解：(1)∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，BC=2，∠ABC=90°，AA1=3，

∴易得A1B1⊥平面BCC1B1，

∴四棱锥A1−B1BCC1的体积为VA1−B1BCC1=13A1B1⋅SB1BCC1=13×1×2×3=218.证明：(1)因为ABCD−A1B1C1D1为正四棱柱，

所以BB1/​/DD1，且BB1=DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，

所以BD/​/B1D1，又BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，

所以B1D1/​/平面A1BD．

(2)因为底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC，

又ABCD−A19.解：(1)根据已知图中的几何体的尺寸可得：

圆柱体积为V1=π×32×25=225πcm3，

六棱柱体积为V2=6×34×122×5=10803cm3，

所以零件的体积为V=V1+V2=225π+10803≈2577.5c20.解：(1)证明：连接PO，∵PA=PB，∴PO⊥AB，

侧面PAB垂直于底面ABC，PO⊂平面PAB，平面PAB∩平面ABC=AB，

∴PO⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴PO⊥AE，

又∵△ABC是斜边为AB的直角三角形，且∠ABC=30°，∴AC=12AB，

又∵O为AB的中点，∴CO=AO=12AB，∴△AOC为等边三角形，

又E为OC的中点，∴AE⊥OC，

∵PO⊥AE，AE⊥OC，PO∩OC=O，PO，OC⊂平面POC，

∴AE⊥平面POC，又PC⊂平面POC，

∴PC⊥AE；

(2)由(1)知PO⊥底面ABC，OC，OA⊂平面ABC，

∴直线PC与底面ABC所成角为∠PCO，PO⊥OC，PO⊥OA，

∵直线PC与底面ABC所成角的大小为60°，∠PCO=60°，

∵AB=2，所以OC=OA=1=AC，在Rt△POC中，PO=tan60°=3，

∴PA=PC=2，

取AC中点F，连接OF，PF，

∵OC=OA，PC=PA，∴OF⊥AC，PF⊥AC，

又∵OF⊂平面ABC，PF⊂平面PAC，平面ABC∩平面PAC=AC，

∴∠PFO(锐角)为二面角P−AC−B的平面角，

由题意PF=PC2−AF2=22−(21.解：将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，

(1)作出D在底面的投影E，连接BE，显然E为OC中点，

则直线BD与平面BOC所成的角为∠DBE，

由题意可知AO=3=2DE,OB=1=2OE，BE=OB2+OE2=52，

所以tan∠DBE=DEBE=155，

所以∠DBE=arctan155；

(2)沿AP将圆